ข้อสอบครับ

Quote from: Tangg on October 27, 2010, 12:55:38 AM

..........................
เท่าที่ผมลองดูๆแล้ว วิธีนี้มันเป็นวิธีการประมาณครับ เพราะว่า จากสมการความต่อเนื่อง เราจะเห็นว่า พื้นที่หน้าตัดของลำน้ำ มันควรมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ (ไม่น้อยเลยนะครับ Shocked

) ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดที่เราใช้ในการคำนวณตอนชน มันจะมีค่าเปลี่ยนไป เป้น $\displaystyle{\frac{Au}{v}}$ แล้วตอนที่มันชนจริงๆ จะมีน้ำอีกส่วนหนึ่ง ไปชนผิวทรงกลมที่ด้านข้าง (ถ้าบอลมันมีรัศมี แต่ควรจะมี ไม่อย่างนั้น น้ำมันจะไปชนลูกบอลได้อย่างไร) กำหนดว่าเป็น R แล้วพื้นที่ของน้ำตรงผิวทรงกลม ก็จะขึ้นกับความสูงด้วย เราจึงอาจจะต้องทำการอินทิเกรต เพื่อหาแรงของมันออกมา ใครสนใจทำ Exact Solution ก็ลองทำดูได้นะครับ ผมในตอนนี้ ยังคงทำไม่ได้ โหดเกินไป ถ้าใครทำได้ ก็ลองเอามา Post ดูก็ได้นะครับ Grin

สำหรับข้อนี้นะครับ ผมคิดว่าโจทย์บอกว่าน้ำตกกระทบตั้งฉากกับผิวลูกบอล ผมจึงคิดว่าไม่ควรมีน้ำไปชนผิวทรงกลมด้านข้างครับ คือมันจะเบนอออกในแนวระดับหมดเลย ดูจากรูป โจทย์ยังบอกอีกด้วยว่าเป็นลูกบอลขนาดใหญ่ วิธีทำของผมเป็นแบบนี้ครับ อัตราเร็วที่น้ำกระทบลูกบอลที่ความสูง $y$ ใดๆหาได้จาก $v &=& \sqrt{ u^2 - 2gy}$ และจากสมการความต่อเนื่องได้ว่า พื้นที่ของน้ำตอนกระทบ มีค่า $A_1 &=& \dfrac{Au}{ \sqrt{u^2 - 2gy}}$ เราพิจารณาว่าในช่วงเวลา $\delta t$ ลำน้ำเสียโมเมนตัมไป $\rho A_1v^2 \delta t$ นี่บ่งว่าในช่วงเวลาสั้นๆนี้ บอลออกแรง $\rho A_1v^2$ ทิศลง กับล้ำน้ำส่วนที่ชน จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันข้อ 3 เราได้ว่าน้ำออกแรง $\rho A_1 v^2$ ทำกับบอลด้วย ทิศขึ้น
ดังนั้นเมื่อบอลสมดุลเราจะได้ว่า $mg &=& \rho A_1 v^2$ แทนค่าความเร็วและพื้นที่หน้าตัดตอนกระทบลงไป เราได้ว่า
$mg &=& \rho A u \sqrt{ u^2 - 2gy}$ แก้สมการออกมาได้ว่าความเร็วต้นที่ทำให้บอลไปสมดุลที่ความสูง $y$ ใดๆ มีค่าเท่ากับ $u(y) &=& { \left[ gy + \sqrt{ g^2 y^2 + ( \dfrac{mg}{\rho A} )^2 } \right]^{\dfrac{1}{2}}$
แทน $y &=& h$ ได้ว่า $u(h) &=& { \left[ gh + \sqrt{ g^2 h^2 + ( \dfrac{mg}{\rho A} )^2 \right]^{\dfrac{1}{2}}$ แทน $y &=& 2h$ ได้ว่า $u(2h) &=& { \left[ 2gh + \sqrt{ 4g^2 h^2 + ( \dfrac{mg}{\rho A} )^2 } \right]^{\dfrac{1}{2}}$

หาอัตราส่วนระหว่างทั้งสองได้ว่า ต้องเพิ่มความเร็วต้นน้ำให้เป็น $\sqrt{ \dfrac{ 2 + \sqrt{ 4 + (\dfrac{m}{\rho Ah} )^2 } }{1 + \sqrt{ 1 + (\dfrac{m}{\rho Ah} )^2 } }$ เท่าจากเดิม ลูกบอลจึงจะเลื่อนสูงจากปากท่อเป็น $2h$ ครับ smitten