เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

« Reply #15 on: April 14, 2011, 04:06:46 AM »

เมื่อวันก่อนผมคุยกับตั้วเรื่องข้อนี้เป็นชั่วโมงเลย Wink

เพราะเราทำกันคนละวิธี (หมายถึงทำโจทย์ข้อนี้นะ ไม่ใช่ทำยังงั้น knuppel2

)

วิธีทำของผมเป็นแบบนี้นะ

สมมติผมให้ ตำแหน่งของจุด CM เทียบกับจุด P เป็น $\mathbf{R}$ และตำแหน่งของจุดใดๆบนกล่องเทียบกับจุดศูนย์กลางมวลเป็น $\mathbf{r}$ อัตราการเปลี่ยนเทียบกับเวลาของแต่ละตำแหน่ง (first time-derivative) จะเป็น $\dot{\mathbf{R}}$ กับ $\dot{\mathbf{r}}$ ตามลำดับ (ทั้งหมดนี้เป็นเวคเตอร์)

โมเมนตัมเชิงมุมของทั้งระบบคือ
$\mathbf{L} = \sum m \left( (\mathbf{R+r})\times(\mathbf{\dot{r}+\dot{R}}) \right)$
จริงๆผมควรจะใส่ index ของการ sum ให้ $m$ กับ $\mathbf{r}$ แต่ขอละไว้ในฐานที่คิดว่าน่าจะเข้าใจนะครับ
เราสามารถจะแยกสมการข้างบนออกเป็นแบบนี้
$\mathbf{L}=\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{r}} +\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}}$

เทอมแรกคือโมเมนตัมเชิงมุมของ"จุดCM รอบจุดP" และเทอมสุดท้ายคือ โมเมนตัมเชิงมุมของกล่องเทียบกับ CM
ทีนี้เรามาดูเทอมที่สาม

$\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}} = \left( \sum m\mathbf{r}\right)\times\mathbf{\dot{R}}$

เราดึง $\mathbf{\dot{R}}$ ออกได้เพราะ $\Sigma$ คือการบวกปริมาณของทุกอนุภาคเล็กๆบนกล่อง ซึ่งเราจะเห็นว่า
$\sum m\mathbf{r}$ เป็นศูนย์ เพราะว่า $\mathbf{r}$ เป็นตำแหน่งของอนุภาคเทียบกับจุด CM

ในสถานการณ์นี้เนื่องจากอนุภาคทุกก้อนเคลื่อนที่ไปพร้อมกันหมด(พร้อมกับ CM ด้วย) ดังนั้นเทอม $\sum m\mathbf{\dot{r}}$ ก็เป็นศูนย์ด้วยเหมือนกัน

ทีนี้มาพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด CM ถ้าผมสมมติว่า $m\mathbf{g}$ กับ $\mathbf{N}$ อยู่ในแนวเดียวกัน
แล้วระบบมีแค่ทอร์กจากแรงเสียดทานมากระทำ ผมจะเขียนได้ว่า
$\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{r} = \mathbf{\dfrac{a}{2}\times f}$
โดยที่ $\mathbf{\dfrac{a}{2}}$ เป็นเวคเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางกล่องไปตั้งฉากกับฐานของกล่อง

ทีนี้ลอง differentiate โมเมนตัมเชิงมุมของระบบเทียบกับเวลาดูจะได้ว่า
$\dfrac{d}{dt}\mathbf{L} = \sum m\mathbf{R}\times \mathbf{\ddot{R}}+\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times \mathbf{\dot{r}}$
ซึ่งตามเหตุผลที่ผมใช้ เทอมทางซ้ายของสมการจะเป็นศูนย์ เพราะแรงเสียดทานอยู่ในแนวระดับ แต่เทอมทางด้านขวาสองเทอมจะกลายเป็น
$0 = M\left( \dfrac{a}{2}\right)\ddot{x} + f\left( \dfrac{a}{2}\right)$
ซึ่งจะตรงกับที่เราหาความเร่งของกล่องได้จากกฎของนิวตันครับ
$-f = M\ddot{x}$

สำคัญตรงนี้ครับ คำถามคือแล้ววิธีของผมมันถูกรึเปล่า ถ้าผิดเนี่ยผิดตรงไหน ถ้าถูกแล้ววิธีของผมจะนำไปสู่วิธีทำที่น้อง Tangg คิดไว้ได้ยังไง


« Last Edit: April 14, 2011, 09:35:43 AM by NiG »	Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148

Tangg

neutrino

Offline

Posts: 198

Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

« Reply #16 on: April 16, 2011, 03:22:32 AM »

Quote from: NiG on April 14, 2011, 04:06:46 AM

เมื่อวันก่อนผมคุยกับตั้วเรื่องข้อนี้เป็นชั่วโมงเลย Wink

เพราะเราทำกันคนละวิธี (หมายถึงทำโจทย์ข้อนี้นะ ไม่ใช่ทำยังงั้น knuppel2

)

