ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41273 Posts in 6178 Topics- by 8285 Members - Latest Member: SiM3
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ปัญหารูปร่างเชือกมีมวลที่ห้อยอยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลก
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ปัญหารูปร่างเชือกมีมวลที่ห้อยอยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลก  (Read 16943 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6283


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: April 12, 2005, 06:30:30 PM »
เชือกยาวขนาดสม่ำเสมอเส้นหนึ่ง มีมวลต่อหนึ่งหน่วยความยาวเท่ากับ \sigma  ปลายสองข้างยึดติดไว้กับจุดสองจุดที่อยู่ในแนวระดับเดียวกัน ดังในรูปข้างล่าง



โดยการพิจารณาส่วนเล็ก ๆ ของเชือกที่ยาว \Delta s ดังตัวอย่างในรูปข้างบน

1.1 จงแสดงว่าองค์ประกอบของแรงตึงในเชือกในแนวระดับที่ทุกจุดของโซ่มีขนาดเท่ากัน
1.2 จงแสดงว่าที่จุดใด ๆ ของเชือก {d \over {d\theta }}(T\sin \theta ) = \sigma g{{ds} \over {d\theta }}
โดยที่ T เป็นแรงตึงในเชือกที่จุดนั้น และ \theta เป็นมุมที่เชือกทำกับแนวระดับที่ตำแหน่งนั้น (ดูรูป) ส่วน s เป็นความยาวท่ี่วัดตามเชือกจากปลายหนึ่ง
1.3 ถ้าให้ T_0 เป็นขนาดขององค์ประกอบของแรงตึงในเชือกในแนวระดับที่จุดใด ๆ  จงแสดงว่า {{ds} \over {d\theta }} = b\sec ^2 \theta โดยที่ b = T_0/\sigma g
1.4 กำหนด \int {\sec \theta } d\theta = \ln (\sec \theta + \tan \theta ) + c และ \int {\sec \theta \tan \theta d\theta = \sec \theta }
และสมมุติว่าเราเลือกจุดอ้างอิงและระบบพิกัดให้จุดต่ำสุดของโซ่ที่ \theta = 0  นั้นเป็นจุดที่ x = 0  และ y = b   โดยการแก้สมการจากค่าของ dx/d\theta  และ dy/d\theta  จงแสดงให้เห็นว่า x = b \ln (\sec \theta + \tan \theta) และ y = b \sec \theta      
1.5 โดยการใช้เอกลักษณ์ \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1  และจากสมการข้างบน  จงแก้สมการหาค่าของ \sec \theta  ในรูปของ x  แล้วแสดงให้เห็นว่า y = b \cosh (x/b)
« Last Edit: October 23, 2017, 03:32:52 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Peace
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 477
« Reply #1 on: April 13, 2005, 11:26:24 PM »
ขอลองทำดูนะครับ
เชือกอยู่นิ่ง \sum \vec{F} = 0
\displaystyle{T_x(\theta + \Delta \theta) = T_x(\theta)}**********
(T + \Delta T) \sin (\theta + \Delta \theta) - T \sin \theta = \sigma g \Delta s
หารตลอดด้วย \Delta \theta
จะได้ว่า
\displaystyle{\frac{(T \sin \theta)_{at (\theta + \Delta \theta)} - (T \sin \theta)_{at \theta}}{\Delta \theta} = \sigma g \frac{\Delta s}{\Delta \theta}}
เมื่อ \Delta \theta \rightarrow 0
จะเขียนได้เป็น \displaystyle{{d \over {d\theta }}(T\sin \theta ) = \sigma g{{ds} \over {d\theta }}}**********

แต่ T = T_0 \sec \theta
ดังนั้น \displaystyle{\frac{ds}{d \theta} = \frac{T_0}{\sigma g} \frac{d}{d \theta} \tan \theta = b \sec^2 \theta}**********

\frac{dx}{d \theta} =\frac{dx}{ds} \frac{ds}{d \theta} = (\cos \theta)(b \sec^2 \theta)
\int^{x}_{0} dx = b \int^{\theta}_{0} \sec \theta d \theta
ได้ \displaystyle{x = b \ln \frac{(\sec \theta + \tan \theta)}{\sec 0 + \tan 0} = b \ln (\sec \theta + \tan \theta)}}**********

