ปัญหารูปร่างเชือกมีมวลที่ห้อยอยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลก

เชือกยาวขนาดสม่ำเสมอเส้นหนึ่ง มีมวลต่อหนึ่งหน่วยความยาวเท่ากับ $\sigma$ ปลายสองข้างยึดติดไว้กับจุดสองจุดที่อยู่ในแนวระดับเดียวกัน ดังในรูปข้างล่าง

โดยการพิจารณาส่วนเล็ก ๆ ของเชือกที่ยาว $\Delta s$ ดังตัวอย่างในรูปข้างบน

1.1 จงแสดงว่าองค์ประกอบของแรงตึงในเชือกในแนวระดับที่ทุกจุดของโซ่มีขนาดเท่ากัน
1.2 จงแสดงว่าที่จุดใด ๆ ของเชือก ${d \over {d\theta }}(T\sin \theta ) = \sigma g{{ds} \over {d\theta }}$
โดยที่ $T$ เป็นแรงตึงในเชือกที่จุดนั้น และ $\theta$ เป็นมุมที่เชือกทำกับแนวระดับที่ตำแหน่งนั้น (ดูรูป) ส่วน $s$ เป็นความยาวท่ี่วัดตามเชือกจากปลายหนึ่ง
1.3 ถ้าให้ $T_0$ เป็นขนาดขององค์ประกอบของแรงตึงในเชือกในแนวระดับที่จุดใด ๆ จงแสดงว่า ${{ds} \over {d\theta }} = b\sec ^2 \theta$ โดยที่ $b = T_0/\sigma g$
1.4 กำหนด $\int {\sec \theta } d\theta = \ln (\sec \theta + \tan \theta ) + c$ และ $\int {\sec \theta \tan \theta d\theta = \sec \theta }$
และสมมุติว่าเราเลือกจุดอ้างอิงและระบบพิกัดให้จุดต่ำสุดของโซ่ที่ $\theta = 0$ นั้นเป็นจุดที่ $x = 0$ และ $y = b$ โดยการแก้่สมการจากค่าของ $dx/d\theta$ และ $dy/d\theta$ จงแสดงให้เห็นว่า $x = b \ln (\sec \theta + \tan \theta)$ และ $y = b \sec \theta$
1.5 โดยการใช้เอกลักษณ์ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ และจากสมการข้างบน จงแก้สมการหาค่าของ $\sec \theta$ ในรูปของ $x$ แล้วแสดงให้เห็นว่า $y = b \cosh (x/b)$

คุณสมบัติของเด็กดี