ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41580 Posts in 6276 Topics- by 9834 Members - Latest Member: Jeang
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์กรอบอ้างอิงหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: กรอบอ้างอิงหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว  (Read 3916 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
EtersicZ
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 48
« on: November 14, 2010, 05:44:24 PM »
ผมสงสัยเกี่ยวกับเรื่องกรอบอ้างอิงที่หมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัวครับ

คือสมมติว่ากรอบอ้างอิง S^\prime หมุนตัวด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega คงตัวมีทิศในทิศ \hat{k} โดยที่ t=0 อยู่ตำแหน่งเดียวกับ S

แล้วจากนั้นในหนังสือก็วิเคราะห์การเคลื่อนที่นี้ว่า

\frac{d\hat{i^\prime }}{d t } = \omega \hat{j^\prime }

\frac{d\hat{j^\prime }}{d t } = -\omega \hat{i^\prime }

และ

\frac{d\hat{k^\prime }}{d t} = 0

ตรง \frac{d\hat{i^\prime }}{d t } \frac{d\hat{j^\prime }}{d t } และ \frac{d\hat{k^\prime }}{d t} ที่หนังสือเขียนไว้หมายถึงความเร็วหรือความเร็วเชิงมุมหรือครับ แล้วทิศที่หาออกมาได้นั้นหามาได้อย่างไรหรือครับ



ขอบคุณไว้ล่วงหน้าครับ   smitten smitten smitten
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #1 on: November 15, 2010, 02:13:06 AM »
เวกเตอร์"หนึ่งหน่วย"อย่าง i, j, k ความจริงแล้วไม่มีหน่วยครับ (หน่วยอยู่กับตัวเลขที่คูณอยู่ข้างหน้ามัน ถ้ามี) ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของมันไม่ใช่ความเร็วอย่างแน่นอน
ผลลัพธ์ที่ได้นั้นมาจากการวาดรูป (ลองวาดรูปเวกเตอร์เหล่านั้นที่เวลา t และ t + dt ดู) และพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเหล่านั้นเป็นอย่างที่เขียนมา

ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเหล่านั้น แม้จะมีขนาดเท่ากับขนาดของความเร็วเชิงมุม แต่ไม่ใช่ความเร็วเชิงมุมครับ เพราะเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมจากการหมุนในลักษณะดังรูปนั้น ทิศทางจะอยู่ในแนวแกน z โดยชี้ออกมาจากจอคอม  Smiley
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
EtersicZ
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 48
« Reply #2 on: November 15, 2010, 08:37:35 PM »
พอเข้าใจแล้วครับ

แล้วค่าที่ได้ออกมานั้นมันคืออะไรหรือครับ  หรือว่าเป็นปริมาณที่เอาไว้วิเคราะห์การเคลื่อนที่เฉยๆรึเปล่าครับ

ผมขอยกในหนังสือมาต่ออีกนิดนะครับ พอดีมีที่สงสัยอีกน่ะครับ

จากในหนังสือ 

หากมีเวกเตอร์บอกตำแหน่งตัวหนึ่งอยู่ในกรอบอ้างอิงนั้น สมมติว่าเป็นเวกเตอร์ \vec{R}
หากมองในกรอบอ้างอิงทั้งสองจะเห็นเป็น \vec{R} และ \vec{R^\prime } ซึ่งเป็นตัวเดียวกัน

จะได้  \vec{R} = \vec{R^\prime }

สามารถแจกแจงได้เป็น \vec{R} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} , \vec{R^\prime } = x^\prime \hat{i^\prime }+y^\prime\hat{j^\prime }+z^\prime\hat{k^\prime }

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของ \vec{R} ผ่านกรอบ S จะได้ว่า

\vec{v} = \begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R} \end{bmatrix} _{S} = \hat{i}\frac{d}{d t}x+\hat{j}\frac{d}{d t}y+\hat{k}\frac{d}{d t}z ........... (1)

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของ \vec{R^\prime } ผ่านกรอบ S จะได้ว่า

\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S} = \hat{i^\prime }\frac{d}{d t}x^\prime +\hat{j^\prime }\frac{d}{d t}y^\prime +\hat{k^\prime }\frac{d}{d t}z^\prime+x^\prime\frac{d}{d t}\hat{i^\prime }+y^\prime\frac{d}{d t}\hat{j^\prime }+z^\prime\frac{d}{d t}\hat{k^\prime }

หรือ

\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S} = \hat{i^\prime }\frac{d}{d t}x^\prime +\hat{j^\prime }\frac{d}{d t}y^\prime +\hat{k^\prime }\frac{d}{d t}z^\prime+\omega x^\prime\hat{j}-\omega y^\prime\hat{i} ........... (2)

หากมองการเปลี่ยนแปลงของ \vec{R^\prime } ผ่านกรอบ S^\prime จะได้

\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S} = \hat{i^\prime }\frac{d}{d t}x^\prime +\hat{j^\prime }\frac{d}{d t}y^\prime +\hat{k^\prime }\frac{d}{d t}z^\prime ........... (3)

