ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

40617 Posts in 5976 Topics- by 5628 Members - Latest Member: Nitiwat Jongruktrakoon
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7   Go Down
Print
Author Topic: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54  (Read 27309 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Tangg
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 198


« Reply #90 on: May 06, 2011, 03:53:45 PM »

ลองทำข้อ2 อ.ปิยพงษ์หน่อยนะครับ

เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวลทั้งสองได้ว่า  เมื่อ  x_1  และ  x_2  คือตำแหน่งของ  m_1  และ  m_2  ตามลำดับ

ให้ทิศขึ้นเป็นบวก

k(x_2 - x_1) - m_1 g &=& m_1 \dfrac{d^2}{dt^2} x_1

k(x_2 - x_1) - m_2 g &=& m_2 \dfrac{d^2}{dt^2} x_2

เราจะใช้ความรู้เรื่องมวลลดทอน ที่ว่าถ้าให้  \mu &=& \dfrac{m_1 m_2 }{m_1 + m_2}

แล้วจะได้ว่า   x &=&x_2 - x_1 &=& A \sin (  \sqrt {\dfrac{k}{\mu}} t + \phi )  แทนเงื่อนไขเริ่มต้นที่ว่า เมื่อ  t=0 ได้  v &=& v_0  และ x &=& -l_0

จะพบว่า  x &=& ( - \sqrt{ l_0^2 + \dfrac { \mu v_0 ^2} { k} } ) \sin ( \sqrt { \dfrac{k}{ \mu} } t + \arctan ( - \sqrt { \dfrac{ kl_0 ^2}{v_0 ^2 \mu }} ))  นำผลนี้ไปแทนใน สองสมการแรก แล้วแก้ออกมา ก็จะได้  x_1  และ   x_2  ออกมาครับ ซึ่งจะได้ว่าการเคลื่อนที่ของระบบเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายครับ

ลองทำให้จบดูสิครับ คนมักจะพลาดกันตรงแก้สมการนี่แหละครับ 

แล้วที่บอกว่า การเคลื่อนที่ของระบบ เป็น SHM ไม่ถูกต้องนะครับ เพราะ CM ของระบบไม่ได้สั่นรอบจุดๆนึงนิครับ Smiley
« Last Edit: May 06, 2011, 03:55:47 PM by Tangg » Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 375


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #91 on: November 20, 2011, 02:31:30 PM »

ข้อ 1 อ.อนันตสินครับ ขอลองทำดู ผมคิดว่าการขยายตัวจะขยายไปเรื่อยๆ จนความดันในกระบอกสูบฝั่งซ้าย เท่ากับของบรรยากาศ (P_2 &=& P_a)
ความที่ของเหลว C มีความหนืดสูง จะได้ว่าเมื่อกระบวนการสิ้นสุดลง จะมีความร้อนสูญเสียไปกับ C
ให้เดิมแก๊สในกระบอกสูบซ้ายมีความดัน P_1 ปริมาตร  V_1 อุณหภูมิสัมบูรณ์ T_1

เป็น adiabatic จึงได้ว่า P_1 V_1 ^{ \gamma} &=& P_2 V_2^{ \gamma} เราได้ว่า V_2 &=& V_1 \left( \dfrac{P_1}{P_2} \right)^{\dfrac{1}{\gamma}}

