﻿ [6.2] Geodesic บนผิวทรงกระบอก
 ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก 1 Hour 1 Day 1 Week 1 Month Forever ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน Advanced search 41526 Posts in 6269 Topics- by 9527 Members - Latest Member: Panithanjo
Pages: 1   Go Down
 Author Topic: [6.2] Geodesic บนผิวทรงกระบอก  (Read 7822 times) 0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
เกียรติศักดิ์
neutrino

Offline

Posts: 296

:)

 « on: November 15, 2005, 06:41:06 AM »

Find the length of a [geodesic] path [from to ] on a cylinder of radius , using cylindrical polar coordinates . Assume that the path is specified in the form .
 « Last Edit: November 21, 2005, 09:34:38 PM by kiattisak » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
เกียรติศักดิ์
neutrino

Offline

Posts: 296

:)

 « Reply #1 on: November 15, 2005, 09:50:41 AM »

The first part can be skipped; one can just write out the length element straightaway.

Find the length element in cylindrical coordinate system .

(Notice that it is given that is a function of so this is just a parametric equation of a helix with as a parameter, provided that must be a linear function.)

Given that the path is expressed as , its length is found by integrating over which is the independent variable.

We see that for this problem, is

Since this is independent of , and the second form of the Euler equation (see more below) should be used. (It's easier!)

Solve for .

The path is now easily pictured as a helix. As increases, linearly increases, and the path traces around a cylinder helically.

Now knowing it is just a straight line if the surface is unwrapt and formed into a plane, when it is given that the end points are and then the length is, using Pythagorean theorem, , and can be evaluated.

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 6 ]

Plug into to obtain the geodesic's length.

 « Last Edit: November 27, 2005, 07:16:07 AM by kiattisak » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
เกียรติศักดิ์
neutrino

Offline

Posts: 296

:)

 « Reply #2 on: November 15, 2005, 11:22:12 AM »

Notice that if then

Also

Plug the first equation into the second one to get

The term in parentheses vanishes in view of the Euler equation.

That is,

This equation is called the second form of the Euler equation in the special case when . (Otherwise the term appears.)
 « Last Edit: November 15, 2005, 11:29:45 AM by kiattisak » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
เกียรติศักดิ์
neutrino

Offline

Posts: 296

:)

 « Reply #3 on: November 16, 2005, 05:18:12 PM »

คิดไปคิดมา ก็ยังไม่รู้ว่าจะแก้อย่างไรดีครับ
 Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
SuperHelper

Offline

Posts: 6327

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

 « Reply #4 on: November 16, 2005, 09:15:32 PM »

คิดไปคิดมา ก็ยังไม่รู้ว่าจะแก้อย่างไรดีครับ

ที่ทำมาไม่ผิดหรอก geodesic บนผิวทรงกระบอกเป็นเส้นเกลียว (helix) (พิสูจน์หน่อย!) ดังนั้นถ้า จุดสองจุดบนเส้นทางต้องเป็นจุดเดียวกัน ซึ่งทำให้ระยะทางระหว่างสองจุดนั้นเป็นศูนย์
 Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
neutrino

Offline

Posts: 296

:)

 « Reply #5 on: November 22, 2005, 08:00:52 AM »

คราวนี้ดูน่าจะถูกแล้วรึเปล่าครับ ผลที่ได้เป็นไปอย่างที่ผมคาดหวังตั้งแต่ทีแรกละ

จุดสองจุดบนทรงกระบอกที่เลือกคือ กับ ถ้าบังเอิญว่าเลือกให้ ก็เป็นไปได้ว่า ตำแหน่ง polar ที่เลือกอาจไม่เท่ากันก็ได้ ทำให้ความยาวของ geodesic path ที่อธิบายโดย เท่ากับ ได้ครับ
 « Last Edit: November 22, 2005, 07:59:50 PM by kiattisak » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
เกียรติศักดิ์
neutrino

Offline

Posts: 296

:)

 « Reply #6 on: December 15, 2005, 10:06:38 PM »

ลืมไปหนึ่งอย่างครับ สังเกตว่าจริงๆ แล้วเรารู้ ตั้งแต่ตอนที่รู้ว่า path เป็นเส้นตรงแล้ว (ถ้าตอนจบได้ ต่างออกไปล่ะก็ มีปัญหาแน่ แต่โชคดีที่ไม่ )
 Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
Pages: 1   Go Up