ดูรูปข้างล่างสำหรับข้อตกลงว่ามุมไหนเป็นมุมไหน
โปรดตระหนักว่ามีข้อตกลงการใช้สัญลักษณ์สำหรับพิกัดทรงกลมที่ไม่เหมือนกันในหนังสือตำราทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ ดังนั้นเวลาใช้พิกัดเหล่านี้ควรระมัดระวังในการกำหนดนิยามให้แน่นอน (เขียนรูปดีที่สุด) และให้ระวังว่าสิ่งที่คนอื่นใช้อาจไม่ใช่สิ่งที่เราใช้

รูปนี้ให้ปริมาตรเล็ก ๆ มาว่ามีค่าเท่าใด ถ้าเราต้องการแค่พื้นที่ผิวเล็ก ๆ ก็หารด้วยความหนา

ทิ้ง
ดังนั้นพื้นที่เล็ก ๆ ที่เราต้องการคือ

ถ้าเรากวาดพื้นที่เล็ก ๆ นี้ไปรอบแกน

ครบหนึ่งรอบโดยให้มุม

มีค่า

เราจะได้พื้นที่ของแถบวงแหวน
ถ้าเราต้องการพื้นที่ครึ่งทรงกลม เราต้องบวกพื้นที่แถบวงแหวนเล็ก ๆ นี้ตั้งแต่แถบบนสุดที่

ลงมาจนถึงที่ตรงกลางของทรงกลม (ครึ่งทรงกลม) ที่

ถ้าเราเอาลิมิตจากการหาพื้นที่ผิวครึ่งทรงกลมข้างบนไปประยุกต์ใช้กับการหาพิกัด

ของตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลม เราจะทำดังนี้

โดยที่


และ

คือความหนาแน่นมวลต่อพื้นที่
เมื่อแทนค่า

เราจะได้ว่า

เมื่อหาปริพันธ์ เราจะได้ว่า
![z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} \sin \theta d(\sin \theta) = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \times \frac{1}{2}[\sin^2(\pi/2) - \sin^2 (0)] = \displaystyle{\frac{\sigma 2\pi r^2 }{M}} \frac{r}{2} z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} \sin \theta d(\sin \theta) = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \times \frac{1}{2}[\sin^2(\pi/2) - \sin^2 (0)] = \displaystyle{\frac{\sigma 2\pi r^2 }{M}} \frac{r}{2}](/forums/Sources/latex/pictures/ea7e3e84a5b4420fd71c64b52db45632.png)
ดังนั้น

น้อง G กลับไปหาดูว่าน้องมั่วที่ไหนบ้าง มันผิดตั้งแต่นิยามพื้นฐานของพิกัดตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลแล้ว