งานที่ทำให้ระบบ W &=&  -(\dfrac{ P_2 V_2 - P_1 V_1}{ \gamma - 1} + P_a (V_2 - V_1))  งานทั้งหมดถ่ายเทไปให้ของเหลว ได้ Q &=& W &=&  -(\dfrac{ P_2 V_2 - P_1 V_1}{ \gamma - 1} + P_a (V_2 - V_1))
ข้อ 3 ก. เราพิจารณาคอลัมน์ของอากาศ เราได้ว่า \dfrac{dP}{dh} &=& - \rho g และโดยการคิดว่าอากาศเป็นแก๊สอุดมคติ \rho &=& \dfrac{PM_a}{RT} เป็น adiabatic atmosphere จะได้ว่าเมื่อคอลัมน์ของอากาศขยายตัวไปถึงความดัน P จะมีอุณหภูมิ T &=& T_0 ( \dfrac{P_0}{P} )^{\dfrac{1-\gamma}{\gamma}} แทนค่าลงไปได้
\dfrac{dP}{dh} &=& - \dfrac{P^{1/\gamma} M_a g}{RT_0 P_0^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}} อินทิเกรต \displaystyle \int_{P_0}^{P} P^{-1/\gamma} dP &=& - \dfrac{M_a gP_0^{\frac{ \gamma - 1}{\gamma} } }{RT_0} \displaystyle\int_{0}^{h} dh สะสางได้  P(h) &=& P_0  \left[1 - (\dfrac{\gamma -1}{\gamma}) \dfrac{M_a gh}{RT_0} \right ]^{\gamma/\gamma-1}  coolsmiley จะหาอุณหภูมิก็เอากลับไปแทนใน T &=& T_0 ( \dfrac{P_0}{P} )^{\dfrac{1-\gamma}{\gamma}}

ข. เป็น adiabatic atmosphere ลูกโป่งยางจึงขยายตัวแบบ adiabatic เราได้
(P_0 + \dfrac{800}{r} )(\dfrac{4}{3} \pi r^3 )^{\gamma} &=& ( P + \dfrac{800}{r_1} )(\dfrac{4}{3} \pi r_1^3 )^{\gamma} เราคิดว่า รัศมีมันคงโตขึ้นไม่มากหรอกเทียบกับรัศมีเดิม ให้  r_1 &=& r &+& \Delta r เมื่อ \Delta r \ll r แทนค่าลงไป (P_0 + \dfrac{800}{r} )r^{3\gamma} &=& (P + \dfrac{800}{r + \Delta r} )(r+ \Delta r)^{3\gamma} ประมาณซะ (P_0 + \dfrac{800}{r} ) \approx (P + \dfrac{800}{r }( 1 - \Delta r/r ) )( 1 + 3\gamma \Delta r/r) กระจายมัน ประมาณอะไรอีกเล็กน้อย(พวกพจน์กำลังสอง) สุดท้ายเราได้ \Delta r \approx \dfrac{r(P_0 - P)}{3P\gamma + \dfrac{800}{r}(3\gamma -1)} ค่าของ P หาโดยนิพจน์จากข้อ ก. พอได้ค่า \Delta r เป็นตัวเลขแล้ว นำไปบวกกับ r ก็จะได้คำตอบรัศมีเป็นตัวเลขที่ความสูง 2000 \; \mbox{m}

ข้อ 4 แก้ไขครับ สรุปว่าต้องคำนึงถึง การรั่วเข้าของอากาศด้วย ดังนั้น

เราบอกว่า ระหว่างกระบวนการนี้ความดันจะคงตัว จึงได้ dQ = nc_pdT

ได้ Q = \displaystyle \int_{T_1}^{T_2} (PV/RT)c_pdT &=& \dfrac{7}{2}PV \ln(\dfrac{T_2}{T_1})  แทนค่าต่างๆลงไปก็จะได้คำตอบครับ  smitten
« Last Edit: October 08, 2012, 07:29:51 PM by dy » Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 375


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #92 on: November 21, 2011, 05:52:29 PM »

ข้อ 3 อ.ปิยพงษ์ครับ  Wink

3.1) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย S โปรตอนมีพลังงานจลน์  T &=& ( \gamma - 1 ) mc^2 โดย \gamma &=& \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
แก้สมการได้ว่า v &=& c \sqrt{ 1 - \dfrac{1}{(1 + T/mc^2)^2}}  ดังนั้นโปรตอนมีโมเมนตัม p &=& \gamma mv &=& \dfrac{\sqrt{T(T+2mc^2)}}{c} ในกรอบนี้  coolsmiley