วิธีทำของผมเป็นแบบนี้นะ

สมมติผมให้ ตำแหน่งของจุด CM เทียบกับจุด P เป็น $\mathbf{R}$ และตำแหน่งของจุดใดๆบนกล่องเทียบกับจุดศูนย์กลางมวลเป็น $\mathbf{r}$ อัตราการเปลี่ยนเทียบกับเวลาของแต่ละตำแหน่ง (first time-derivative) จะเป็น $\dot{\mathbf{R}}$ กับ $\dot{\mathbf{r}}$ ตามลำดับ (ทั้งหมดนี้เป็นเวคเตอร์)

โมเมนตัมเชิงมุมของทั้งระบบคือ
$\mathbf{L} = \sum m \left( (\mathbf{R+r})\times(\mathbf{\dot{r}+\dot{R}}) \right)$
จริงๆผมควรจะใส่ index ของการ sum ให้ $m$ กับ $\mathbf{r}$ แต่ขอละไว้ในฐานที่คิดว่าน่าจะเข้าใจนะครับ
เราสามารถจะแยกสมการข้างบนออกเป็นแบบนี้
$\mathbf{L}=\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{r}} +\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}}$

เทอมแรกคือโมเมนตัมเชิงมุมของ"จุดCM รอบจุดP" และเทอมสุดท้ายคือ โมเมนตัมเชิงมุมของกล่องเทียบกับ CM
ทีนี้เรามาดูเทอมที่สาม

$\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}} = \left( \sum m\mathbf{r}\right)\times\mathbf{\dot{R}}$

เราดึง $\mathbf{\dot{R}}$ ออกได้เพราะ $\Sigma$ คือการบวกปริมาณของทุกอนุภาคเล็กๆบนกล่อง ซึ่งเราจะเห็นว่า
$\sum m\mathbf{r}$ เป็นศูนย์ เพราะว่า $\mathbf{r}$ เป็นตำแหน่งของอนุภาคเทียบกับจุด CM

ในสถานการณ์นี้เนื่องจากอนุภาคทุกก้อนเคลื่อนที่ไปพร้อมกันหมด(พร้อมกับ CM ด้วย) ดังนั้นเทอม $\sum m\mathbf{\dot{r}}$ ก็เป็นศูนย์ด้วยเหมือนกัน

ทีนี้มาพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด CM ถ้าผมสมมติว่า $m\mathbf{g}$ กับ $\mathbf{N}$ อยู่ในแนวเดียวกัน
แล้วระบบมีแค่ทอร์กจากแรงเสียดทานมากระทำ ผมจะเขียนได้ว่า
$\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{r} = \mathbf{\dfrac{a}{2}\times f}$
โดยที่ $\mathbf{\dfrac{a}{2}}$ เป็นเวคเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางกล่องไปตั้งฉากกับฐานของกล่อง

ทีนี้ลอง differentiate โมเมนตัมเชิงมุมของระบบเทียบกับเวลาดูจะได้ว่า
$\dfrac{d}{dt}\mathbf{L} = \sum m\mathbf{R}\times \mathbf{\ddot{R}}+\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times \mathbf{\dot{r}}$
ซึ่งตามเหตุผลที่ผมใช้ เทอมทางซ้ายของสมการจะเป็นศูนย์ เพราะแรงเสียดทานอยู่ในแนวระดับ แต่เทอมทางด้านขวาสองเทอมจะกลายเป็น
$0 = M\left( \dfrac{a}{2}\right)\ddot{x} + f\left( \dfrac{a}{2}\right)$
ซึ่งจะตรงกับที่เราหาความเร่งของกล่องได้จากกฎของนิวตันครับ
$-f = M\ddot{x}$

สำคัญตรงนี้ครับ คำถามคือแล้ววิธีของผมมันถูกรึเปล่า ถ้าผิดนี่ผิดตรงไหน ถ้าถูกแล้ววิธีของผมจะนำไปสู่วิธีทำที่น้อง Tangg คิดไว้ได้ยังไง

เท่าที่ได้ลองคิดไว้นะครับ

1.) ผมคิดว่า การที่เราพิสูจน์โดยตั้งสมมติฐานว่า ทอร์กกระทำรอบจุดศูนย์กลางมวลเกิดจากแรงเสียดทานเพียงอย่างเดียว อาจไม่ถูกต้องนักนะครับ เพราะตามหลักของตรรกศาสตร์และการพิสูจน์นั้น การที่พิสูจน์โดยใช้สมมติฐาน มีเพียงแค่วิธี Contradiction หรือวิธีการหาข้อขัดแย้ง เท่านั้นครับ (หมายความว่าหากเราตั้งสมมติฐานแล้วไม่ได้มีข้อขัดแย้ง เราก็ยังไม่อาจสรุปได้ว่า สมมติฐานนั้นถูก แต่ถ้าเราตั้งสมมติฐานแล้วขัดแย้งขึ้นมา เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าสมมติฐานนั้นไม่ถูกต้อง)

