ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54

Tangg

neutrino

Offline

Posts: 198

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54

« Reply #90 on: May 06, 2011, 03:53:45 PM »

Quote from: dy on May 06, 2011, 03:41:36 PM

ลองทำข้อ2 อ.ปิยพงษ์หน่อยนะครับ

เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวลทั้งสองได้ว่า เมื่อ $x_1$ และ $x_2$ คือตำแหน่งของ $m_1$ และ $m_2$ ตามลำดับ

ให้ทิศขึ้นเป็นบวก

$k(x_2 - x_1) - m_1 g &=& m_1 \dfrac{d^2}{dt^2} x_1$

$k(x_2 - x_1) - m_2 g &=& m_2 \dfrac{d^2}{dt^2} x_2$

เราจะใช้ความรู้เรื่องมวลลดทอน ที่ว่าถ้าให้ $\mu &=& \dfrac{m_1 m_2 }{m_1 + m_2}$

แล้วจะได้ว่า $x &=&x_2 - x_1 &=& A \sin ( \sqrt {\dfrac{k}{\mu}} t + \phi )$ แทนเงื่อนไขเริ่มต้นที่ว่า เมื่อ $t=0$ ได้ $v &=& v_0$ และ $x &=& -l_0$

จะพบว่า $x &=& ( - \sqrt{ l_0^2 + \dfrac { \mu v_0 ^2} { k} } ) \sin ( \sqrt { \dfrac{k}{ \mu} } t + \arctan ( - \sqrt { \dfrac{ kl_0 ^2}{v_0 ^2 \mu }} ))$ นำผลนี้ไปแทนใน สองสมการแรก แล้วแก้ออกมา ก็จะได้ $x_1$ และ $x_2$ ออกมาครับ ซึ่งจะได้ว่าการเคลื่อนที่ของระบบเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายครับ

ลองทำให้จบดูสิครับ คนมักจะพลาดกันตรงแก้สมการนี่แหละครับ

แล้วที่บอกว่า การเคลื่อนที่ของระบบ เป็น SHM ไม่ถูกต้องนะครับ เพราะ CM ของระบบไม่ได้สั่นรอบจุดๆนึงนิครับ


« Last Edit: May 06, 2011, 03:55:47 PM by Tangg »	Logged

neutrino

Offline

Posts: 375

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54

« Reply #91 on: November 20, 2011, 02:31:30 PM »

ข้อ 1 อ.อนันตสินครับ ขอลองทำดู ผมคิดว่าการขยายตัวจะขยายไปเรื่อยๆ จนความดันในกระบอกสูบฝั่งซ้าย เท่ากับของบรรยากาศ $(P_2 &=& P_a)$
ความที่ของเหลว C มีความหนืดสูง จะได้ว่าเมื่อกระบวนการสิ้นสุดลง จะมีความร้อนสูญเสียไปกับ C
ให้เดิมแก๊สในกระบอกสูบซ้ายมีความดัน $P_1$ ปริมาตร $V_1$ อุณหภูมิสัมบูรณ์ $T_1$

เป็น adiabatic จึงได้ว่า $P_1 V_1 ^{ \gamma} &=& P_2 V_2^{ \gamma}$ เราได้ว่า $V_2 &=& V_1 \left( \dfrac{P_1}{P_2} \right)^{\dfrac{1}{\gamma}}$

งานที่ทำให้ระบบ $W &=& -(\dfrac{ P_2 V_2 - P_1 V_1}{ \gamma - 1} + P_a (V_2 - V_1))$ งานทั้งหมดถ่ายเทไปให้ของเหลว ได้ $Q &=& W &=& -(\dfrac{ P_2 V_2 - P_1 V_1}{ \gamma - 1} + P_a (V_2 - V_1))$
ข้อ 3 ก. เราพิจารณาคอลัมน์ของอากาศ เราได้ว่า $\dfrac{dP}{dh} &=& - \rho g$ และโดยการคิดว่าอากาศเป็นแก๊สอุดมคติ $\rho &=& \dfrac{PM_a}{RT}$ เป็น adiabatic atmosphere จะได้ว่าเมื่อคอลัมน์ของอากาศขยายตัวไปถึงความดัน $P$ จะมีอุณหภูมิ $T &=& T_0 ( \dfrac{P_0}{P} )^{\dfrac{1-\gamma}{\gamma}}$ แทนค่าลงไปได้
$\dfrac{dP}{dh} &=& - \dfrac{P^{1/\gamma} M_a g}{RT_0 P_0^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}$ อินทิเกรต $\displaystyle \int_{P_0}^{P} P^{-1/\gamma} dP &=& - \dfrac{M_a gP_0^{\frac{ \gamma - 1}{\gamma} } }{RT_0} \displaystyle\int_{0}^{h} dh$ สะสางได้ $P(h) &=& P_0 \left[1 - (\dfrac{\gamma -1}{\gamma}) \dfrac{M_a gh}{RT_0} \right ]^{\gamma/\gamma-1}$ coolsmiley

