จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

FogRit

SuperHelper

Offline

Posts: 898

มีอะไร ใช้อย่างนั้น

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #15 on: November 08, 2005, 05:00:57 PM »

Quote from: G on November 01, 2005, 09:46:00 PM

ผมลองคิดดูแบบที่ใข้ Spherecal coordianate อะครับ แต่ผมสงสัยอะไรนิดหน่อย

คิดพื้นที่เล็กๆ ในวงกลมเป็น
$dA=r^2 sin\theta d\theta d\phi$
โดยที่ $\theta$ เป็นมุมในแนวดิ่ง แล้วก็ $\phi$ เป็นมุมที่กวาดไปในแนวระดับ
มวลส่วนเล็กๆนั้นสามาถหาได้เป็น
$dm=\rho r^2 sin\theta d\theta d\phi$
โดยที่ $\rho=\displaystyle{\frac{m}{2\pi r^2}}$

$x_{cm}= \displaystyle{\frac{1}{m}}\int{r}dm$
$x_{cm}=\displaystyle{\frac{1}{m}}\int\int\rho r^3 sin\theta d\theta d\phi$

Code:

จากนั้นใส่ลิมิตว่า $\theta$ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง $2\pi$
แล้วก็ใส่ลิมิตตั้งแต่ $\phi$ ตั้งแต่ 0 ถึง $\pi$

เราจะได้ว่า
$x_{cm}=\displaystyle{\frac{r}{2}}$

หวังว่าวันนี้คงหายปวดหัวแล้วนะครับ


« Last Edit: May 03, 2010, 10:19:33 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ

ampan

SuperHelper

Offline

Posts: 1140

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #16 on: November 08, 2005, 06:09:25 PM »

ถ้าปวดมาก ก็ยังไม่ต้องก็ได้ เพราะเดี๋ยวพี่ จัดให้ Cheesy


	Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #17 on: November 08, 2005, 07:59:46 PM »

ทำผิด ไปดูที่อาจารย์ปิยพงษ์เฉลย


« Last Edit: November 12, 2005, 04:29:40 PM by G »	Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148

FogRit

SuperHelper

Offline

Posts: 898

มีอะไร ใช้อย่างนั้น

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #18 on: November 08, 2005, 08:55:13 PM »

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinates

Quote from: wikipidia.org

n the spherical coordinate system, a point P is represented by a tuple of three components (ρ,φ,θ). Using terms of the Cartesian coordinate system,

* $0\leq\rho$ (radius) is the distance between the point P and the origin,
* $0\leq\phi\leq 180^\circ$ (zenith, colatitude or polar angle) is the angle between the z-axis and the line from the origin to the point P, and
* $0\leq\theta<360^\circ$ (azimuth or longitude) is the angle between the positive x-axis and the line from the origin to the point P projected onto the xy-plane.

ในข้อนี้ถ้าเป็นการอินทิเกรต "ครึ่งลูก" ต้องใช้ $\phi \ \longrightarrow \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$

เก่งมากที่พยาายามอ่านด้วยตัวเองครับ


	Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ

ampan

SuperHelper

Offline

Posts: 1140

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #19 on: November 10, 2005, 04:42:37 PM »

เห็นมีคนทำแบบใช้ polar corrodinate แล้ว เราลองใช้ xy มั้งดีไหมครับ
อ่อมีหลายอย่างที่อยากอธิบาย คือ ที่น้อง G ทำนะแนวทาง ถูกแล้วแต่เราอาจลดขั้นตอนลง โดยคิดเป็น ส่วนของวงแหวนเล็กๆไปเลย เพื่อไม่ต้องอินทิเกรตสองครั้ง ซึ่งอยากให้ทำ แล้วมีใครจะพลาดเหมือนผมไหม Grin

คือ ...ไม่รู้สิ แบบไร้สาระ แต่เผอิญ จำได้ว่า มันเป็นไปไม่ได้เลย นั่งคิด อืม อืม อ่อ เราโง่จัง Shocked


« Last Edit: May 03, 2010, 10:07:46 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6325

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #20 on: November 10, 2005, 06:12:53 PM »

Quote from: G on November 08, 2005, 07:59:46 PM

...
เหตุผลทีบอกว่า $\theta$ มีค่าตั้งแต่ $0-2\pi$ เนื่องจากกำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมในระนาบxy ส่วน $\phi$ เป็นมุมที่เงิยขึ้นมา
...