ส่วน \frac{dy}{d \theta} = \frac{dy}{ds} \frac{ds}{d \theta} = (\sin \theta)(b \sec^2 \theta) = b \sec \theta \tan \theta
\int^y_b dy = b \int^{\theta}_{0} \sec \theta \tan \theta d \theta

y - b = b (\sec \theta - \sec 0)
\displaystyle{y = b \sec \theta}**********

จากสมการ x จะได้
\sec \theta + \tan \theta = e^{x/b}
\tan^2 \theta = e^{2x/b} - 2e^{x/b} \sec \theta + \sec^2 \theta
\sec^2 \theta - 1 = e^{2x/b} - 2e^{x/b} \sec \theta + \sec^2 \theta
\displaystyle{\sec \theta = \frac{1}{2} (e^{x/b} + e^{-x/b})}**********

แต่ \sec \theta = \frac{y}{b}
ดังนั้น
\displaystyle{y = b (\frac{1}{2} (e^{x/b} + e^{-x/b})) = b \cosh {x/b}}**********
« Last Edit: April 14, 2005, 08:15:43 AM by Peace » Logged
น้ำเงินขาว ดาวสวรรค์ ปัญญาชน เราทุกคนคือตราสถาบัน

P.S.P.2 สายวิทย์เฮฮา
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6283


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: April 14, 2005, 04:59:14 PM »
ดีมาก   angel
« Last Edit: May 30, 2010, 01:18:27 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
PT_CIS
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 208
« Reply #3 on: December 15, 2018, 02:26:27 AM »
Quote from: Peace on April 13, 2005, 11:26:24 PM
ขอลองทำดูนะครับ
เชือกอยู่นิ่ง \sum \vec{F} = 0
\displaystyle{T_x(\theta + \Delta \theta) = T_x(\theta)}**********
(T + \Delta T) \sin (\theta + \Delta \theta) - T \sin \theta = \sigma g \Delta s
หารตลอดด้วย \Delta \theta
จะได้ว่า
\displaystyle{\frac{(T \sin \theta)_{at (\theta + \Delta \theta)} - (T \sin \theta)_{at \theta}}{\Delta \theta} = \sigma g \frac{\Delta s}{\Delta \theta}}
เมื่อ \Delta \theta \rightarrow 0
จะเขียนได้เป็น \displaystyle{{d \over {d\theta }}(T\sin \theta ) = \sigma g{{ds} \over {d\theta }}}**********

แต่ T = T_0 \sec \theta
ดังนั้น \displaystyle{\frac{ds}{d \theta} = \frac{T_0}{\sigma g} \frac{d}{d \theta} \tan \theta = b \sec^2 \theta}**********

\frac{dx}{d \theta} =\frac{dx}{ds} \frac{ds}{d \theta} = (\cos \theta)(b \sec^2 \theta)
\int^{x}_{0} dx = b \int^{\theta}_{0} \sec \theta d \theta
ได้ \displaystyle{x = b \ln \frac{(\sec \theta + \tan \theta)}{\sec 0 + \tan 0} = b \ln (\sec \theta + \tan \theta)}}**********

ส่วน \frac{dy}{d \theta} = \frac{dy}{ds} \frac{ds}{d \theta} = (\sin \theta)(b \sec^2 \theta) = b \sec \theta \tan \theta
\int^y_b dy = b \int^{\theta}_{0} \sec \theta \tan \theta d \theta

y - b = b (\sec \theta - \sec 0)
\displaystyle{y = b \sec \theta}**********

จากสมการ x จะได้
\sec \theta + \tan \theta = e^{x/b}
\tan^2 \theta = e^{2x/b} - 2e^{x/b} \sec \theta + \sec^2 \theta
\sec^2 \theta - 1 = e^{2x/b} - 2e^{x/b} \sec \theta + \sec^2 \theta
\displaystyle{\sec \theta = \frac{1}{2} (e^{x/b} + e^{-x/b})}**********

แต่ \sec \theta = \frac{y}{b}
ดังนั้น
\displaystyle{y = b (\frac{1}{2} (e^{x/b} + e^{-x/b})) = b \cosh {x/b}}**********
ผมงงตรง (T + \Delta T)\sin (\theta +\Delta \theta ) -T \sin (\theta )
ไปยังการหาด้วย \Delta \theta (ทั้ง T และ เทต้าต่างไม่คงตัว ผมทำไมถึงทำได้ครับ
« Last Edit: December 15, 2018, 02:32:15 AM by PT_CIS » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6283


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #4 on: December 16, 2018, 09:02:00 AM »
Quote from: PT_CIS on December 15, 2018, 02:26:27 AM
...
 ผมงงตรง (T + \Delta T)\sin (\theta +\Delta \theta ) -T \sin (\theta )
ไปยังการหาด้วย \Delta \theta (ทั้ง T และ เทต้าต่างไม่คงตัว ผมทำไมถึงทำได้ครับ

นิยามของการหาอนุพันธ์ครับ กลับไปอ่านดูว่านิยามว่าอย่างไร
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: