ช่วยเฉลยโจทย์part A ข้อbให้ดูทีครับ

เฉลย ข้อ 1 Part A ข้อ b
โดยนิยามที่ให้มาในข้อ 1 Part A ข้อ a

พลังงานของระบบสองอนุภาคหลังชนประกอบด้วยพลังงานจลน์

ของระบบ บวกกับพลังงานศักย์ยืดหยุ่นในสปริง
พลังงานจลน์ของระบบหลายอนุภาคใด ๆ สามารถเขียนเป็นพลังงานจลน์ของจุดศูนย์กลางมวล บวกกับพลังงานจลน์เทียบกับจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งในกรณีของระบบสองอนุภาคสามารถเขียนเป็นพลังงานจลน์ของจุดศูนย์กลางมวล บวกกับพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างสองอนุภาค นั่นคือ

โดยที่

คือมวลลดทอนของระบบสองอนุภาค และ

คือความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างสองอนุภาค
พลังงานศักย์ยืดหยุ่นในสปริงมีค่าเท่ากับ

เมื่อ

โดยที่

คือระยะห่างระหว่างอนุภาค และ

คือความยาวธรรมชาติของสปริง
ดังนั้นพลังงานทั้งหมดของระบบสองอนุภาคที่เวลาใด ๆ หลังชนคือ

ซึ่งมีค่าเท่ากับพลังงานทั้งหมดก่อนชน

ตามหลักอนุรักษ์พลังงานและเงื่อนไขที่ว่าการชนเป็นแบบยืดหยุ่น
ดังนั้น

ในตอนที่สปริงยืดมากสุด เราสามารถเปลี่ยนอัตราเร็วสัมพัทธ์ให้อยู่ในรูปของระยะห่างระหว่างอนุภาคได้ โดยใช้หลักอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดศูนย์กลางมวลของระบบสองอนุภาค
หลังชนทันที อนุภาคที่ถูกชนมีโมเมนตัม

(สังเกตว่า เราสมมุติว่าอนุภาคที่มีชนเคลื่อนที่ไปทางทิศความเร็วเดิม ถ้ามันกระดอนกลับทิศ

จะมีค่าติดลบ นี่ทำตามที่โจทย์แนะมา) ส่วนอีกอนุภาคที่อยู่อีกปลายหนึ่งของสปริงยังไม่ขยับ เพราะสัญญาณจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่งต้องใช้เวลาเดินทางผ่านตัวกลางสปริงไป
จาก

เราจึงได้ว่า

ในกรณีของระบบสองอนุภาค เรารู้อีกว่า โมเมนตัมเชิงมุมของระบบรอบจุดนิ่งใด ๆ ของกรอบเฉื่อยสามารถเขียนให้อยู่ในรูป

โดยที่

คือเวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์ของอนุภาค 2 เทียบ 1
ดังนั้นถ้าเราคิดโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดศูนย์กลางมวล โมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดจึงมีค่าเท่ากับ

ตอนที่อนุภาคอยู่ห่างกันมากสุดหรือน้อยสุด
ความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างอนุภาคทั้งสองเป็นศูนย์ไม่ได้ เพราะจะทำให้โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดศูนย์กลางมวลเป็นศูนย์ และขัดกับหลักอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ดังนั้นที่ระยะไกลสุดหรือใกล้สุด ความเร็ว

ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์

โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดศูนย์กลางมวลเมื่ออนุภาคทั้งสองอยู่ห่างกันมากสุดจึงมีค่าเท่ากับ

เมื่อ

คือระยะห่างมากสุดระหว่างอนุภาค และ ณ ขณะนั้นอัตราเร็วสัมพัทธ์มีขนาดน้อยสุดเท่ากับ

จากหลักอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เราจึงได้ว่า

แทนค่า

จากสมการข้างบนลงในนิพจน์สำหรับ

ซึ่งตอนที่สปริงยืดมากสุดสามารถเขียนได้เป็น

เมื่อแทนค่ามวลลดทอน

และใช้นิยาม

เราจะได้ว่า

นี่คือรูปแบบความสัมพันธ์ที่ต้องการ