จะหาอุณหภูมิก็เอากลับไปแทนใน $T &=& T_0 ( \dfrac{P_0}{P} )^{\dfrac{1-\gamma}{\gamma}}$

ข. เป็น adiabatic atmosphere ลูกโป่งยางจึงขยายตัวแบบ adiabatic เราได้
$(P_0 + \dfrac{800}{r} )(\dfrac{4}{3} \pi r^3 )^{\gamma} &=& ( P + \dfrac{800}{r_1} )(\dfrac{4}{3} \pi r_1^3 )^{\gamma}$ เราคิดว่า รัศมีมันคงโตขึ้นไม่มากหรอกเทียบกับรัศมีเดิม ให้ $r_1 &=& r &+& \Delta r$ เมื่อ $\Delta r \ll r$ แทนค่าลงไป $(P_0 + \dfrac{800}{r} )r^{3\gamma} &=& (P + \dfrac{800}{r + \Delta r} )(r+ \Delta r)^{3\gamma}$ ประมาณซะ $(P_0 + \dfrac{800}{r} ) \approx (P + \dfrac{800}{r }( 1 - \Delta r/r ) )( 1 + 3\gamma \Delta r/r)$ กระจายมัน ประมาณอะไรอีกเล็กน้อย(พวกพจน์กำลังสอง) สุดท้ายเราได้ $\Delta r \approx \dfrac{r(P_0 - P)}{3P\gamma + \dfrac{800}{r}(3\gamma -1)}$ ค่าของ $P$ หาโดยนิพจน์จากข้อ ก. พอได้ค่า $\Delta r$ เป็นตัวเลขแล้ว นำไปบวกกับ $r$ ก็จะได้คำตอบรัศมีเป็นตัวเลขที่ความสูง $2000 \; \mbox{m}$

ข้อ 4 แก้ไขครับ สรุปว่าต้องคำนึงถึง การรั่วเข้าของอากาศด้วย ดังนั้น

เราบอกว่า ระหว่างกระบวนการนี้ความดันจะคงตัว จึงได้ $dQ = nc_pdT$

ได้ $Q = \displaystyle \int_{T_1}^{T_2} (PV/RT)c_pdT &=& \dfrac{7}{2}PV \ln(\dfrac{T_2}{T_1})$ แทนค่าต่างๆลงไปก็จะได้คำตอบครับ smitten


« Last Edit: October 08, 2012, 07:29:51 PM by dy »	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

neutrino

Offline

Posts: 375

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54

« Reply #92 on: November 21, 2011, 05:52:29 PM »

ข้อ 3 อ.ปิยพงษ์ครับ Wink

3.1) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย $S$ โปรตอนมีพลังงานจลน์ $T &=& ( \gamma - 1 ) mc^2$ โดย $\gamma &=& \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
แก้สมการได้ว่า $v &=& c \sqrt{ 1 - \dfrac{1}{(1 + T/mc^2)^2}}$ ดังนั้นโปรตอนมีโมเมนตัม $p &=& \gamma mv &=& \dfrac{\sqrt{T(T+2mc^2)}}{c}$ ในกรอบนี้ coolsmiley

3.2) ในกรอบอ้างอิง $S$ นั้น
โปรตอนทั้งสองตัวมีพลังงานรวมกัน $E &=& 2 \sqrt{ p^2c^2 + m^2c^4}&=& 2 \sqrt{T(T + 2mc^2) &+& m^2 c^4}$
เนื่องจาก โมเมนตัมรวมของระบบเป็นศูนย์ในกรอบนี้ ดังนั้น ปริมาณนี้มีค่าไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

พิจารณาในกรอบอ้างอิงเฉื่อย $S^\prime$ ของโปรตอนตัวหนึ่ง มันจะเห็นตัวเองมีพลังงาน $mc^2$ และเห็นอีกตัวมีพลังงาน $T^\prime + mc^2$
ในกรอบนี้โมเมนตัมรวมของระบบ คือ $P^\prime &=& \dfrac{ \sqrt{T^\prime ( T^\prime + 2mc^2 )}}{c}$ ( เห็นตัวเองไม่มีโมเมนตัม)
ดังนั้น ค่า $E^\prime^2 - P^\prime^2 c^2 &=& (T^\prime + 2mc^2)(2mc^2)$ ไม่ขึ้นกับกรอบเฉื่อย

