มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41141 Posts in 6136 Topics- by 7801 Members - Latest Member: Laphat
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: หาคาบ physical เพนดูลัม  (Read 13477 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
nut
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 37


« on: April 23, 2011, 08:03:26 PM »

ยังงงเกี่ยวกับการอินทิเกรตครับ idiot2
จากkl\sin \theta =\frac{1}{3}(ml^2)\alpha
จงหาคาบ k เป็นค่านิจสปริง,l เป็นระยะจากแรงที่กระทำจนถึงจุดหมุน\alpha เป็นค่าความเร่งเชิงมุม
เมื่อถือว่า\sin \theta มีค่าน้อยมากจนประมาณเท่ากับ \theta
1.อยากทราบวิธีหาค่าคาบครับ
2.อยากรู้ว่าทำไมถึงแปลง\frac{d^2\theta }{dt^2}เป็น \frac{1d}{2d\theta }(\frac{d\theta^2}{dt^2})ได้ครับ
ขอบคุณครับ
« Last Edit: April 23, 2011, 08:05:26 PM by nut » Logged

ผมขอโทษครับพี่
พอดีผมแพ้จนชิน
Never give up na kub
TimeTimeFruit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 160


Will Be Physicist


« Reply #1 on: April 23, 2011, 08:08:30 PM »

อันอื่นผมยังงงๆนะครับ แต่จะบอกเท่าที่ผมรู้  idiot2

1. ผลเฉลยนี้ครับ \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x =  - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right) คาบของฟังก์ชันคือ {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \beta }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta }

2. ใช้กฎลูกโซ่ครับ \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right) = \left[ {\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)} \right] \cdot \frac{d}{{dt}}x = \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2 } \right]

ปล. สำคัญมากครับ รูปแบบสมการการสั่นอย่างง่าย ต้องมีเครื่องหมายลบด้วยครับ  Smiley

ปปล. รายละเอียดการอินทิเกรต อ่านได้ในหนังสือ สอวน. กลศาสตร์ ของพ่อครับ  smitten
« Last Edit: April 23, 2011, 08:35:30 PM by TimeTimeFruit » Logged

Loser From 10th TPhO ; Bronze Medal , But I will never give up on Physics !! reading

Thx for Inspiration : อ.ปิยพงษ์ , P.NiG , P.Great , P.NkLohit , ..... etc.

ชูเกียรติ , เฉียดกู , ชูเส็ง , ชูด๋อย , แพนด้า , หมีขั้วโลก ... จะอะไรก็เรียกไปเถอะ  buck2
nut
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 37


« Reply #2 on: April 24, 2011, 06:46:56 AM »

ขอบคุณครับพี่
แต่ที่ผมสงสัยอีกคือถ้าเขียน
\alpha ในรูป\frac{d^2\theta }{dt^2} แล้วเราจะอินทิเกรตkl\theta
เพื่อหาคาบได้อย่างไรครับ
« Last Edit: April 24, 2011, 06:48:55 AM by nut » Logged

ผมขอโทษครับพี่
พอดีผมแพ้จนชิน
Never give up na kub
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #3 on: April 24, 2011, 09:17:40 AM »

ที่เราพูดถึงคือการสั่นของ physical pendulum ที่ติดกับ 'torsion' spring อยู่รึเปล่าครับ

ถ้าใช่
...
1. ผลเฉลยนี้ครับ \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x =  - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right) คาบของฟังก์ชันคือ {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \beta }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta }
...
อันนี้คือคำตอบของสมการที่ตามหา

ถ้าต้องการรายละเอียดแบบชิวๆก็ตามนี้ครับ...

