แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ

Zhon

neutrino

Offline

Posts: 27

Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ

« Reply #15 on: December 04, 2005, 12:13:44 AM »

คือผมทำได้แต่ว่าคำตอบมันยุ่งมาก (มากๆ) ไม่ทราบว่าคำตอบจริงๆอยู่ในรูปสวยงามหรือไม่เพียงใด


	Logged

basst94

neutrino

Offline

Posts: 16

Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ

« Reply #16 on: December 22, 2005, 09:01:36 PM »

ผมทำได้อนันต์เหมือนกัน ที่อาจารย์บอกว่าคิดเเรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้ามนี่มันยังไงครับ
ที่ผมทำใช้เเรงขนาดเท่ากัน เเต่ทิศไม่ใช่ตรงข้าม มันทำมุมกันนิดหน่อย Huh


	Logged

Stalker

neutrino

Offline

Posts: 253

Physics with Love.

Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ

« Reply #17 on: May 13, 2010, 12:58:36 PM »

พิจารณาสนามไฟฟ้าที่จุด A เนื่องจากประจุที่ตำแหน่ง $\theta$ ตั้งแต่ 0 ถึง $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$
เนื่องจากความสมมาตร จะได้ว่าสนามไฟฟ้าที่กระทำในแนวที่ไม่ใช่แนวเส้นผ่านศูนย์กลางจะหักล้างไปหมด
$dE = \dfrac{k dq}{(2R \cos \theta)^2}$ เมื่อ $k=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}$
เมื่อนำสองฝั่งมาบวกกัน สนามไฟฟ้าสุทธิจะมีค่าเท่ากับ
$2 dE \cos \theta = \dfrac{k dq}{2R^2 \cos \theta}$
จากรูป $dq = 2 \lambda R d \theta$ เมื่อ $\lambda = \dfrac{Q}{2\pi R}$

แทนค่าเข้าไป จะได้ $2 dE \cos \theta = \dfrac{k \lambda d \theta}{R \cos \theta}$
อินทิเกรทหาสนามไฟฟ้าสุทธิที่จุด A $E_{total}=\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\dfrac{k \lambda d \theta}{R \cos \theta}$
$E_{total}= \dfrac{k \lambda}{R} \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\dfrac{d\theta}{\cos \theta}$
จากการเปิดโพย จะได้ว่า $\displaystyle \int\dfrac{d\theta}{\cos \theta}=\ln \dfrac{\sin x +1}{\cos x} + C$
แทนเข้าไป แล้วประมาณว่า $\cos \alpha = 1$ และ $\sin \alpha = \alpha$ จะได้ $E=\dfrac{k\lambda}{R}\ln \dfrac{2}{\alpha}$
$F_E = k \lambda^2 \delta \theta \ln \dfrac{2}{\alpha} = 2T \sin \delta \theta \approx 2T \delta \theta$
$T = \dfrac{k \lambda^2}{2} \ln \dfrac{2}{\alpha}$ มันติดอยู่ตรง $\alpha$ อะครับ ทำไงดี Cry


« Last Edit: May 13, 2010, 01:29:06 PM by Stalker »	Logged

Everything should be made as simple as possible, but not simpler.

GunUltimateID

SuperHelper

Offline

Posts: 534

Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ

« Reply #18 on: May 18, 2010, 02:56:44 PM »

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 22, 2005, 07:34:00 AM

แต่ถ้าเราคิดว่าบริเวณเล็ก ๆ สองข้างของจุดนั้น (ซึ่งประมาณว่าเป็นแนวตรงได้?) ให้สนามไฟฟ้าที่มีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงกันข้ามล่ะ ...

แล้วทำยังไงต่อเหรอครับ uglystupid2


	Logged

nklohit

neutrino

Offline

Posts: 268

Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ

« Reply #19 on: May 31, 2010, 10:46:08 PM »

แนวคิดจากอ.สุจินต์ครับ
พิจารณาส่วนเล็กๆของวงโค้งที่มีขนาดมุมเป็น $2\delta\theta$ โดยมีศูนย์กลางที่ $\phi = 0$
องค์ประกอบที่เมื่อนำมาอินติเกรตแล้วไม่เป็นศูนย์ของสนามจากส่วนประจุเล็กๆ ที่มุม $\phi$ มีค่าเป็น
$\delta E = \dfrac{k\lambda R\delta\phi}{4R^{2}\sin^{2} \frac{\phi}{2}} \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\phi}{2} \right)$
โดย $k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}$ และ $\lambda = \dfrac{Q}{2\pi R}$ เป็นความหนาแน่นประจุต่อความยาวหนึ่งหน่วย
จะได้สนามลัพธ์ที่กระทำต่อประะจุเล็กๆ ที่กว้าง $2\delta\theta$ เป็น

$E = \displaystyle\int^{2\pi - \delta\theta}_{\delta\theta} \dfrac{k\lambda d\phi}{4R\sin\frac{\phi}{2}}$

$E = -\dfrac{k\lambda}{2R}\int^{2\pi - \delta\theta}_{\delta\theta}\dfrac{d\left[ \cos\frac{\phi}{2} \right] }{1-\cos^{2}\frac{\phi}{2}}$

$E = \dfrac{k\lambda}{2R}\ln\left\{ \dfrac{1+\cos\frac{\delta\theta}{2}}{1-\cos\frac{\delta\theta}{2}} \right\}$

$E = \dfrac{k\lambda}{R}\ln \left( \dfrac{1}{\tan\frac{\delta\theta}{4}} \right)$

จะได้แรงที่กระทำต่อส่วนนี้จากประจุอื่นเป็น $F = 2k\lambda^{2}\delta\theta \ln \left( \dfrac{1}{\tan\frac{\delta\theta}{4}} \right)$

เราสนใจในกรณีที่ $\delta\theta \to 0$ ใช้กฎของโลปิตาล ได้ว่า

$F = \displaystyle\lim _{\delta\theta\to 0} 2k\lambda^{2} \dfrac{\frac{d}{d(\delta\theta)}\ln\frac{1}{\tan\frac{\delta\theta}{4}}}{\frac{d}{d(\delta\theta)}\frac{1}{\delta\theta}}$

$F = \displaystyle\lim _{\delta\theta\to 0} 2k\lambda^{2} \dfrac{\frac{1}{4\sin\frac{\delta\theta}{4}\cos\frac{\delta\theta}{4}}}{\frac{1}{\delta\theta^{2}}}$

$F = \displaystyle\lim _{\delta\theta\to 0} 2k\lambda^{2} \delta\theta$

ถ้าให้แรงตึงในวงนี้เป็น $f$ ซึ่ง $F = 2f\delta\theta$ เราจะได้แรงตึงเชือกเป็น

$f = k\lambda^{2} = \dfrac{Q^{2}}{16\pi^{3}\epsilon_{0}R^{2}}$ smitten


« Last Edit: June 01, 2010, 08:54:37 AM by nklohit »	Logged

It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress. ------------------------------ Paul Dirac

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper