กรอบอ้างอิงหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว

EtersicZ

neutrino

Offline

Posts: 48

กรอบอ้างอิงหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว

« on: November 14, 2010, 05:44:24 PM »

ผมสงสัยเกี่ยวกับเรื่องกรอบอ้างอิงที่หมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัวครับ

คือสมมติว่ากรอบอ้างอิง $S^\prime$ หมุนตัวด้วยอัตราเร็วเชิงมุม $\omega$ คงตัวมีทิศในทิศ $\hat{k}$ โดยที่ $t=0$ อยู่ตำแหน่งเดียวกับ $S$

แล้วจากนั้นในหนังสือก็วิเคราะห์การเคลื่อนที่นี้ว่า

$\frac{d\hat{i^\prime }}{d t } = \omega \hat{j^\prime }$

$\frac{d\hat{j^\prime }}{d t } = -\omega \hat{i^\prime }$

และ

$\frac{d\hat{k^\prime }}{d t} = 0$

ตรง $\frac{d\hat{i^\prime }}{d t } \frac{d\hat{j^\prime }}{d t }$ และ $\frac{d\hat{k^\prime }}{d t}$ ที่หนังสือเขียนไว้หมายถึงความเร็วหรือความเร็วเชิงมุมหรือครับ แล้วทิศที่หาออกมาได้นั้นหามาได้อย่างไรหรือครับ

ขอบคุณไว้ล่วงหน้าครับ smitten


	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: กรอบอ้างอิงหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว

« Reply #1 on: November 15, 2010, 02:13:06 AM »

เวกเตอร์"หนึ่งหน่วย"อย่าง i, j, k ความจริงแล้วไม่มีหน่วยครับ (หน่วยอยู่กับตัวเลขที่คูณอยู่ข้างหน้ามัน ถ้ามี) ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของมันไม่ใช่ความเร็วอย่างแน่นอน
ผลลัพธ์ที่ได้นั้นมาจากการวาดรูป (ลองวาดรูปเวกเตอร์เหล่านั้นที่เวลา t และ t + dt ดู) และพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเหล่านั้นเป็นอย่างที่เขียนมา

ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเหล่านั้น แม้จะมีขนาดเท่ากับขนาดของความเร็วเชิงมุม แต่ไม่ใช่ความเร็วเชิงมุมครับ เพราะเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมจากการหมุนในลักษณะดังรูปนั้น ทิศทางจะอยู่ในแนวแกน z โดยชี้ออกมาจากจอคอม


	Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home

EtersicZ

neutrino

Offline

Posts: 48

Re: กรอบอ้างอิงหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว

« Reply #2 on: November 15, 2010, 08:37:35 PM »

พอเข้าใจแล้วครับ

แล้วค่าที่ได้ออกมานั้นมันคืออะไรหรือครับ หรือว่าเป็นปริมาณที่เอาไว้วิเคราะห์การเคลื่อนที่เฉยๆรึเปล่าครับ

ผมขอยกในหนังสือมาต่ออีกนิดนะครับ พอดีมีที่สงสัยอีกน่ะครับ

จากในหนังสือ

หากมีเวกเตอร์บอกตำแหน่งตัวหนึ่งอยู่ในกรอบอ้างอิงนั้น สมมติว่าเป็นเวกเตอร์ $\vec{R}$
หากมองในกรอบอ้างอิงทั้งสองจะเห็นเป็น $\vec{R}$ และ $\vec{R^\prime }$ ซึ่งเป็นตัวเดียวกัน

จะได้ $\vec{R} = \vec{R^\prime }$

สามารถแจกแจงได้เป็น $\vec{R} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} , \vec{R^\prime } = x^\prime \hat{i^\prime }+y^\prime\hat{j^\prime }+z^\prime\hat{k^\prime }$

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของ $\vec{R}$ ผ่านกรอบ $S$ จะได้ว่า

$\vec{v} = \begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R} \end{bmatrix} _{S} = \hat{i}\frac{d}{d t}x+\hat{j}\frac{d}{d t}y+\hat{k}\frac{d}{d t}z$ $........... (1)$

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของ $\vec{R^\prime }$ ผ่านกรอบ $S$ จะได้ว่า

$\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S} = \hat{i^\prime }\frac{d}{d t}x^\prime +\hat{j^\prime }\frac{d}{d t}y^\prime +\hat{k^\prime }\frac{d}{d t}z^\prime+x^\prime\frac{d}{d t}\hat{i^\prime }+y^\prime\frac{d}{d t}\hat{j^\prime }+z^\prime\frac{d}{d t}\hat{k^\prime }$

หรือ

$\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S} = \hat{i^\prime }\frac{d}{d t}x^\prime +\hat{j^\prime }\frac{d}{d t}y^\prime +\hat{k^\prime }\frac{d}{d t}z^\prime+\omega x^\prime\hat{j}-\omega y^\prime\hat{i}$ $........... (2)$

