หาคาบ physical เพนดูลัม

nut

neutrino

Offline

Posts: 36

หาคาบ physical เพนดูลัม

« on: April 23, 2011, 08:03:26 PM »

ยังงงเกี่ยวกับการอินทิเกรตครับ idiot2

จาก $kl\sin \theta =\frac{1}{3}(ml^2)\alpha$
จงหาคาบ k เป็นค่านิจสปริง,l เป็นระยะจากแรงที่กระทำจนถึงจุดหมุน $\alpha$ เป็นค่าความเร่งเชิงมุม
เมื่อถือว่า $\sin \theta$ มีค่าน้อยมากจนประมาณเท่ากับ $\theta$
1.อยากทราบวิธีหาค่าคาบครับ
2.อยากรู้ว่าทำไมถึงแปลง $\frac{d^2\theta }{dt^2}$ เป็น $\frac{1d}{2d\theta }(\frac{d\theta^2}{dt^2})$ ได้ครับ
ขอบคุณครับ


« Last Edit: April 23, 2011, 08:05:26 PM by nut »	Logged

ผมขอโทษครับพี่
พอดีผมแพ้จนชิน
Never give up na kub

Chukiat Tantiwong

neutrino

Offline

Posts: 160

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #1 on: April 23, 2011, 08:08:30 PM »

อันอื่นผมยังงงๆนะครับ แต่จะบอกเท่าที่ผมรู้ idiot2

1. ผลเฉลยนี้ครับ $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right)$ คาบของฟังก์ชันคือ ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \beta }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta }$

2. ใช้กฎลูกโซ่ครับ $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right) = \left[ {\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)} \right] \cdot \frac{d}{{dt}}x = \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2 } \right]$

ปล. สำคัญมากครับ รูปแบบสมการการสั่นอย่างง่าย ต้องมีเครื่องหมายลบด้วยครับ

ปปล. รายละเอียดการอินทิเกรต อ่านได้ในหนังสือ สอวน. กลศาสตร์ ของพ่อครับ smitten


« Last Edit: April 23, 2011, 08:35:30 PM by TimeTimeFruit »	Logged

nut

neutrino

Offline

Posts: 36

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #2 on: April 24, 2011, 06:46:56 AM »

ขอบคุณครับพี่
แต่ที่ผมสงสัยอีกคือถ้าเขียน
$\alpha$ ในรูป $\frac{d^2\theta }{dt^2}$ แล้วเราจะอินทิเกรต $kl\theta$
เพื่อหาคาบได้อย่างไรครับ


« Last Edit: April 24, 2011, 06:48:55 AM by nut »	Logged

ผมขอโทษครับพี่
พอดีผมแพ้จนชิน
Never give up na kub

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #3 on: April 24, 2011, 09:17:40 AM »

ที่เราพูดถึงคือการสั่นของ physical pendulum ที่ติดกับ 'torsion' spring อยู่รึเปล่าครับ

ถ้าใช่

Quote from: TimeTimeFruit on April 23, 2011, 08:08:30 PM

...
1. ผลเฉลยนี้ครับ $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right)$ คาบของฟังก์ชันคือ ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \beta }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta }$
...

อันนี้คือคำตอบของสมการที่ตามหา

ถ้าต้องการรายละเอียดแบบชิวๆก็ตามนี้ครับ...

สำหรับสมการ $\dfrac{d^2}{dt^2}x \sim x$ (จะใช้ $x$ หรือ $\theta$ ก็แล้วแต่) จัดเป็น สมการอนุพันธ์อันดับ 2 (2nd order differential equation) ซึ่งวิธีการแก้มีหลายแบบ ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ บางสมการก็ไม่มีคำตอบที่เป็น closed form

วิธียอดฮิตของเด็กปีหนึ่งปีสองก็คือการ"สมมติ" ว่า $x$ นี่ มันต้องมีหน้าตาแบบ $x\sim e^{\omega_nt}$ แล้วกัน โดยที่ $\omega_n$ นี่เป็นอะไรซักอย่างที่ยังไม่รู้ว่าคืออะไร ใส่ index n ไว้เผื่อว่าไม่ได้มี $\omega_n$ ค่าเดียว

ถ้าผมเอาคำตอบที่สมมติไว้ไปแทนค่าในสมการที่ถามมาจะได้
$(\omega_n)^2=...$ ค่าคงที่อะไรซักอย่าง
ซึ่งเป็นสมการ พหุนามอันดับ 2 (quadratic equation)มีสองคำตอบ

