มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41093 Posts in 6121 Topics- by 6751 Members - Latest Member: fakenight
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Pages: « 1 2   Go Down
Print
Author Topic: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง  (Read 21496 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #15 on: November 08, 2005, 05:00:57 PM »

ผมลองคิดดูแบบที่ใข้ Spherecal coordianate อะครับ แต่ผมสงสัยอะไรนิดหน่อย

คิดพื้นที่เล็กๆ ในวงกลมเป็น
dA=r^2 sin\theta d\theta d\phi
โดยที่ \thetaเป็นมุมในแนวดิ่ง แล้วก็ \phiเป็นมุมที่กวาดไปในแนวระดับ
มวลส่วนเล็กๆนั้นสามาถหาได้เป็น
dm=\rho r^2 sin\theta d\theta d\phi
โดยที่ \rho=\displaystyle{\frac{m}{2\pi r^2}}

x_{cm}= \displaystyle{\frac{1}{m}}\int{r}dm
x_{cm}=\displaystyle{\frac{1}{m}}\int\int\rho r^3 sin\theta d\theta d\phi
Code:
จากนั้นใส่ลิมิตว่า \theta มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 2\pi
แล้วก็ใส่ลิมิตตั้งแต่ \phi ตั้งแต่ 0 ถึง \pi

เราจะได้ว่า
x_{cm}=\displaystyle{\frac{r}{2}}


หวังว่าวันนี้คงหายปวดหัวแล้วนะครับ
« Last Edit: May 03, 2010, 10:19:33 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #16 on: November 08, 2005, 06:09:25 PM »

ถ้าปวดมาก ก็ยังไม่ต้องก็ได้ เพราะเดี๋ยวพี่ จัดให้  Cheesy
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #17 on: November 08, 2005, 07:59:46 PM »

ทำผิด ไปดูที่อาจารย์ปิยพงษ์เฉลย
« Last Edit: November 12, 2005, 04:29:40 PM by G » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #18 on: November 08, 2005, 08:55:13 PM »

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinates

Quote from: wikipidia.org
n the spherical coordinate system, a point P is represented by a tuple of three components (ρ,φ,θ). Using terms of the Cartesian coordinate system,

    * 0\leq\rho (radius) is the distance between the point P and the origin,
    * 0\leq\phi\leq 180^\circ (zenith, colatitude or polar angle) is the angle between the z-axis and the line from the origin to the point P, and
    * 0\leq\theta<360^\circ (azimuth or longitude) is the angle between the positive x-axis and the line from the origin to the point P projected onto the xy-plane.

ในข้อนี้ถ้าเป็นการอินทิเกรต "ครึ่งลูก" ต้องใช้  \phi \ \longrightarrow \displaystyle{\frac{\pi}{2}}

เก่งมากที่พยาายามอ่านด้วยตัวเองครับ
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #19 on: November 10, 2005, 04:42:37 PM »

เห็นมีคนทำแบบใช้ polar corrodinate แล้ว เราลองใช้ xy มั้งดีไหมครับ
อ่อมีหลายอย่างที่อยากอธิบาย คือ ที่น้อง G ทำนะแนวทาง ถูกแล้วแต่เราอาจลดขั้นตอนลง โดยคิดเป็น ส่วนของวงแหวนเล็กๆไปเลย เพื่อไม่ต้องอินทิเกรตสองครั้ง ซึ่งอยากให้ทำ แล้วมีใครจะพลาดเหมือนผมไหม Grin คือ ...ไม่รู้สิ แบบไร้สาระ แต่เผอิญ จำได้ว่า มันเป็นไปไม่ได้เลย นั่งคิด อืม อืม อ่อ เราโง่จัง Shocked
 Wink
« Last Edit: May 03, 2010, 10:07:46 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6252


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #20 on: November 10, 2005, 06:12:53 PM »

...
เหตุผลทีบอกว่า \thetaมีค่าตั้งแต่ 0-2\piเนื่องจากกำหนดให้ \thetaเป็นมุมในระนาบxy ส่วน \phiเป็นมุมที่เงิยขึ้นมา
...

ย้อนกลับไปดูให้ดี ๆ ว่าตัวเองกำหนดมุมไหนเป็นมุมไหน \sin \theta โผล่มาเพราะกำหนดให้ \theta เป็นมุมที่วัดลงมาจากแกน z ไม่ใช่หรือ Huh
« Last Edit: May 03, 2010, 10:07:17 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #21 on: November 11, 2005, 09:25:50 PM »

ซวยแล้วครับ ใช่จริงๆด้วยครับอาจารย์แล้วมันก้จะกลายเป็นว่า cm อยู่ที่ r ซึ่งมันก็เป้นไปไม่ได้

หรือว่าผมกำหนดเงื่อนไขมุมผิดอะครับ
เพราะหนังสือที่ผมอ่านมันก็บอกแบบที่อาจารย์บอกแหละครับ

ผมลองวาดรูปในหนังสือที่ผมอ่านมาแล้วอะครับ หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด

* \thetaนิยามว่าเป็น polar angle
* \phiนิยามว่าเป็น azimuthal angle
« Last Edit: May 03, 2010, 10:31:06 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #22 on: November 11, 2005, 09:36:40 PM »

....