หากมองการเปลี่ยนแปลงของ $\vec{R^\prime }$ ผ่านกรอบ $S^\prime$ จะได้

$\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S} = \hat{i^\prime }\frac{d}{d t}x^\prime +\hat{j^\prime }\frac{d}{d t}y^\prime +\hat{k^\prime }\frac{d}{d t}z^\prime$ $........... (3)$

จากที่ว่า $\vec{R}=\vec{R^\prime }$ และจากสมการข้างต้น เอามาเขียนได้ว่า

$\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R } \end{bmatrix} _{S }=\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S^\prime }+\omega x^\prime\hat{j}-\omega y^\prime\hat{i}$

จัดรูป โดยอาศัย $\hat{j^\prime }=\hat{k}\times \hat{i^\prime },\hat{i^\prime }=\hat{-k}\times \hat{j^\prime },0=\hat{k}\times \hat{k^\prime }$

จะได้ว่า

$\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R } \end{bmatrix} _{S }=\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega }\times \vec{R^\prime }$

แสดงความสัมพันธ์เชิงตัวดำเนินการอนุพันธ์เปรียบทั้งสองกรอบจะได้ว่า

$\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R } \end{bmatrix} _{S }=(\begin{bmatrix} \frac{d}{d t} \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega })\times \vec{R^\prime }$ $.......... (4)$

หาความเร่งจาก สมการ $(4)$

จะได้ $\begin{bmatrix} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\vec{R } \end{bmatrix} _{S } =(\begin{bmatrix} \frac{d}{d t} \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega })\times (\begin{bmatrix} \frac{d}{d t} \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega })\times \vec{R^\prime }$

สมการนี้มันหาอนุพันธ์มาเป็นรูปนี้ยังไงหรือครับ ผมทำมาไม่ได้เลย

จากนี้ผมก็งงแล้วครับ แต่มีผลเฉลยเป็น

$\vec{a}=\vec{a^\prime }-2\vec{\omega }\times \vec{v}-\vec{\omega }\times \vec{\omega }\times \vec{R^\prime }$

บรรทัดล่างๆนี่แหละครับผมไม่เข้าใจเลย ช่วยอธิบายให้กระจ่างทีครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับบ


	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: กรอบอ้างอิงหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว

« Reply #3 on: November 17, 2010, 04:30:28 PM »

ผมว่าสมการที่ (4) นั้นแปลกๆอยู่นะครับ เพราะปริมาณ $\left[ \dfrac{d}{dt} \right]_{S^{\prime}} \times \vec{R}$ นั้นไม่น่าจะนิยาม

วิธีที่ผมว่าเข้าใจได้ง่ายกว่าคือ สมมติให้ $\vec{A}$ เป็นเวกเตอร์ใดๆ (เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง) ในปริภูมิสามมิติ โดยใช้การนิยามแบบที่คุณ EtersicZ ได้ใช้มา ผมขอเปลี่ยนแปลงสัญลักษณ์นิดหน่อยเพื่อความง่ายในการพิมพ์และการมอง
ให้ $\left[ \dfrac{d \vec{A}}{dt} \right]_S \equiv \dfrac{d \vec{A}}{dt}$ และ $\left[ \dfrac{d \vec{A}}{dt} \right]_{S^{\prime}} \equiv \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t}$

ดังนั้น จะได้ว่า
$\dfrac{d \vec{A}}{dt} = \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} + \omega \times \vec{A}$ -->(a)
และเมื่อหาอนุพันธ์เทียบเวลาอีกครั้ง จะได้ว่า
$\dfrac{d^2 \vec{A}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} \right) + \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{A} + \vec \omega \times \dfrac{d \vec{A}}{dt}$ --> (b)
ใช้สมการ (a) จะได้ว่า
$\dfrac{d^2 \vec{A}}{dt^2} = \left( \dfrac{\delta^2 \vec{A}}{\delta t^2} + \vec \omega \times \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} \right) + \left( \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{A} \right) + \vec \omega \times \left( \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} + \vec \omega \times \vec{A} \right)$
$\dfrac{d^2 \vec{A}}{dt^2} = \dfrac{\delta^2 \vec{A}}{\delta t^2} + \vec \omega \times \left( \vec \omega \times \vec{A} \right) + 2 \vec \omega \times \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} + \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{A}$
หากแทนค่าให้ $\vec{A} = \vec{R}$ และสำหรับการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว ก็จะได้ว่า
$\dfrac{d^2 \vec{R}}{dt^2} = \vec{a} + \vec \omega \times \left( \vec \omega \times \vec{R} \right) + 2 \vec \omega \times \vec{v}$ เมื่อ $\vec{R}, \; \vec{v} \equiv \delta \vec{R} / \delta t$ และ $\vec{a} \equiv \delta^2 \vec{R} / \delta t^2$ คือ ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาควัดเทียบกรอบอ้างอิง $S^{\prime}$

หมายเหตุ: เวกเตอร์ $\vec{R}$ และ $\vec{R}^{\prime}$ นั้นเป็นตัวเดียวกัน ดังนั้นไม่จำเป็นต้องใส่เครื่องหมาย prime ซ้ำซ้อนครับ