คำตอบก็สมการนี้ก็ควรจะมีหน้าตาเป็นประมาณ
$x = C_1 e^{\omega_1t}+C_2e^{\omega_2t}$
โดยที่ $C_1 , C_2$ เป็นค่าคงที่ซึ่งหาได้จากเงื่อนไขเริ่มต้นของ $x$ กับ $\dfrac{d}{dt}x$ ซึ่งมันก็มาจากค่าคงที่ที่โผล่มาตอนเราอินทิเกรต อินทิเกรตสองครั้งก็มีสองตัว ซึ่งก็เป็นผลที่เราต้องการพอดี

ถ้าจะเอาการหาคำตอบแบบจริงจังกว่านี้...ผมคิดว่าลองไปหาหนังสือที่มีคำว่า Mathematical Methods for physicist จะมีวิธีการแก้สมการ
ดิฟเฟอเรนเชียลที่เจอบ่อยๆในฟิสิกส์ ไม่ก็ถ้าเอียงไปทางเลขมากๆก็ลองหาหนังสือที่ชื่อมีคำว่า Differential Equation ก็จะเป็นวิธีการแก้สมการดิฟเฟอเรนเชียลชนิดต่างๆทั้งเล่มเลย

หรือถามเพิ่มเติมก็ได้นะครับ แต่คำตอบคงไม่ละเอียดเท่าในหนังสือ


« Last Edit: April 24, 2011, 09:29:14 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148

Chukiat Tantiwong

neutrino

Offline

Posts: 160

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #4 on: April 24, 2011, 09:36:43 AM »

วิธีที่ง่ายที่สุดมี 2 วิธีครับ

1. ตระหนักว่าฟังก์ชันที่อนุพันธุ์อันดับสองของมัน มีค่าเป็นลบของตัวฟังก์ชันเดิม คือ $\frac{{d^2 }}{{dx^2 }}f\left( x \right) = - f\left( x \right)$ ซึ่งก็คือฟังก์ชันพวก $\sin x\;,\;\cos x$ แล้วใช้กฎลูกโซ่เข้าช่วย เพื่อโปะค่าคงตัวลงไปข้างหน้า
สมมติว่า $x\left( t \right) = \sin \left( {\beta t + \phi } \right) \to \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x\left( t \right) = - \beta ^2 x$
* พูดง่ายๆ คือการ"เดา"คำตอบของสมการครับ

2. เราแก้แบบสมการเชิงอนุพันธุ์ทั่วไป คือสมมติ $e^{\lambda t}$ ออกมา แล้วแก้ตามปกติ
สมมติว่าผลเฉลยของสมการสามารถเขียนในรูป $x\left( t \right) = \xi e^{\lambda t}$ โดย $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x\left( t \right) = \lambda ^2 \left( {\xi e^{\lambda t} } \right) = \lambda ^2 x$ เทียบกับสมการเดิมที่เราจะแก้ คือ $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = - \beta ^2 x$ เราพบว่า $\lambda ^2 = - \beta ^2 \to \lambda = \pm \beta i$ โดยนิยาม $i^2 \equiv - 1$ ผลเฉลยของ $x\left( t \right)$ จึงมีสองฟังก์ชัน คือ $x_1 \left( t \right) = \xi _1 e^{\left( { + i\beta } \right)t} \;,\;x_2 \left( t \right) = \xi _2 e^{\left( { - i\beta } \right)t}$ เรารวมเป็นผลเฉลยที่สมบูรณ์ได้เป็น $x\left( t \right) = x_1 \left( t \right) + x_2 \left( t \right) = \xi _1 e^{\left( { + i\beta } \right)t} + \xi _2 e^{\left( { - i\beta } \right)t}$ สูตรของออยเลอร์บ่งว่า $e^{i\zeta } = \cos \zeta + i\sin \zeta$ นั่นทำให้เราได้ $x\left( t \right) = \xi _1 \left[ {\cos \left( { + \beta t} \right) + i\sin \left( { + \beta t} \right)} \right] + \xi _2 \left[ {\cos \left( { - \beta t} \right) + i\sin \left( { - \beta t} \right)} \right]$ ทำต่อได้ $x\left( t \right) = \left( {\xi _1 + \xi _2 } \right)\cos \left( {\beta t} \right) + \left[ {\left( {\xi _1 - \xi _2 } \right)i} \right]\sin \left( {\beta t} \right)$ แทนสัญลักษณ์ $\alpha _1 \equiv \xi _1 + \xi _2 \;,\;\alpha _2 \equiv \left( {\xi _1 - \xi _2 } \right)i$ จากตรีโกณมิติเรารู้ว่า $\eta _1 \sin \chi + \eta _2 \cos \chi = \sqrt {\left( {\eta _1 } \right)^2 + \left( {\eta _2 } \right)^2 } \sin \left[ {\chi + \arctan \left( {\frac{{\eta _2 }}{{\eta _1 }}} \right)} \right]$ สำหรับกรณีนี้จึงได้ $x\left( t \right) = \alpha _1 \cos \left( {\beta t} \right) + \alpha _2 \sin \left( {\beta t} \right) = \sqrt {\left( {\alpha _1 } \right)^2 + \left( {\alpha _2 } \right)^2 } \sin \left[ {\beta t + \arctan \left( {\frac{{\alpha _1 }}{{\alpha _2 }}} \right)} \right]$ ในที่นี้แทนสัญลักษณ์ $A \equiv \sqrt {\left( {\alpha _1 } \right)^2 + \left( {\alpha _2 } \right)^2 } \;,\;\phi \equiv \arctan \left( {\frac{{\alpha _1 }}{{\alpha _2 }}} \right)$ จึงได้ผลเฉลยของสมการนี้เป็น $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right)$
* วิธีนี้คล้ายกับที่เราสมมติ $e^{\lambda x}$ เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธุ์บางประเภท