จากที่ว่า \vec{R}=\vec{R^\prime } และจากสมการข้างต้น เอามาเขียนได้ว่า

\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R } \end{bmatrix} _{S }=\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S^\prime }+\omega x^\prime\hat{j}-\omega y^\prime\hat{i}

จัดรูป โดยอาศัย \hat{j^\prime }=\hat{k}\times \hat{i^\prime },\hat{i^\prime }=\hat{-k}\times \hat{j^\prime },0=\hat{k}\times \hat{k^\prime }

จะได้ว่า

\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R } \end{bmatrix} _{S }=\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R^\prime } \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega }\times \vec{R^\prime }

แสดงความสัมพันธ์เชิงตัวดำเนินการอนุพันธ์เปรียบทั้งสองกรอบจะได้ว่า

\begin{bmatrix} \frac{d}{d t}\vec{R } \end{bmatrix} _{S }=(\begin{bmatrix} \frac{d}{d t} \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega })\times \vec{R^\prime } .......... (4)

หาความเร่งจาก สมการ(4)

จะได้ \begin{bmatrix} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\vec{R } \end{bmatrix} _{S } =(\begin{bmatrix} \frac{d}{d t} \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega })\times (\begin{bmatrix} \frac{d}{d t} \end{bmatrix} _{S^\prime }+\vec{\omega })\times \vec{R^\prime }

สมการนี้มันหาอนุพันธ์มาเป็นรูปนี้ยังไงหรือครับ ผมทำมาไม่ได้เลย

จากนี้ผมก็งงแล้วครับ แต่มีผลเฉลยเป็น

\vec{a}=\vec{a^\prime }-2\vec{\omega }\times \vec{v}-\vec{\omega }\times \vec{\omega }\times \vec{R^\prime }


บรรทัดล่างๆนี่แหละครับผมไม่เข้าใจเลย ช่วยอธิบายให้กระจ่างทีครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับบ
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #3 on: November 17, 2010, 04:30:28 PM »
ผมว่าสมการที่ (4) นั้นแปลกๆอยู่นะครับ เพราะปริมาณ \left[ \dfrac{d}{dt} \right]_{S^{\prime}} \times \vec{R} นั้นไม่น่าจะนิยาม

วิธีที่ผมว่าเข้าใจได้ง่ายกว่าคือ สมมติให้ \vec{A} เป็นเวกเตอร์ใดๆ (เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง) ในปริภูมิสามมิติ โดยใช้การนิยามแบบที่คุณ EtersicZ ได้ใช้มา ผมขอเปลี่ยนแปลงสัญลักษณ์นิดหน่อยเพื่อความง่ายในการพิมพ์และการมอง
ให้ \left[ \dfrac{d \vec{A}}{dt} \right]_S \equiv \dfrac{d \vec{A}}{dt} และ \left[ \dfrac{d \vec{A}}{dt} \right]_{S^{\prime}} \equiv \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t}

ดังนั้น จะได้ว่า
\dfrac{d \vec{A}}{dt} = \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} + \omega \times \vec{A} -->(a)
และเมื่อหาอนุพันธ์เทียบเวลาอีกครั้ง จะได้ว่า
\dfrac{d^2 \vec{A}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} \right) + \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{A} + \vec \omega \times \dfrac{d \vec{A}}{dt} --> (b)
ใช้สมการ (a) จะได้ว่า
\dfrac{d^2 \vec{A}}{dt^2} = \left( \dfrac{\delta^2 \vec{A}}{\delta t^2} + \vec \omega \times \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} \right) + \left( \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{A} \right) + \vec \omega \times \left( \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} + \vec \omega \times \vec{A} \right)
\dfrac{d^2 \vec{A}}{dt^2} = \dfrac{\delta^2 \vec{A}}{\delta t^2} + \vec \omega \times \left( \vec \omega \times \vec{A} \right) + 2 \vec \omega \times \dfrac{\delta \vec{A}}{\delta t} + \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{A}
หากแทนค่าให้ \vec{A} = \vec{R} และสำหรับการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว ก็จะได้ว่า
\dfrac{d^2 \vec{R}}{dt^2} = \vec{a} + \vec \omega \times \left( \vec \omega \times \vec{R} \right) + 2 \vec \omega \times \vec{v} เมื่อ \vec{R}, \; \vec{v} \equiv \delta \vec{R} / \delta t และ \vec{a} \equiv \delta^2 \vec{R} / \delta t^2 คือ ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาควัดเทียบกรอบอ้างอิง S^{\prime}

หมายเหตุ: เวกเตอร์ \vec{R} และ \vec{R}^{\prime} นั้นเป็นตัวเดียวกัน ดังนั้นไม่จำเป็นต้องใส่เครื่องหมาย prime ซ้ำซ้อนครับ
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
EtersicZ
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 48
« Reply #4 on: November 17, 2010, 10:27:04 PM »
ขอโทษครับที่ทำให้สับสน

ผมอาจจะไม่เข้าใจเพราะเขียนสัญลักษณ์แบบนี้ก็ได้  embarassed

ยังไงก็ขอบคุณพี่ Great มากครับ

เข้าใจเลยครับ

 smitten  smitten
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: