มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41237 Posts in 6173 Topics- by 8023 Members - Latest Member: donnsg1
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: สาวน้อยขี่จักรยาน  (Read 2485 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« on: October 13, 2010, 10:51:45 PM »

สาวน้อยผู้น่ารักคนหนึ่งขี่จักรยานไปตามถนนตรงด้วยอัตราเร็ว 10 km/h โดยที่มีแรงต้านจากอากาศซึ่งมีขนาดแปรผันตรงกับกำลังสองของอัตราเร็วสัมพัทธ์ของสาวเทียบกับลม จงหาว่าสาวน้อยจะต้องเพิ่่มอัตราการทำงานของเธอเป็นกี่เท่าของเดิม เพื่อที่จะทำให้อัตราเร็วของเธอ (เทียบกับถนน) เท่าเดิม เมื่อมีลมพัดตั้งฉากกับถนนด้วยอัตราเร็ว 20 km/h เพิ่มขึ้นมาอีก

ข้อนี้ผมได้ 5 เท่าครับแต่อาจารย์บอกว่าผิด    เข้าใจแล้วครับว่าทำไมได้ \sqrt{5} เท่า สาเหตุหลักคือตัวเน้นสีแดง
ลองดูวิธีทำของผมนะครับว่าผิดตรงไหนบ้าง ต้นเหตุของการผิดมันเริ่มจากบรรทัดไหนบ้างครับ

ลมพัดตั้งฉากกับถนน ไปถามอาจารย์มาแล้วคือแบบนี้ (รูปที่ 1)

สภาวะเดิม คือยังไม่มีลมพัด (รูปที่ 2)
สมมติตัวแปร ให้ \overrightarrow{v}_{g,w} คือความเร็วสาวเทียบลม (girl, wind), \overrightarrow{v}_{w,e} คือความเร็วลมเทียบพื้น (wind, earth) และ \overrightarrow{v}_{g,e} คือความเร็วสาวเทียบพื้น

เนื่องจาก f_{wind}\propto v_{g,w}^2
ดังนั้น f_{wind}=kv_{g,w}^2 เมื่อ k คือค่าคงที่
\overrightarrow{f}_{wind}=-100k\hat{j}

P_1=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=Fv cos\theta=100k\times 10\times cos0^{\circ}=1000k

สภาวะปัจจุบัน คือมีลมพัดแล้ว
จากรูปที่ 3 เห็นได้ว่าสาวน้อยต้องหันจักรยานเบนไปทางขวาทำมุม \theta กับแนวการเคลื่อนที่เดิม เพื่อให้มีความเร็วลัพธ์ (ความเร็วสาวเทียบพื้น) ในทิศลง (-\hat{j}) มีขนาด 10 km/h เหมือนเดิม

แตก \overrightarrow{v}_{g,w} ออกไปในแนว \hat{i} และ \hat{j}
ได้ว่า \overrightarrow{v}_{g,w}=-\overrightarrow{v}_{g,w}cos\theta\hat{j} + \overrightarrow{v}_{g,w}sin\theta\hat{i}

สูตร \overrightarrow{v}_{g,w}+\overrightarrow{v}_{w,e}=\overrightarrow{v}_{g,e}
-\overrightarrow{v}_{g,w}\cos \theta\hat{j} + \overrightarrow{v}_{g,w}\sin\theta\hat{i}-20 \frac{km}{h}\hat{i}=-10 \frac{km}{h}\hat{j}
เทียบสัมประสิทธิ์
-v_{g,w}\cos\theta=-10 \frac{km}{h} ----------(1)
v_{g,w}\sin\theta-20\frac{km}{h}=0----------(2)

จาก (1) และ (2) ได้ \tan\theta=2
ลองวาดสามเหลี่ยม (รูปที่ 4)
ได้ว่า \sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}} และ \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}

จากสมการ (1) -v_{g,w}\cos\theta=-10 \frac{km}{h}
แทนค่า \cos\theta ลงไป จะได้ v_{g,w}=10\sqrt{5}\frac{km}{h}