ปล. เดี๋ยวมาต่อวิธีอินทิเกรตครับ


	Logged

Chukiat Tantiwong

neutrino

Offline

Posts: 160

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #5 on: April 24, 2011, 09:56:50 AM »

3. เราเขียน $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right) = \left[ {\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)} \right] \cdot \frac{d}{{dt}}x = \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2 } \right]$ ได้ $\frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2 } \right] = - \beta ^2 x$ อินทิเกรตได้ $\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2 = - \beta ^2 \left( {x^2 } \right) + \alpha _1$ โดย $\alpha _1$ เป็นค่าคงตัว ย้ายข้างไปมาจะได้ $\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - \left( {\frac{{\beta x}}{{\sqrt {\alpha _1 } }}} \right)^2 } }}} \right)\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\beta x}}{{\sqrt {\alpha _1 } }}} \right) = \beta$ อินทิเกรตโดยตระหนักว่า $\int {\frac{1}{{\sqrt {1 - \zeta ^2 } }}d\zeta = \arcsin \left( \zeta \right)}$ + ค่าคงที่ ได้ $\arcsin \left( {\frac{{\beta x}}{{\sqrt {\alpha _1 } }}} \right) = \beta t + \alpha _2$ โดย $\alpha _2$ เป็นค่าคงตัวอีกตัว ย้ายข้างแล้วกลับฟังก์ชันได้ $x\left( t \right) = \frac{{\sqrt {\alpha _1 } }}{\beta }\sin \left( {\beta t + \alpha _2 } \right)$ เขียนแทน $A \equiv \frac{{\sqrt {\alpha _1 } }}{\beta }\;,\;\phi \equiv \alpha _2$ จะได้ผลเฉลยเป็น $\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right)$

ปล. เหนื่อยมาก buck2


« Last Edit: April 24, 2011, 10:11:12 AM by TimeTimeFruit »	Logged

Chukiat Tantiwong

neutrino

Offline

Posts: 160

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #6 on: April 24, 2011, 10:00:55 AM »

ขอบคุณพี่ NiG มากครับที่ช่วยตอบกระทู้ให้ icon adore

(เมื่อกี้ผมพิมพ์นานไปหน่อย เลยไม่เห้นว่าพี่มาช่วยตอบแล้ว) ถ้าน้องมีปัญหาอะไรเพิ่มเติม ลองปรึกษาพี่ๆในบอร์ดดูนะครับ ช่วงนี้ผมคงต้องไปปทำธุระยาวเลย buck2


	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #7 on: April 24, 2011, 11:42:49 AM »

Quote from: TimeTimeFruit on April 24, 2011, 10:00:55 AM

ขอบคุณพี่ NiG มากครับที่ช่วยตอบกระทู้ให้ icon adore

เหอๆ ไม่เป็นไร ช่วยๆกันตอบแหละ มีมุมมองของหลายๆคนมันก็ดีกว่าคนเดียวอยู่แล้ว คราวหลังถ้าเห็นเราโพสอะไรที่มันถูกอยู่แล้ว
แต่อยากยกตัวอย่างเพิ่มก็แจมได้เลย ไม่ต้องเกรงใจ Grin