ดังนั้นเราได้ว่า $2mc^2(T^\prime &+& 2mc^2) &=& 4T(T &+& 2mc^2) &+& 4m^2c^4$ สะสางได้ว่า พลังงานจลน์ในกรอบนี้ $T^\prime &=& \dfrac{2T(T&+&2mc^2)}{mc^2}$ ตรวจสอบด้วยครับ coolsmiley

Quote from: Tangg on May 06, 2011, 03:53:45 PM

Quote from: dy on May 06, 2011, 03:41:36 PM

แก้ไขแล้วนะครับ ที่ทำไปครั้งแรกผิดอย่างทุเรศมาก รีบทำเกินไป buck2


« Last Edit: September 20, 2012, 03:57:15 PM by dy »	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

saris2538

neutrino

Offline

Posts: 96

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54

« Reply #93 on: November 21, 2011, 08:40:48 PM »

Quote from: dy on May 06, 2011, 03:41:36 PM

...
ได้ $X(t &=& 0 ) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0$ กับ $x_1 &=& X + \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}x$ และ $x_2 &=& X &-& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} x$ เก็บไว้ก่อน เราพิจารณาสมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล $-(m_1 + m_2)g &=& (m_1 + m_2)\ddot{X}$ ได้ $\ddot{X} &=& -g$
อินทิเกรต ใส่ initial conditions ( $\dot{X}(t=0) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 , X(t&=&0) &=& \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0$ )
...

ตอนที่ $\dot{X} = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} v_0$ และ $X = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} l_0$ นั้น ยังมีแรงภายนอกทำต่อระบบมวลสองก้อน นอกจาก $\left( m_1 + m_2 \right)g$ อีกคือแรง $N$ ที่พื้นทำ Huh

มันน่าจะต้องเริ่มคิดตอนที่ $m_2$ ลอยจากพื้นแล้วหรือเปล่า


	Logged

neutrino

Offline

Posts: 375

Every problem has its solution, and its time,too.

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54

« Reply #94 on: November 22, 2011, 06:59:58 AM »

Quote from: saris2538 on November 21, 2011, 08:40:48 PM

Quote from: dy on May 06, 2011, 03:41:36 PM

มันน่าจะต้องเริ่มคิดตอนที่ $m_2$ ลอยจากพื้นแล้วหรือเปล่า

ใช่แล้วครับ ตอนแรกผมเองก็เอะใจแบบนั้น ทำไมถึงสะเพร่าแบบนี้ ทำไมไม่ดูว่ามีโต๊ะ Shocked

ขอบคุณมากครับ ดังนั้น เราดูแรงที่กระทำต่อก้อนล่าง ก้อนล่างจะหลุดจากพื้นเมื่อ $N &=& 0$
หรือเมื่อสปริงยืดออกเป็นระยะ $\dfrac{m_2 g}{k}$ ที่จังหวะนี้ $m_1$ มีความเร็ว $\sqrt{ \dfrac{k}{m_1}} \sqrt{ l_0^2 &+& \dfrac{m_1v_0^2}{k} - \dfrac{m_2^2 g^2}{k^2}$ ดังนั้น ความเร็วต้นของ $m_1$ ในการคิดที่ผิดของผมครั้งที่แล้ว ต้องเป็นค่านี้
แล้วก็ทำต่อไป ........ Grin

ขอข้อ 4 อ.ปิยพงษ์ด้วยเลยนะครับ ให้สปริงมีความยาวธรรมชาติ $d$ และแกว่งไปเป็นมุมน้อยๆ
4.1) พิจารณาจากรุปจะเห็นว่าถ้ามุมน้อยๆ ความยาวสปริงเมื่อแกว่งไปที่มุม $\phi_1 \; , \phi_2$ ใดๆ ก็คือ $l &=& d &+& L( \phi_2 &-& \phi_1)$
เราประมาณว่าแทบไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ให้ $T_1 ,T_2$ เป็นความตึงเชือกในเส้นซ้ายและขวาตามลำดับ เราได้ว่า
$T_1 \cos \phi_1 \approx T_1 &=& mg$
$T_2 \cos \phi_2 \approx T_2 &=& mg$
ในแนวราบ $kL(\phi_2 &-& \phi_1) &-& mg\phi_1 &=& mL\ddot{\phi_1}$ และ $- ( kL(\phi_2 &-& \phi_1) &+& mg\phi_2) &=& mL \ddot{\phi_2}$ coolsmiley