สำหรับสมการ \dfrac{d^2}{dt^2}x \sim x (จะใช้ x หรือ \thetaก็แล้วแต่) จัดเป็น สมการอนุพันธ์อันดับ 2 (2nd order differential equation) ซึ่งวิธีการแก้มีหลายแบบ ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ บางสมการก็ไม่มีคำตอบที่เป็น closed form

วิธียอดฮิตของเด็กปีหนึ่งปีสองก็คือการ"สมมติ" ว่า x นี่ มันต้องมีหน้าตาแบบ x\sim e^{\omega_nt}แล้วกัน โดยที่ \omega_nนี่เป็นอะไรซักอย่างที่ยังไม่รู้ว่าคืออะไร ใส่ index n ไว้เผื่อว่าไม่ได้มี  \omega_nค่าเดียว

ถ้าผมเอาคำตอบที่สมมติไว้ไปแทนค่าในสมการที่ถามมาจะได้
(\omega_n)^2=... ค่าคงที่อะไรซักอย่าง
ซึ่งเป็นสมการ พหุนามอันดับ 2 (quadratic equation)มีสองคำตอบ

คำตอบก็สมการนี้ก็ควรจะมีหน้าตาเป็นประมาณ
x = C_1 e^{\omega_1t}+C_2e^{\omega_2t}
โดยที่ C_1 , C_2 เป็นค่าคงที่ซึ่งหาได้จากเงื่อนไขเริ่มต้นของ xกับ \dfrac{d}{dt}x ซึ่งมันก็มาจากค่าคงที่ที่โผล่มาตอนเราอินทิเกรต อินทิเกรตสองครั้งก็มีสองตัว ซึ่งก็เป็นผลที่เราต้องการพอดี

ถ้าจะเอาการหาคำตอบแบบจริงจังกว่านี้...ผมคิดว่าลองไปหาหนังสือที่มีคำว่า Mathematical Methods for physicist จะมีวิธีการแก้สมการ
ดิฟเฟอเรนเชียลที่เจอบ่อยๆในฟิสิกส์ ไม่ก็ถ้าเอียงไปทางเลขมากๆก็ลองหาหนังสือที่ชื่อมีคำว่า Differential Equation ก็จะเป็นวิธีการแก้สมการดิฟเฟอเรนเชียลชนิดต่างๆทั้งเล่มเลย

หรือถามเพิ่มเติมก็ได้นะครับ แต่คำตอบคงไม่ละเอียดเท่าในหนังสือ
« Last Edit: April 24, 2011, 09:29:14 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
TimeTimeFruit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 160


Will Be Physicist


« Reply #4 on: April 24, 2011, 09:36:43 AM »

วิธีที่ง่ายที่สุดมี 2 วิธีครับ

1. ตระหนักว่าฟังก์ชันที่อนุพันธุ์อันดับสองของมัน มีค่าเป็นลบของตัวฟังก์ชันเดิม คือ \frac{{d^2 }}{{dx^2 }}f\left( x \right) =  - f\left( x \right) ซึ่งก็คือฟังก์ชันพวก \sin x\;,\;\cos x แล้วใช้กฎลูกโซ่เข้าช่วย เพื่อโปะค่าคงตัวลงไปข้างหน้า
สมมติว่า x\left( t \right) = \sin \left( {\beta t + \phi } \right) \to \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x\left( t \right) =  - \beta ^2 x
* พูดง่ายๆ คือการ"เดา"คำตอบของสมการครับ