2.) เท่าที่ผมนึกได้ ก็อย่างเช่น ทรงกลมตัน กำลังกลื้งอย่างไถลบนพื้นฝืดแนวระดับ สังเกตว่า ในกรณีนี้ แรง Normal Force ต้องกระทำในแนวเดียวกับน้ำหนักแน่นอนครับเพราะว่า จุดที่ทรงกลมสัมผัสพื้น มีเพียงจุดเดียว จึงสังเกตเห็นได้ว่า สมมติฐานของพี่ Nig อาจจะบรรยายการเคลื่อนที่ในทรงกลมตันแทนทรงสี่เหลี่ยมก็เป็นได้ครับ

ดังนั้น ผมจึงคิดว่า การที่สมมติว่า L=Constant แล้วตั้งสมการขึ้นมา ถึงไม่มีข้อขัดแย้ง แต่ก็ไม่จำเป็นว่าสมมติฐานจะถูกต้องก็ได้ครับ

ถ้าหากผมคิดผิดพลาดประการใด โปรดชี้แนะด้วยครับ

ขอบคุณมากๆครับ


« Last Edit: April 16, 2011, 03:26:08 AM by Tangg »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

« Reply #17 on: April 16, 2011, 06:44:58 AM »

ขอบคุณสำหรับความเห็นครับ Grin

จริงๆแล้วสมมติฐานที่ผมตั้งไว้จริงๆคือ ผมพิจารณาช่วงเวลาสั้นๆในช่วงที่แรงเสียดทานเริ่มทำกับวัตถุจนทำให้วัตถุเกิดความเร่งเชิงมุมในช่วงเวลาสั้นๆ
ก่อนที่ทอร์กจากแรงเสียดทานจะทำให้ตำแหน่งของแรงปฎิกิริยาเลื่อนไปด้านหน้าครับ

ซึ่งอาจจะเป็นการสมมติสถานการณ์ที่ไม่ค่อยจะตรงกับที่โจทย์บอกมาเท่าไหร่ uglystupid2

เพราะอาจจะบอกได้ว่า ในโจทย์สื่อว่ามีแรงเสียดทานกระทำกับกล่องตั้งแต่แรก tickedoff

ซึ่งถ้าเป็นยังงั้นก็ขออภัยที่ทำให้สับสนครับ icon adore

สิ่งที่น่าสนใจที่ผมหมายถึงคือ อย่างที่เราว่าตอนสุดท้ายแล้วกล่องมันไม่ได้กลิ้ง แต่มันเกิดการหมุนขึ้นรึเปล่า แรงปฎิกิริยาเป็นแรงที่ทำให้กล่องไม่หมุนใช่มั้ย ถ้ายังงั้น พื้นมันส่งแรงมากระทำกับกล่องยังไง ซึ่งสิ่งเหล่านี้ถ้าพิจารณาให้ลึกซึ้งแล้ว มันนำไปสู่ limit ของ classical mechanics ได้รึเปล่า


	Logged

Mwit_Psychoror

SuperHelper

Offline

Posts: 780

Reality is the average of all illusion

Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

« Reply #18 on: April 17, 2011, 06:44:05 AM »

อย่างที่ Tangg บอก แต่ว่าอยากจะขยายความสักนิดว่า สิ่งที่พี่NiGทำมานั้นถูกทั้งหมด แต่ที่มันไม่สามารถลู่เข้าคำตอบที่ Tangg ทำมาได้นั้นเพราะว่าพี่ NiG ไม่ได้ใส่เงื่อนไขของความเป็นรูปร่างเหลี่ยมเข้าไปครับ

จาก rep

Quote from: NiG on April 14, 2011, 04:06:46 AM

......
$\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}} = \mathbf{\dfrac{a}{2}\times f}$
โดยที่ $\mathbf{\dfrac{a}{2}}$ เป็นเวคเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางกล่องไปตั้งฉากกับฐานของกล่อง

....

จะเห็นว่าถ้าสมการนี้จริงไปเรื่อยๆ การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด CM จะเกิดขึ้นเรื่อยๆ และทำให้วัตถุหมุน(เกิดความเร็วเชิงมุม)

ในกรณีที่แรง N เลื่อนไปอยู่ข้างหน้า จะเห็นว่าพจน์ $\dfrac{d}{dt}\vec{L} \neq 0$ เพราะว่าจะมีทอร์กสุทธิมากระทำกับระบบ และพจน์ $\dfrac{d}{dt} \displaystyle \sum m\vec{r} \times \dot\vec{r}$ จะเป็นศูนย์แทน ดังนั้น $\dfrac{d}{dt}L= -\dfrac{Ma\ddot{x}}{2}$ ซึ่งก็ถูกต้องเช่นกัน


	Logged

Pages: « 1 2 Go Up

« previous next »