ในข้อนี้ถ้าเป็นการอินทิเกรต "ครึ่งลูก" ต้องใช้  \phi \ \longrightarrow \displaystyle{\frac{\pi}{2}}

เก่งมากที่พยาายามอ่านด้วยตัวเองครับ

เข้าใจแล้วอะครับ แต่ว่าทำไมถึงเป็น \frac{\pi}{2}อะครับ

แล้วก็ในหนังสือมันหาพื้นที่มาโดยใส่ลิมิต มุมเชิงอะซิมุทเป็น 0 ถึง \piอะครับ ทำไมอะครับ งงมากมาย
« Last Edit: May 03, 2010, 10:05:44 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6252


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #23 on: November 12, 2005, 09:28:40 AM »

ดูรูปข้างล่างสำหรับข้อตกลงว่ามุมไหนเป็นมุมไหน
 
โปรดตระหนักว่ามีข้อตกลงการใช้สัญลักษณ์สำหรับพิกัดทรงกลมที่ไม่เหมือนกันในหนังสือตำราทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ ดังนั้นเวลาใช้พิกัดเหล่านี้ควรระมัดระวังในการกำหนดนิยามให้แน่นอน (เขียนรูปดีที่สุด) และให้ระวังว่าสิ่งที่คนอื่นใช้อาจไม่ใช่สิ่งที่เราใช้



รูปนี้ให้ปริมาตรเล็ก ๆ มาว่ามีค่าเท่าใด ถ้าเราต้องการแค่พื้นที่ผิวเล็ก ๆ ก็หารด้วยความหนา dr ทิ้ง
ดังนั้นพื้นที่เล็ก ๆ ที่เราต้องการคือ dA = r d \theta \times r \sin \theta d \phi = r^2 \sin \theta d \theta d \phi

ถ้าเรากวาดพื้นที่เล็ก ๆ นี้ไปรอบแกน z ครบหนึ่งรอบโดยให้มุม \phi มีค่า 0 \rightarrow 2\pi เราจะได้พื้นที่ของแถบวงแหวน

ถ้าเราต้องการพื้นที่ครึ่งทรงกลม เราต้องบวกพื้นที่แถบวงแหวนเล็ก ๆ นี้ตั้งแต่แถบบนสุดที่ \theta = 0 ลงมาจนถึงที่ตรงกลางของทรงกลม (ครึ่งทรงกลม) ที่ \theta = \pi /2

ถ้าเราเอาลิมิตจากการหาพื้นที่ผิวครึ่งทรงกลมข้างบนไปประยุกต์ใช้กับการหาพิกัด z_{\mbox{cm}} ของตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลม เราจะทำดังนี้

z_{\mbox{cm}}= \displaystyle{\frac{1}{M}}\int z dm

โดยที่ dm=\sigma dA
dA = r^2 \sin \theta d \theta d \phi และ \sigma = M/(2\pi r^2) คือความหนาแน่นมวลต่อพื้นที่

เมื่อแทนค่า z = r \cos \theta เราจะได้ว่า

z_{\mbox{cm}}= \displaystyle{\frac{1}{M}}\int_{\phi = 0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^{\pi/2} {r \cos \theta } \sigma r^2 \sin \theta d \theta d \phi = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}}\int_{\phi = 0}^{2\pi} d \phi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} {\cos \theta }\sin \theta d \theta

เมื่อหาปริพันธ์ เราจะได้ว่า z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} \sin \theta d(\sin \theta) = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \times \frac{1}{2}[\sin^2(\pi/2) - \sin^2 (0)] = \displaystyle{\frac{\sigma 2\pi r^2 }{M}} \frac{r}{2}

ดังนั้น z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{r}{2}}

น้อง G กลับไปหาดูว่าน้องมั่วที่ไหนบ้าง มันผิดตั้งแต่นิยามพื้นฐานของพิกัดตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลแล้ว Shocked Shocked Shocked
« Last Edit: May 03, 2010, 10:05:06 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #24 on: November 12, 2005, 04:29:03 PM »

ขอบคุณอาจารย์มากครับ  Grin Grin

น้อง G กลับไปหาดูว่าน้องมั่วที่ไหนบ้าง  มันผิดตั้งแต่นิยามพื้นฐานของพิกัดตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลแล้ว  Shocked Shocked Shocked
ผมยอมเป็นน้องอาจารย์ก็ได้ครับ ก้ออาจารย์ยังไม่แก่ใช่มั้ยครับ Grin
Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #25 on: November 12, 2005, 06:39:25 PM »

หุหุ อ.ลงทุนทำให้เลยนะนี่ หึหึ ผมเลยมาทำ แบบ ใช้ แกน xy ใช้ ดูเลย ดีกว่า เผื่อผิดอ.จะได้แก้ให้บ้าง Grin
แต่ผมจะ ลดการอินทิเกรตไปครั้งหนึ่ง คือ คิดว่ามันเป็นวงแหวนบาง ตามรูป เราจะ เขียนได้ว่า วงแหวนนั้น  dm = \rho dA = \rho 2\pi xdl  dl = \sqrt{1+y^\prime^2}dx
y_{cm} = \frac{\int ydm}{M} แต่ แค่นี้ เราคงต้องตาทะลุทะลักออกมา ทำต่อไม่ได้ จึงขอใส่ สิ่งที่เรามองผ่านไป คือ  x^2+y^2 = r^2 จากนั้น เราก็ หุหุ แทนค่า ใส่ไป เลยเรื่อยๆ จบ ครับ

หมายเหตุ ทำทิ้งไว้แค่นี้ เพราะ ว่า ขี้เกียจ Tongue แล้วทำไม ต้องใช้  dl ทำไมไม่ใช้ แค่ dx นะ ผมว่าลองทำดู จะได้เห็นกับมือตัวเอง เพราะ มีคนพลาดมาแล้ว บางครั้ง การประมาณที่ไม่มี อาจนำมาซึ่งความ ....
« Last Edit: May 03, 2010, 10:23:11 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
Pages: « 1 2   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น