2. เราแก้แบบสมการเชิงอนุพันธุ์ทั่วไป คือสมมติ e^{\lambda t} ออกมา แล้วแก้ตามปกติ
สมมติว่าผลเฉลยของสมการสามารถเขียนในรูป x\left( t \right) = \xi e^{\lambda t} โดย \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x\left( t \right) = \lambda ^2 \left( {\xi e^{\lambda t} } \right) = \lambda ^2 x เทียบกับสมการเดิมที่เราจะแก้ คือ \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x =  - \beta ^2 x เราพบว่า \lambda ^2  =  - \beta ^2  \to \lambda  =  \pm \beta i โดยนิยาม i^2  \equiv  - 1 ผลเฉลยของ x\left( t \right) จึงมีสองฟังก์ชัน คือ x_1 \left( t \right) = \xi _1 e^{\left( { + i\beta } \right)t} \;,\;x_2 \left( t \right) = \xi _2 e^{\left( { - i\beta } \right)t} เรารวมเป็นผลเฉลยที่สมบูรณ์ได้เป็น x\left( t \right) = x_1 \left( t \right) + x_2 \left( t \right) = \xi _1 e^{\left( { + i\beta } \right)t}  + \xi _2 e^{\left( { - i\beta } \right)t} สูตรของออยเลอร์บ่งว่า e^{i\zeta }  = \cos \zeta  + i\sin \zeta นั่นทำให้เราได้ x\left( t \right) = \xi _1 \left[ {\cos \left( { + \beta t} \right) + i\sin \left( { + \beta t} \right)} \right] + \xi _2 \left[ {\cos \left( { - \beta t} \right) + i\sin \left( { - \beta t} \right)} \right] ทำต่อได้ x\left( t \right) = \left( {\xi _1  + \xi _2 } \right)\cos \left( {\beta t} \right) + \left[ {\left( {\xi _1  - \xi _2 } \right)i} \right]\sin \left( {\beta t} \right) แทนสัญลักษณ์ \alpha _1  \equiv \xi _1  + \xi _2 \;,\;\alpha _2  \equiv \left( {\xi _1  - \xi _2 } \right)i จากตรีโกณมิติเรารู้ว่า \eta _1 \sin \chi  + \eta _2 \cos \chi  = \sqrt {\left( {\eta _1 } \right)^2  + \left( {\eta _2 } \right)^2 } \sin \left[ {\chi  + \arctan \left( {\frac{{\eta _2 }}{{\eta _1 }}} \right)} \right] สำหรับกรณีนี้จึงได้ x\left( t \right) = \alpha _1 \cos \left( {\beta t} \right) + \alpha _2 \sin \left( {\beta t} \right) = \sqrt {\left( {\alpha _1 } \right)^2  + \left( {\alpha _2 } \right)^2 } \sin \left[ {\beta t + \arctan \left( {\frac{{\alpha _1 }}{{\alpha _2 }}} \right)} \right] ในที่นี้แทนสัญลักษณ์ A \equiv \sqrt {\left( {\alpha _1 } \right)^2  + \left( {\alpha _2 } \right)^2 } \;,\;\phi  \equiv \arctan \left( {\frac{{\alpha _1 }}{{\alpha _2 }}} \right) จึงได้ผลเฉลยของสมการนี้เป็น \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x =  - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right)
* วิธีนี้คล้ายกับที่เราสมมติ e^{\lambda x} เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธุ์บางประเภท

ปล. เดี๋ยวมาต่อวิธีอินทิเกรตครับ
Logged

Loser From 10th TPhO ; Bronze Medal , But I will never give up on Physics !! reading

Thx for Inspiration : อ.ปิยพงษ์ , P.NiG , P.Great , P.NkLohit , ..... etc.

ชูเกียรติ , เฉียดกู , ชูเส็ง , ชูด๋อย , แพนด้า , หมีขั้วโลก ... จะอะไรก็เรียกไปเถอะ  buck2
TimeTimeFruit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 160


Will Be Physicist


« Reply #5 on: April 24, 2011, 09:56:50 AM »

3. เราเขียน \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right) = \left[ {\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)} \right] \cdot \frac{d}{{dt}}x = \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2 } \right] ได้ \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2 } \right] =  - \beta ^2 x อินทิเกรตได้ \left( {\frac{d}{{dt}}x} \right)^2  =  - \beta ^2 \left( {x^2 } \right) + \alpha _1 โดย \alpha _1 เป็นค่าคงตัว ย้ายข้างไปมาจะได้ \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - \left( {\frac{{\beta x}}{{\sqrt {\alpha _1 } }}} \right)^2 } }}} \right)\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\beta x}}{{\sqrt {\alpha _1 } }}} \right) = \beta อินทิเกรตโดยตระหนักว่า \int {\frac{1}{{\sqrt {1 - \zeta ^2 } }}d\zeta  = \arcsin \left( \zeta  \right)} + ค่าคงที่  ได้ \arcsin \left( {\frac{{\beta x}}{{\sqrt {\alpha _1 } }}} \right) = \beta t + \alpha _2 โดย \alpha _2 เป็นค่าคงตัวอีกตัว ย้ายข้างแล้วกลับฟังก์ชันได้ x\left( t \right) = \frac{{\sqrt {\alpha _1 } }}{\beta }\sin \left( {\beta t + \alpha _2 } \right) เขียนแทน A \equiv \frac{{\sqrt {\alpha _1 } }}{\beta }\;,\;\phi  \equiv \alpha _2 จะได้ผลเฉลยเป็น \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x =  - \beta ^2 x \to x = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right)