3.2) ในกรอบอ้างอิง S นั้น
โปรตอนทั้งสองตัวมีพลังงานรวมกัน E &=& 2 \sqrt{ p^2c^2 + m^2c^4}&=& 2 \sqrt{T(T + 2mc^2) &+& m^2 c^4}
 เนื่องจาก โมเมนตัมรวมของระบบเป็นศูนย์ในกรอบนี้ ดังนั้น  ปริมาณนี้มีค่าไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

พิจารณาในกรอบอ้างอิงเฉื่อย S^\prime ของโปรตอนตัวหนึ่ง มันจะเห็นตัวเองมีพลังงาน mc^2 และเห็นอีกตัวมีพลังงาน T^\prime + mc^2
ในกรอบนี้โมเมนตัมรวมของระบบ คือ P^\prime &=& \dfrac{ \sqrt{T^\prime ( T^\prime + 2mc^2 )}}{c} ( เห็นตัวเองไม่มีโมเมนตัม)
ดังนั้น ค่า E^\prime^2 - P^\prime^2 c^2 &=& (T^\prime + 2mc^2)(2mc^2)   ไม่ขึ้นกับกรอบเฉื่อย

ดังนั้นเราได้ว่า 2mc^2(T^\prime &+& 2mc^2) &=& 4T(T &+& 2mc^2) &+& 4m^2c^4 สะสางได้ว่า พลังงานจลน์ในกรอบนี้ T^\prime &=& \dfrac{2T(T&+&2mc^2)}{mc^2} ตรวจสอบด้วยครับ  coolsmiley  smitten

ลองทำข้อ2 อ.ปิยพงษ์หน่อยนะครับ

เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวลทั้งสองได้ว่า  เมื่อ  x_1  และ  x_2  คือตำแหน่งของ  m_1  และ  m_2  ตามลำดับ

ให้ทิศขึ้นเป็นบวก

k(x_2 - x_1) - m_1 g &=& m_1 \dfrac{d^2}{dt^2} x_1

k(x_2 - x_1) - m_2 g &=& m_2 \dfrac{d^2}{dt^2} x_2

เราจะใช้ความรู้เรื่องมวลลดทอน ที่ว่าถ้าให้  \mu &=& \dfrac{m_1 m_2 }{m_1 + m_2}

แล้วจะได้ว่า   x &=&x_2 - x_1 &=& A \sin (  \sqrt {\dfrac{k}{\mu}} t + \phi )  แทนเงื่อนไขเริ่มต้นที่ว่า เมื่อ  t=0 ได้  v &=& v_0  และ x &=& -l_0

จะพบว่า  x &=& ( - \sqrt{ l_0^2 + \dfrac { \mu v_0 ^2} { k} } ) \sin ( \sqrt { \dfrac{k}{ \mu} } t + \arctan ( - \sqrt { \dfrac{ kl_0 ^2}{v_0 ^2 \mu }} ))  นำผลนี้ไปแทนใน สองสมการแรก แล้วแก้ออกมา ก็จะได้  x_1  และ   x_2  ออกมาครับ ซึ่งจะได้ว่าการเคลื่อนที่ของระบบเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายครับ

ลองทำให้จบดูสิครับ คนมักจะพลาดกันตรงแก้สมการนี่แหละครับ  

แล้วที่บอกว่า การเคลื่อนที่ของระบบ เป็น SHM ไม่ถูกต้องนะครับ เพราะ CM ของระบบไม่ได้สั่นรอบจุดๆนึงนิครับ Smiley

แก้ไขแล้วนะครับ ที่ทำไปครั้งแรกผิดอย่างทุเรศมาก รีบทำเกินไป  buck2
« Last Edit: September 20, 2012, 03:57:15 PM by dy » Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« Reply #93 on: November 21, 2011, 08:40:48 PM »

...
ได้ X(t &=& 0 ) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0 กับ  x_1 &=& X + \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}x และ x_2 &=& X &-& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} x เก็บไว้ก่อน  เราพิจารณาสมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล -(m_1 + m_2)g &=& (m_1 + m_2)\ddot{X} ได้ \ddot{X} &=& -g
อินทิเกรต ใส่ initial conditions ( \dot{X}(t=0) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 , X(t&=&0) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0 )
...