เออแต่...เรามาอ่านอีกที...เค้าถามหาคาบว่ะ uglystupid2

...พลาด...ขออภัย icon adore

คืองี้ๆ การเคลื่อนที่แบบที่มีคาบนี่ มันนิยามไว้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบซ้ำไปซ้ำมาอยู่ในบริเวณเดิมโดยใช้เวลาในการเคลื่อนที่แต่ละรอบเท่าๆกัน
อย่างที่เราเห็นว่าคำตอบของสมการมันสามารถจัดอยู่ในรูป sine หรือ cosine ได้

เรานิยามว่า การที่อนุภาคจะเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ หรือเคลื่อนที่ไปหนึ่งคาบ ว่าเป็นตอนที่อนุภาคกลับไปอยู่ในตำแหน่งเดิม และมีความเร็วเท่าเดิม
ลองดูว่า ถ้าที่สมมติตำแหน่งและความเร็วของอนุภาคที่เวลา $t_0$ ใดๆ เป็น
$x\sim sint_0$ กับ $v\sim cost_0$
ลองแทนค่า $t_0$ ด้วย $t_0+\delta t$ ที่จะทำให้ $x,v$ มีค่าเท่าเดิม
$\delta t$ ที่น้อยที่สุดคือคาบการเคลื่อนที่ (คำตอบอื่นจะเขียนอยู่ในรูป จำนวนเต็ม คูณกับ $\delta t$ )

แต่ถ้าอยากอินทิเกรตทีเดียวให้ได้คาบเลย เราจะใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน หรือการจัดรูปแบบกฎนิวตันในความเห็น 5 ก็ได้ เราจะได้สมการเป็น
$\left(\dfrac{d}{dt}x\right)^2 = {v_0}^2-\omega^2x^2$
$t = 2\int \dfrac{1}{\sqrt{ {v_0}^2-\omega^2x^2}} dx$
โดยที่อินทิเกรตตั้งแต่ $-x_{max}$ ถึง $x_{max}$ เลยใส่ 2 ไปด้วยจะได้ครบ 1 รอบการเคลื่อนที่

ลองทำดูของบางอย่างไม่ลองทำก็ไม่รู้ Wink


« Last Edit: April 24, 2011, 11:55:01 AM by NiG »	Logged

Chukiat Tantiwong

neutrino

Offline

Posts: 160

Re: หาคาบ physical เพนดูลัม

« Reply #8 on: April 24, 2011, 03:29:18 PM »

วิธีของพี่ NiG จะเป็นการมองการเคลื่อนที่ด้วยกฎการอนุรักษ์พลังงานครับ ถ้าเรามองความเร็วเป็นฟังก์ชันกับตำแหน่ง แบบที่ $v = v\left( x \right)$ ได้ ใช้นิยาม $v\left( x \right) = \frac{d}{{dt}}x$ ย้ายข้างแล้วอินทิเกรต $\int\limits_{t = 0}^t {dt} = \int\limits_{x = 0}^x {\frac{1}{{v\left( x \right)}}dx}$ แล้วแทนเงื่อนไขต่างๆลงไป ก็จะได้คำตอบครับ smitten

ส่วนวิธีที่ง่ายๆและนิยมใช้กันอีกวิธี น่าจะเป็นการยกเอาผลเฉลย $x\left( t \right) = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right)$ มาใช้เลย การเคลื่อนที่แบบครบรอบของฟังก์ชันไซน์ (หรือฟังก์ชันตรีโกณอื่นๆ) จะครบรอบด้วยมุม $2\pi$ ดังนั้นถ้าคิดถึงการกระจัดที่เวลาใดๆ มีการครบรอบอีกครั้ง (คือมีการกระจัดกลับมาเท่าเดิมอีกครั้ง) ภายในคาบ $\tau$ เราสร้างสมการได้เป็น $x\left( t \right) = x\left( {t + \tau } \right)$ นั่นคือ $A\sin \left( {\beta t + \phi } \right) = A\sin \left( {\beta \left( {t + \tau } \right) + \phi } \right)$ เราตระหนักว่า $\sin \left( {\zeta + 2n\pi } \right) = \sin \zeta$ เมื่อ $n = ..., - 2, - 1,0, + 1, + 2,...$ เทียบกับสมการข้างต้น ได้ $\beta \tau = 2n\pi \to \tau = {{2n\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2n\pi }\beta }}\right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta }$ ถ้าเรานิยามคาบให้เป็นช่วงเวลาที่น้อยที่สุดที่ทำให้แกว่งครบรอบ ก็จะได้ $\tau = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \beta }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta}$ เป็นคำตอบครับ great


	Logged

Pages: 1 Go Up

« previous next »