ปล. เหนื่อยมาก  buck2
« Last Edit: April 24, 2011, 10:11:12 AM by TimeTimeFruit » Logged

Loser From 10th TPhO ; Bronze Medal , But I will never give up on Physics !! reading

Thx for Inspiration : อ.ปิยพงษ์ , P.NiG , P.Great , P.NkLohit , ..... etc.

ชูเกียรติ , เฉียดกู , ชูเส็ง , ชูด๋อย , แพนด้า , หมีขั้วโลก ... จะอะไรก็เรียกไปเถอะ  buck2
TimeTimeFruit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 160


Will Be Physicist


« Reply #6 on: April 24, 2011, 10:00:55 AM »

ขอบคุณพี่ NiG มากครับที่ช่วยตอบกระทู้ให้  icon adore (เมื่อกี้ผมพิมพ์นานไปหน่อย เลยไม่เห้นว่าพี่มาช่วยตอบแล้ว) ถ้าน้องมีปัญหาอะไรเพิ่มเติม ลองปรึกษาพี่ๆในบอร์ดดูนะครับ ช่วงนี้ผมคงต้องไปปทำธุระยาวเลย  buck2
Logged

Loser From 10th TPhO ; Bronze Medal , But I will never give up on Physics !! reading

Thx for Inspiration : อ.ปิยพงษ์ , P.NiG , P.Great , P.NkLohit , ..... etc.

ชูเกียรติ , เฉียดกู , ชูเส็ง , ชูด๋อย , แพนด้า , หมีขั้วโลก ... จะอะไรก็เรียกไปเถอะ  buck2
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #7 on: April 24, 2011, 11:42:49 AM »

ขอบคุณพี่ NiG มากครับที่ช่วยตอบกระทู้ให้  icon adore (เมื่อกี้ผมพิมพ์นานไปหน่อย เลยไม่เห้นว่าพี่มาช่วยตอบแล้ว) ถ้าน้องมีปัญหาอะไรเพิ่มเติม ลองปรึกษาพี่ๆในบอร์ดดูนะครับ ช่วงนี้ผมคงต้องไปปทำธุระยาวเลย  buck2

เหอๆ ไม่เป็นไร ช่วยๆกันตอบแหละ มีมุมมองของหลายๆคนมันก็ดีกว่าคนเดียวอยู่แล้ว คราวหลังถ้าเห็นเราโพสอะไรที่มันถูกอยู่แล้ว
แต่อยากยกตัวอย่างเพิ่มก็แจมได้เลย ไม่ต้องเกรงใจ  Grin

เออแต่...เรามาอ่านอีกที...เค้าถามหาคาบว่ะ uglystupid2...พลาด...ขออภัย   icon adore

คืองี้ๆ การเคลื่อนที่แบบที่มีคาบนี่ มันนิยามไว้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบซ้ำไปซ้ำมาอยู่ในบริเวณเดิมโดยใช้เวลาในการเคลื่อนที่แต่ละรอบเท่าๆกัน
อย่างที่เราเห็นว่าคำตอบของสมการมันสามารถจัดอยู่ในรูป sine หรือ cosine ได้