ตอนที่ \dot{X} = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 และ X = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0 นั้น ยังมีแรงภายนอกทำต่อระบบมวลสองก้อน นอกจาก \left( m_1 + m_2 \right)g อีกคือแรง N ที่พื้นทำ Huh มันน่าจะต้องเริ่มคิดตอนที่ m_2 ลอยจากพื้นแล้วหรือเปล่า
Logged
dy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 375


Every problem has its solution, and its time,too.


« Reply #94 on: November 22, 2011, 06:59:58 AM »

...
ได้ X(t &=& 0 ) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0 กับ  x_1 &=& X + \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}x และ x_2 &=& X &-& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} x เก็บไว้ก่อน  เราพิจารณาสมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล -(m_1 + m_2)g &=& (m_1 + m_2)\ddot{X} ได้ \ddot{X} &=& -g
อินทิเกรต ใส่ initial conditions ( \dot{X}(t=0) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 , X(t&=&0) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0 )
...

ตอนที่ \dot{X} = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 และ X = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0 นั้น ยังมีแรงภายนอกทำต่อระบบมวลสองก้อน นอกจาก \left( m_1 + m_2 \right)g อีกคือแรง N ที่พื้นทำ Huh มันน่าจะต้องเริ่มคิดตอนที่ m_2 ลอยจากพื้นแล้วหรือเปล่า

ใช่แล้วครับ ตอนแรกผมเองก็เอะใจแบบนั้น ทำไมถึงสะเพร่าแบบนี้ ทำไมไม่ดูว่ามีโต๊ะ  Shocked ขอบคุณมากครับ ดังนั้น เราดูแรงที่กระทำต่อก้อนล่าง ก้อนล่างจะหลุดจากพื้นเมื่อ N &=& 0
หรือเมื่อสปริงยืดออกเป็นระยะ \dfrac{m_2 g}{k} ที่จังหวะนี้ m_1 มีความเร็ว  \sqrt{ \dfrac{k}{m_1}} \sqrt{ l_0^2 &+& \dfrac{m_1v_0^2}{k} - \dfrac{m_2^2 g^2}{k^2} ดังนั้น ความเร็วต้นของ m_1 ในการคิดที่ผิดของผมครั้งที่แล้ว ต้องเป็นค่านี้
แล้วก็ทำต่อไป ........  Grin

ขอข้อ 4 อ.ปิยพงษ์ด้วยเลยนะครับ ให้สปริงมีความยาวธรรมชาติ d และแกว่งไปเป็นมุมน้อยๆ
4.1) พิจารณาจากรุปจะเห็นว่าถ้ามุมน้อยๆ ความยาวสปริงเมื่อแกว่งไปที่มุม \phi_1 \; , \phi_2 ใดๆ ก็คือ l &=& d &+& L( \phi_2 &-& \phi_1)
เราประมาณว่าแทบไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ให้ T_1 ,T_2 เป็นความตึงเชือกในเส้นซ้ายและขวาตามลำดับ เราได้ว่า
T_1 \cos \phi_1 \approx T_1 &=& mg
T_2 \cos \phi_2 \approx T_2 &=& mg
ในแนวราบ  kL(\phi_2 &-& \phi_1) &-& mg\phi_1 &=& mL\ddot{\phi_1} และ - ( kL(\phi_2 &-& \phi_1) &+& mg\phi_2) &=& mL \ddot{\phi_2}  coolsmiley
4.2) สั่นแบบนอร์แมล แปลว่าสั่นด้วยความถี่เดียวกัน ให้ความถี่เชิงมุมเท่ากับ \omega เราได้ \ddot{\phi_1} &=& - \omega^2 \phi_1 และ \ddot{\phi_2} &=& -\omega^2 \phi_2
แทนลงไปในสมการจากข้อ 4.1) แล้วจับบวกกันจะได้ \omega &=& \sqrt{\dfrac{g}{L}} นั่นคือระบบจะสั่นแบบนอร์แมลไปพร้อมๆกันด้วยความถี่ \dfrac{1}{2\pi}  \sqrt{\dfrac{g}{L}}
แต่ถ้าจับลบกันแล้วจะได้ \omega &=& \sqrt{ \dfrac{g}{L} &+& \dfrac{2k}{m}}
 จะเห็นได้ว่า นอร์แมลโหมดของเรานั้นมีสองโหมด คือโหมดที่มีความถี่เท่ากับ \dfrac{1}{2\pi}  \sqrt{\dfrac{g}{L}} และโหมดที่มีความถี่เท่ากับ \dfrac{1}{2\pi}  \sqrt{\dfrac{g}{L} &+& \dfrac{2k}{m} } นั่นเอง ส่วนจะสั่นในโหมดไหนนั้นมันก็ขึ้นกับเงื่อนไขตั้งต้นของโจทย์เองว่าจะกำหนดให้แบบใด  idiot2
« Last Edit: November 22, 2011, 07:48:11 AM by dy » Logged