จากรูปที่ 5
f_{wind}=kv_{g,w}^2=(10\sqrt{5})^2k=500k

ช้าก่อน! v ที่ใช้ในสูตร P=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v} นั้นคือความเร็วเทียบพื้นเท่านั้น!! (ใช้กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยได้เท่านั้น)  bang head[/color][/s]
ไม่ใช่เหตุผลด้านบนนะครับ embarassed (ถ้าเป็นเหตุผลด้านบน กรอบอ้างอิงที่นิ่งเทียบกับลมก็เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยเหมือนกัน!) คือ P=\dfrac{d}{dt} \displaystyle \int \vec{F} \cdot d\vec{s} ซึ่ง \vec{s} คือระยะที่สาวน้อยเคลื่อนที่ไปจริงๆ สาวน้อยเคลื่อนที่ไปจริงๆ ตามแนวถนน ดังนั้น เมื่อคิด P=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v} ต้องแทนค่า \overrightarrow{v} เป็น \overrightarrow{v} ตามแนวถนนครับ (เพิ่งนึกได้ว่าตัวเองเคยเขียนผิดๆไว้ครับ กลัวคนมาอ่านทีหลังเข้าใจผิด)
<บรรทัดนี้ผิด>P_2=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=Fv_{g,e} cos\theta=10\sqrt{5}k\times 10\sqrt{5}\times cos0^{\circ}=500k
<ต้องแก้เป็น>P_2=500k\times10\times\cos\theta=5000k\cos\theta แทนค่า \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}} ลงไปได้ว่า
P_2=5000k\times\frac{1}{\sqrt{5}}=1000\sqrt{5}k

<บรรทัดนี้ผิด>ดังนั้น \frac{P_2}{P_1}=\frac{500k}{100k}=5
<ต้องแก้เป็น>ดังนั้น \frac{P_2}{P_1}=\frac{1000\sqrt{5}k}{1000k}=\sqrt{5}
« Last Edit: November 25, 2011, 02:33:00 PM by saris2538 » Logged
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #1 on: October 13, 2010, 11:45:32 PM »

ที่น้องคิดมีที่ผิดอยู่สองจุดนะ
จุดแรก คือ น้องใช้แรงต้านแปรผันกับความเร็วสัมพัทธ์ แต่ในโจทย์บอกว่าต้องเป็นกำลังสองของความเร็วสัมพัทธ์

จุดที่สอง ความเร็วของจักรยานยังมีทิศทางเดิมเมื่อลมพัดตั้งฉาก (เพราะสาวน้อยต้องออกแรงเพื่อให้มีทิศเดิมแบบที่โจทย์บอก) ดังนั้นแรงที่ออกจะทำมุมกับความเร็วค่าหนึ่ง

ข้อนี้ผมคิดได้ \sqrt{5} (ไม่รู้ถูกรึเปล่า  uglystupid2 )
Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6275


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: October 14, 2010, 05:44:32 AM »

...

ข้อนี้ผมคิดได้ \sqrt{5} (ไม่รู้ถูกรึเปล่า  uglystupid2 )

ถูกแล้ว  Grin
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
saris2538
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 96


« Reply #3 on: October 14, 2010, 08:23:44 PM »

ที่น้องคิดมีที่ผิดอยู่สองจุดนะ
จุดแรก คือ น้องใช้แรงต้านแปรผันกับความเร็วสัมพัทธ์ แต่ในโจทย์บอกว่าต้องเป็นกำลังสองของความเร็วสัมพัทธ์
...

ขอบคุณมากครับ ผิดแบบสะเพร่านี่เอง

...
จุดที่สอง ความเร็วของจักรยานยังมีทิศทางเดิมเมื่อลมพัดตั้งฉาก (เพราะสาวน้อยต้องออกแรงเพื่อให้มีทิศเดิมแบบที่โจทย์บอก) ดังนั้นแรงที่ออกจะทำมุมกับความเร็วค่าหนึ่ง
...

ความเร็วของจักรยานที่ว่านี้ คือความเร็วเทียบลมใช่ไหมครับ ถ้าความเร็วเทียบลมมีทิศทางเดิม รวมกับความเร็วลมเทียบพื้น จะได้ความเร็วเทียบพื้นเป็นทิศเบนไปทางซ้าย ซึ่งความเร็วเทียบลมคือ 20 km/h และต้องการให้ความเร็วเทียบพื้นคือ 10 km/h ด้านตรงข้้ามมุมฉากยาวสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมแหลม  embarassed งงมากๆครับ ผมต้องเข้าใจอะไรผิดไปแน่ๆ ช่วยด้วยครับ icon adore
« Last Edit: October 16, 2010, 12:43:31 AM by saris2538 » Logged
nklohit
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 268



« Reply #4 on: October 14, 2010, 10:48:29 PM »

ความเร็วของจักรยานที่ผมบอก เป็นความเร็วจักรยานเทียบพื้นครับ 
ดังนั้นจะไม่มีปัญหาอย่างที่ว่า
Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น