เรานิยามว่า การที่อนุภาคจะเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ หรือเคลื่อนที่ไปหนึ่งคาบ ว่าเป็นตอนที่อนุภาคกลับไปอยู่ในตำแหน่งเดิม และมีความเร็วเท่าเดิม
ลองดูว่า ถ้าที่สมมติตำแหน่งและความเร็วของอนุภาคที่เวลา t_0ใดๆ เป็น
x\sim sint_0 กับ v\sim cost_0
ลองแทนค่าt_0ด้วย t_0+\delta t ที่จะทำให้x,v มีค่าเท่าเดิม
\delta t ที่น้อยที่สุดคือคาบการเคลื่อนที่ (คำตอบอื่นจะเขียนอยู่ในรูป จำนวนเต็ม คูณกับ \delta t )

แต่ถ้าอยากอินทิเกรตทีเดียวให้ได้คาบเลย เราจะใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน หรือการจัดรูปแบบกฎนิวตันในความเห็น 5 ก็ได้ เราจะได้สมการเป็น
\left(\dfrac{d}{dt}x\right)^2 = {v_0}^2-\omega^2x^2
 t = 2\int \dfrac{1}{\sqrt{ {v_0}^2-\omega^2x^2}} dx
โดยที่อินทิเกรตตั้งแต่ -x_{max} ถึง x_{max} เลยใส่ 2 ไปด้วยจะได้ครบ 1 รอบการเคลื่อนที่

ลองทำดูของบางอย่างไม่ลองทำก็ไม่รู้ Wink
« Last Edit: April 24, 2011, 11:55:01 AM by NiG » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
TimeTimeFruit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 160


Will Be Physicist


« Reply #8 on: April 24, 2011, 03:29:18 PM »

วิธีของพี่ NiG จะเป็นการมองการเคลื่อนที่ด้วยกฎการอนุรักษ์พลังงานครับ ถ้าเรามองความเร็วเป็นฟังก์ชันกับตำแหน่ง แบบที่ v = v\left( x \right) ได้ ใช้นิยาม v\left( x \right) = \frac{d}{{dt}}x ย้ายข้างแล้วอินทิเกรต \int\limits_{t = 0}^t {dt}  = \int\limits_{x = 0}^x {\frac{1}{{v\left( x \right)}}dx} แล้วแทนเงื่อนไขต่างๆลงไป ก็จะได้คำตอบครับ  smitten ส่วนวิธีที่ง่ายๆและนิยมใช้กันอีกวิธี น่าจะเป็นการยกเอาผลเฉลย x\left( t \right) = A\sin \left( {\beta t + \phi } \right) มาใช้เลย การเคลื่อนที่แบบครบรอบของฟังก์ชันไซน์ (หรือฟังก์ชันตรีโกณอื่นๆ) จะครบรอบด้วยมุม 2\pi ดังนั้นถ้าคิดถึงการกระจัดที่เวลาใดๆ มีการครบรอบอีกครั้ง (คือมีการกระจัดกลับมาเท่าเดิมอีกครั้ง) ภายในคาบ \tau เราสร้างสมการได้เป็น x\left( t \right) = x\left( {t + \tau } \right) นั่นคือ A\sin \left( {\beta t + \phi } \right) = A\sin \left( {\beta \left( {t + \tau } \right) + \phi } \right) เราตระหนักว่า \sin \left( {\zeta  + 2n\pi } \right) = \sin \zeta เมื่อ n = ..., - 2, - 1,0, + 1, + 2,... เทียบกับสมการข้างต้น ได้ \beta \tau  = 2n\pi  \to \tau  = {{2n\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2n\pi }\beta }}\right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta } ถ้าเรานิยามคาบให้เป็นช่วงเวลาที่น้อยที่สุดที่ทำให้แกว่งครบรอบ ก็จะได้ \tau  = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \beta }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta} เป็นคำตอบครับ  great
Logged

Loser From 10th TPhO ; Bronze Medal , But I will never give up on Physics !! reading

Thx for Inspiration : อ.ปิยพงษ์ , P.NiG , P.Great , P.NkLohit , ..... etc.

ชูเกียรติ , เฉียดกู , ชูเส็ง , ชูด๋อย , แพนด้า , หมีขั้วโลก ... จะอะไรก็เรียกไปเถอะ  buck2
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น