smitten   Cool  (\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO
WPMcB1997
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 55


« Reply #95 on: October 26, 2014, 11:17:58 PM »

ขออนุญาตขุดมาลองเฉลยข้อ 2. Part ของ อ.อนันตสินครับ

เมื่อกดลูกสูบไปจนถึงปริมาตรหนึ่ง ที่ทำให้ความดันย่อยของไอน้ำมีค่าเท่าความดันไออิ่มตัวแล้ว ไอน้ำจะค่อยๆ ควบแน่นเป็นหยดน้ำ และจะทำให้ค่าความดันย่อยของไอน้ำมีค่าคงที่ที่ค่าความดันไออิ่มตัว

พิจารณาความดันไอน้ำในกระบอก P_{v} = \mu P_{s} โดยที่ \mu เป็นความชื้นสัมพัทธ์ P_{v} เป็นความดันไอน้ำในขณะนั้น และ P_{s} เป็นความดันไอน้ำอิ่มตัว

P_{v}V_{i} = P_{s}V^\prime , V^\prime= \mu V_{i}

ก.)  P(V) \left\{\begin{matrix} \frac{P_{i}V_{i}}{V} &  (V>V^\prime)\\ P_{s} + \frac{P_{a}V_{i}}{V} & (V\leq V^\prime) \end{matrix}\right.
P_{a} คือความดันย่อยของอากาศ

ค.) \Delta W = \int_{V_{i}}^{V_{f}}P(V)dV โดยระลึกว่าเราต้องแบ่งอินทิเกรตออกเป็นสองช่วง คือจาก V_{i} \to V^\prime และจาก V^\prime \to V_{f} นั่นคือ \Delta W = \int_{V_{i}}^{V^\prime}\frac{P_{i}V_{i}}{V}dV + \int_{V^\prime}^{V_{f}}P_{s}+\frac{P_{a}V_{i}}{V}dV

ได้ออกมาเป็น \Delta W = P_{i}V_{i}ln(\frac{V^\prime}{V_{i}}) + P_{a}V_{i}ln(\frac{V_{f}}{V^\prime}) + P_{s}(V_{f}-V^\prime) แต่อันนี้เป็นงานสุทธิที่กระบอกสูบได้รับ ต้องหักลบกับงานที่เกิดขึ้นจากบรรยากาศ ซึ่งคือ W_{atm} = P_{i}(V_{f}-V{i})

แทนค่าตัวเลข จะได้ \Delta W_{F} = -10.64 J

ง.) เนื่องจากกระบวนการทั้งหมดเป็นกระบวนการแบบ isothermal จะได้ว่า
\delta Q = \delta W ซึ่งก็เท่ากับงานสุทธิที่ได้จากข้อ ค.

แทนค่าตัวเลข ได้ \Delta Q = -61.24 J  smitten
« Last Edit: October 26, 2014, 11:19:36 PM by WPMcB1997 » Logged
Pages: « 1 2 3 4 5 6 7   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น