Irodov ข้อ 1.264

ขอลองทำนะครับ

เริ่มแรกให้พิจาณา ณ จุดที่ทรงกระบอกกลิ้งมาถึงขอบและเคลื่อนที่ลงไปยังพื้นเอียง ในการเคลื่อนที่นี้เราจะได้ว่า พลังงานมีการอนุรักษ์ เพราะแรงที่พื้นกระทำต่อทรงกระบอกในการเคลื่อนที่นี้ไม่ทำงานไม่ว่าจะเป็น แรง N ซึ่งตั้งฉากกับทิศการเคลื่อนที่ตลอดเวลา แรงเสียดทานสถิตย์ก็ไม่ทำงานเพราะไม่มีการไถลที่จุดสัมผัส เรากำหนดให้จุดที่ขอบตรงนี้เป็นจุดหมุนโดยให้ชื่อว่าจุด P จะได้ว่า

$\displaystyle\frac{1}{2}I_P\omega _0^2+mgR(1-\cos \theta )=\frac{1}{2}I_P\omega _\theta ^2$ โดย $\theta$ คือ มุมที่เส้นตรงจากจุด P ถึงจุดC.M.ของทรงกระบอกทำกับเส้นในแนวดิ่ง และ $I_P=\displaystyle\frac{1}{2}mR^2+mR^2=\frac{3}{2}mR^2$

เมื่อจัดรูปสมการนี้ต่อไปเราจะได้ $m\omega _\theta ^2R=m(\displaystyle\frac{4}{3}g(1-\cos \theta )+\omega _0^2R)...........(1)$

เนื่องจากตอนที่ทรงกระบอกเคลื่อนที่่รอบจุด P นั้นมีการเคลื่อนที่เป็นวงกลม จึงได้ว่า

$mg\sin \theta -N= m\omega _\theta ^2R............(2)$

แทน (1) ลงใน (2) แล้วจัดรูปหา $N$ จะได้

$\displaystyle N=m(\frac{7}{3}g\cos \theta -\frac{4}{3}g-\omega _0^2R)$

เนื่องจาก เมื่อมุม $\theta$ มาก $\cos \theta$ จะมีค่าน้อย ดังนั้น ที่มุม $\theta$ มากที่สุดซึ่ง คือ $\theta =\alpha$ $N$ จะมีค่าน้อยที่สุด และต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 เพื่อให้ทรงกระบอกกระโดดออกจากพื้นเอียง

$\displaystyle m(\frac{7}{3}g\cos \alpha -\frac{4}{3}g-\omega _0^2R)\geqslant 0$

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล $v_0=\omega _0R$

$\displaystyle m(\frac{7}{3}g\cos \alpha -\frac{4}{3}g-\frac{v_0^2}{R})\geqslant 0$

$\displaystyle 0\leqslant v_0\leqslant \sqrt{\frac{gR}{3}(7\cos \alpha -4)}$ ที่ไม่ใส่ช่วงลบเพราะว่าความเร็วที่มีทิศทางตรงกันข้าม ไม่ก่อให้เกิดกรณีนี้อย่างแน่นอน เนื่องจากในทิศตรงข้ามเป็นพื้นราบ Grin

ดังนั้น $\displaystyle v_{0_{max}}=\sqrt{\frac{gR}{3}(7\cos \alpha -4)}$

ผิดถูกอย่างไรช่วยแนะนำด้วยครับ

ปล.ผมอยากทราบว่าเราจะหาเงื่อนไขของมุม $\alpha$ ที่ทำให้ทรงกระบอกกระโดดแน่นอนได้อย่างไรหรอครับ(ขอเหตุผลด้วยนะครับว่าทำไมถึงทำแบบนั้นได้) ขอบคุณครับ

คุณสมบัติของเด็กดี