ย้อนกลับไปดูให้ดี ๆ ว่าตัวเองกำหนดมุมไหนเป็นมุมไหน $\sin \theta$ โผล่มาเพราะกำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมที่วัดลงมาจากแกน $z$ ไม่ใช่หรือ Huh


« Last Edit: May 03, 2010, 10:07:17 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #21 on: November 11, 2005, 09:25:50 PM »

ซวยแล้วครับ ใช่จริงๆด้วยครับอาจารย์แล้วมันก้จะกลายเป็นว่า cm อยู่ที่ r ซึ่งมันก็เป้นไปไม่ได้

หรือว่าผมกำหนดเงื่อนไขมุมผิดอะครับ
เพราะหนังสือที่ผมอ่านมันก็บอกแบบที่อาจารย์บอกแหละครับ

ผมลองวาดรูปในหนังสือที่ผมอ่านมาแล้วอะครับ หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด

* $\theta$ นิยามว่าเป็น polar angle
* $\phi$ นิยามว่าเป็น azimuthal angle


« Last Edit: May 03, 2010, 10:31:06 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #22 on: November 11, 2005, 09:36:40 PM »

Quote from: Foggy_Ritchy on November 08, 2005, 08:55:13 PM

....

ในข้อนี้ถ้าเป็นการอินทิเกรต "ครึ่งลูก" ต้องใช้ $\phi \ \longrightarrow \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$

เก่งมากที่พยาายามอ่านด้วยตัวเองครับ

เข้าใจแล้วอะครับ แต่ว่าทำไมถึงเป็น $\frac{\pi}{2}$ อะครับ

แล้วก็ในหนังสือมันหาพื้นที่มาโดยใส่ลิมิต มุมเชิงอะซิมุทเป็น 0 ถึง $\pi$ อะครับ ทำไมอะครับ งงมากมาย


« Last Edit: May 03, 2010, 10:05:44 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6325

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #23 on: November 12, 2005, 09:28:40 AM »

ดูรูปข้างล่างสำหรับข้อตกลงว่ามุมไหนเป็นมุมไหน

โปรดตระหนักว่ามีข้อตกลงการใช้สัญลักษณ์สำหรับพิกัดทรงกลมที่ไม่เหมือนกันในหนังสือตำราทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ ดังนั้นเวลาใช้พิกัดเหล่านี้ควรระมัดระวังในการกำหนดนิยามให้แน่นอน (เขียนรูปดีที่สุด) และให้ระวังว่าสิ่งที่คนอื่นใช้อาจไม่ใช่สิ่งที่เราใช้

รูปนี้ให้ปริมาตรเล็ก ๆ มาว่ามีค่าเท่าใด ถ้าเราต้องการแค่พื้นที่ผิวเล็ก ๆ ก็หารด้วยความหนา $dr$ ทิ้ง
ดังนั้นพื้นที่เล็ก ๆ ที่เราต้องการคือ $dA = r d \theta \times r \sin \theta d \phi = r^2 \sin \theta d \theta d \phi$

ถ้าเรากวาดพื้นที่เล็ก ๆ นี้ไปรอบแกน $z$ ครบหนึ่งรอบโดยให้มุม $\phi$ มีค่า $0 \rightarrow 2\pi$ เราจะได้พื้นที่ของแถบวงแหวน

ถ้าเราต้องการพื้นที่ครึ่งทรงกลม เราต้องบวกพื้นที่แถบวงแหวนเล็ก ๆ นี้ตั้งแต่แถบบนสุดที่ $\theta = 0$ ลงมาจนถึงที่ตรงกลางของทรงกลม (ครึ่งทรงกลม) ที่ $\theta = \pi /2$