4.2) สั่นแบบนอร์แมล แปลว่าสั่นด้วยความถี่เดียวกัน ให้ความถี่เชิงมุมเท่ากับ $\omega$ เราได้ $\ddot{\phi_1} &=& - \omega^2 \phi_1$ และ $\ddot{\phi_2} &=& -\omega^2 \phi_2$
แทนลงไปในสมการจากข้อ 4.1) แล้วจับบวกกันจะได้ $\omega &=& \sqrt{\dfrac{g}{L}}$ นั่นคือระบบจะสั่นแบบนอร์แมลไปพร้อมๆกันด้วยความถี่ $\dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}}$
แต่ถ้าจับลบกันแล้วจะได้ $\omega &=& \sqrt{ \dfrac{g}{L} &+& \dfrac{2k}{m}}$
จะเห็นได้ว่า นอร์แมลโหมดของเรานั้นมีสองโหมด คือโหมดที่มีความถี่เท่ากับ $\dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}}$ และโหมดที่มีความถี่เท่ากับ $\dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{g}{L} &+& \dfrac{2k}{m} }$ นั่นเอง ส่วนจะสั่นในโหมดไหนนั้นมันก็ขึ้นกับเงื่อนไขตั้งต้นของโจทย์เองว่าจะกำหนดให้แบบใด idiot2


« Last Edit: November 22, 2011, 07:48:11 AM by dy »	Logged

$(\dfrac{ \mbox{PHYSICS}}{ \mbox{BIOLOGY}})^ { \mbox{CHEMISTRY}} &=& \mbox{SCIENCE}$

Fight for MIT.

Silver medalist from 44th IPhO , 14th APhO

WPMcB1997

neutrino

Offline

Posts: 55

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2553-54

« Reply #95 on: October 26, 2014, 11:17:58 PM »

ขออนุญาตขุดมาลองเฉลยข้อ 2. Part ของ อ.อนันตสินครับ

เมื่อกดลูกสูบไปจนถึงปริมาตรหนึ่ง ที่ทำให้ความดันย่อยของไอน้ำมีค่าเท่าความดันไออิ่มตัวแล้ว ไอน้ำจะค่อยๆ ควบแน่นเป็นหยดน้ำ และจะทำให้ค่าความดันย่อยของไอน้ำมีค่าคงที่ที่ค่าความดันไออิ่มตัว

พิจารณาความดันไอน้ำในกระบอก $P_{v} = \mu P_{s}$ โดยที่ $\mu$ เป็นความชื้นสัมพัทธ์ $P_{v}$ เป็นความดันไอน้ำในขณะนั้น และ $P_{s}$ เป็นความดันไอน้ำอิ่มตัว

$P_{v}V_{i} = P_{s}V^\prime$ , $V^\prime= \mu V_{i}$

ก.) $P(V) \left\{\begin{matrix} \frac{P_{i}V_{i}}{V} & (V>V^\prime)\\ P_{s} + \frac{P_{a}V_{i}}{V} & (V\leq V^\prime) \end{matrix}\right.$
$P_{a}$ คือความดันย่อยของอากาศ

ค.) $\Delta W = \int_{V_{i}}^{V_{f}}P(V)dV$ โดยระลึกว่าเราต้องแบ่งอินทิเกรตออกเป็นสองช่วง คือจาก $V_{i} \to V^\prime$ และจาก $V^\prime \to V_{f}$ นั่นคือ $\Delta W = \int_{V_{i}}^{V^\prime}\frac{P_{i}V_{i}}{V}dV + \int_{V^\prime}^{V_{f}}P_{s}+\frac{P_{a}V_{i}}{V}dV$

ได้ออกมาเป็น $\Delta W = P_{i}V_{i}ln(\frac{V^\prime}{V_{i}}) + P_{a}V_{i}ln(\frac{V_{f}}{V^\prime}) + P_{s}(V_{f}-V^\prime)$ แต่อันนี้เป็นงานสุทธิที่กระบอกสูบได้รับ ต้องหักลบกับงานที่เกิดขึ้นจากบรรยากาศ ซึ่งคือ $W_{atm} = P_{i}(V_{f}-V{i})$

แทนค่าตัวเลข จะได้ $\Delta W_{F} = -10.64 J$

ง.) เนื่องจากกระบวนการทั้งหมดเป็นกระบวนการแบบ isothermal จะได้ว่า
$\delta Q = \delta W$ ซึ่งก็เท่ากับงานสุทธิที่ได้จากข้อ ค.

แทนค่าตัวเลข ได้ $\Delta Q = -61.24 J$ smitten


« Last Edit: October 26, 2014, 11:19:36 PM by WPMcB1997 »	Logged

Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 Go Up

« previous next »

คุณสมบัติของเด็กดี