วันนี้มีโจทย์ข้อใหม่คับพี่ตั้ว ถามว่าให้พิสูจน์ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุด cm ของลูกบากศ์ไม่ว่าจะหมุนรอบแกนไหนจะเป็น

เมื่อลูกบากศ์มีความยาวด้านละ a คับ
ผมว่าคงมีทำได้หลายวิธีผมขอลองแสดงสักวิธีนะครับ

ก่อนอื่นวิธีที่จะใช้เรียกว่า scailing mathod คับ
สมมติให้โมเมนต์ความเฉื่อยที่ผ่าน cm รอบแกนใดๆ เป็น

คับหลังจากนั้นเราก็ตั้งระบบอ้างอิง x y z โดยมีจุดกำเนิดที่ cm พอดีคับ
สมมติแกนที่เราจะหมุนรอบมีสมการเส้นตรงเป็น

เนื่องจากว่ามันต้องผ่านจุด (0,0,0)
คับเราจะได้ระยะตั้งฉากไปที่เส้นตรงนี้เป็น

โดยที่ (x,y,z) เป็นจุดใดๆ บนกราฟ
แต่รูปที่เราได้นี้ที่จุด cm ของกล่องเล็กที่เราจะเลื่อนแกนแปดกล่องนี้มีพิกัดเป็น (

)
จะได้ระยะห่างเป็น

ตั้งสมการเลื่อนแกนครับ

=[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 6 ]
แล้วก็แก้หาค่า k ออกมาคับ เมื่อกระจายแล้วมันจะหักล้างกันได้คับเหลือข้างบนเป็น

แล้วก็ไปตัดกับข้างล่างคับก็จะไม่เหลือ A,B,Cที่สมมติขึ้นมาจากแกนหมุน แล้วก็ได้ k ออกมาเป็น

คับก็เลยได้ว่
ผมเข้าใจแล้วคับ ข้อแก้วิธีนี้ใหม่แล้วกันคับ
การที่เราจะได้เส้นตรงตามเงื่อนไขที่ผ่านจุด cm นั้นจะต้องมี 2 สมการคับผมสมมติให้เป็น Ax+By=0 และ Cy+Dz=0
จากนั้นเราจะได้ระยะห่างกำลังสองจากจุด (x,y,z) ใดๆไปยังเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบทั้งสองเป็น

+

,เนื่องจากระนาบที่สมมติขึ้นนี้เป็นระนาบบนx,y และ y,z คับ
หลังจากนั้นก็แทนพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของกล่อง 8 กล่องซึ่งเป็น (

) แล้วก็แก้หาค่า k ในสมการ

=

+ .... (ระยะเลื่อนแกน)
สังเกตว่าตอนบวกระยะเลื่อนแกนพจน์ที่เป็น AB และ CB จะตัดกันหายหมดและ จะได้เป็น

กับ

ซึ่งจะตัดกับด้านล่างของแต่ละตัวได้ ผลสุดท้ายที่ออกมาก็เลยได้ k ออกมาเป็น

ได้ว่า I=

ตามที่โจทย์ต้องการ

ผิดถูกอย่างไรชี้แนะด้วยคับ ใครมีวิธีอื่นๆช่วยโพสด้วยนะคับ
ขอบคุณสำหรับวิธีของ amber คับ