ถ้าเราเอาลิมิตจากการหาพื้นที่ผิวครึ่งทรงกลมข้างบนไปประยุกต์ใช้กับการหาพิกัด $z_{\mbox{cm}}$ ของตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลม เราจะทำดังนี้

$z_{\mbox{cm}}= \displaystyle{\frac{1}{M}}\int z dm$

โดยที่ $dm=\sigma dA$
$dA = r^2 \sin \theta d \theta d \phi$ และ $\sigma = M/(2\pi r^2)$ คือความหนาแน่นมวลต่อพื้นที่

เมื่อแทนค่า $z = r \cos \theta$ เราจะได้ว่า

$z_{\mbox{cm}}= \displaystyle{\frac{1}{M}}\int_{\phi = 0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^{\pi/2} {r \cos \theta } \sigma r^2 \sin \theta d \theta d \phi = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}}\int_{\phi = 0}^{2\pi} d \phi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} {\cos \theta }\sin \theta d \theta$

เมื่อหาปริพันธ์ เราจะได้ว่า $z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} \sin \theta d(\sin \theta) = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \times \frac{1}{2}[\sin^2(\pi/2) - \sin^2 (0)] = \displaystyle{\frac{\sigma 2\pi r^2 }{M}} \frac{r}{2}$

ดังนั้น $z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{r}{2}}$

น้อง G กลับไปหาดูว่าน้องมั่วที่ไหนบ้าง มันผิดตั้งแต่นิยามพื้นฐานของพิกัดตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลแล้ว Shocked


« Last Edit: May 03, 2010, 10:05:06 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1221

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #24 on: November 12, 2005, 04:29:03 PM »

ขอบคุณอาจารย์มากครับ Grin

Quote from: ปิยพงษ์ on November 12, 2005, 09:28:40 AM

น้อง G กลับไปหาดูว่าน้องมั่วที่ไหนบ้าง มันผิดตั้งแต่นิยามพื้นฐานของพิกัดตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลแล้ว Shocked

ผมยอมเป็นน้องอาจารย์ก็ได้ครับ ก้ออาจารย์ยังไม่แก่ใช่มั้ยครับ Grin


	Logged

ampan

SuperHelper

Offline

Posts: 1140

Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

« Reply #25 on: November 12, 2005, 06:39:25 PM »

หุหุ อ.ลงทุนทำให้เลยนะนี่ หึหึ ผมเลยมาทำ แบบ ใช้ แกน xy ใช้ ดูเลย ดีกว่า เผื่อผิดอ.จะได้แก้ให้บ้าง Grin

แต่ผมจะ ลดการอินทิเกรตไปครั้งหนึ่ง คือ คิดว่ามันเป็นวงแหวนบาง ตามรูป เราจะ เขียนได้ว่า วงแหวนนั้น $dm = \rho dA = \rho 2\pi xdl$ $dl = \sqrt{1+y^\prime^2}dx$
$y_{cm} = \frac{\int ydm}{M}$ แต่ แค่นี้ เราคงต้องตาทะลุทะลักออกมา ทำต่อไม่ได้ จึงขอใส่ สิ่งที่เรามองผ่านไป คือ $x^2+y^2 = r^2$ จากนั้น เราก็ หุหุ แทนค่า ใส่ไป เลยเรื่อยๆ จบ ครับ

หมายเหตุ ทำทิ้งไว้แค่นี้ เพราะ ว่า ขี้เกียจ Tongue

แล้วทำไม ต้องใช้ $dl$ ทำไมไม่ใช้ แค่ $dx$ นะ ผมว่าลองทำดู จะได้เห็นกับมือตัวเอง เพราะ มีคนพลาดมาแล้ว บางครั้ง การประมาณที่ไม่มี อาจนำมาซึ่งความ ....


« Last Edit: May 03, 2010, 10:23:11 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー

Pages: « 1 2 Go Up

« previous next »