ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

pataty

neutrino

Offline

Posts: 66

« Reply #75 on: October 18, 2009, 06:39:54 PM »

เริ่มงงแล้วคับไอ้ที่ผมสมมติ Ax+By+Cz=0 A,BและC จะเป็นอะไรก็ได้ไม่ใช่หรอคับ การที่ได้คำตอบออกมาไม่ติด A,BและC ก็หมายความว่ามันใช้ได้ทุกค่าไม่ว่าจะเป็นA,BและC ใดๆไม่ใช่หรอคับ uglystupid2


	Logged

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6253

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #76 on: October 18, 2009, 07:05:02 PM »

Quote from: pataty on October 18, 2009, 06:39:54 PM

อ๋อ ให้ A, B, C เป็นค่่าใด ๆ แต่ว่าระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรงนี่มันเท่ากับระยะทางจากจุดไปยังระนาบไหมหนอ idiot2


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #77 on: October 18, 2009, 07:07:19 PM »

แนะนำว่าให้ใช้วิธีง่ายๆโดยให้หาโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นจานสี่เหลี่ยมจัตุรัสก่อน แล้วค่อย"แปลงร่าง"ไปเป็นลูกบาศก์ coolsmiley


	Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home

pataty

neutrino

Offline

Posts: 66

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #78 on: October 18, 2009, 07:14:34 PM »

ไม่ทราบแล้วคับแล้วมันควรจะเป็นยังไงคับ buck2


	Logged

WinGed_BeaN

neutrino

Offline

Posts: 46

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #79 on: October 18, 2009, 08:47:20 PM »

พี่เกรทครับ วอลเปเปอร์ห้องพี่นี้ SNSD ใช้ไหมครับ Grin


	Logged

S.S.

neutrino

Offline

Posts: 166

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #80 on: October 18, 2009, 09:38:14 PM »

จะเริ่มทำวิธีตรงนะครับ

โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราสามารถกำหนดให้ CM ของลูกบาศก์อยู่ที่จุดทำเนิด และเรียงตัวตามแนวแกนดังรูป
และให้ด้านที่แกนตัด 2 ด้านที่ตรงกันข้ามกันนั้นเป็น ด้านที่ขนานกับระนาบ xy
ดังนั้นแกนจะตัดผิวลูกบาศก์ที่ $z=\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}$
กำหนดให้จุดที่แกนตัดผ่านคือ $(\dfrac{a\alpha}{2},\dfrac{a\beta}{2},\dfrac{a}{2})$ และ $(-\dfrac{a\alpha}{2},-\dfrac{a\beta}{2},-\dfrac{a}{2})$
ที่พิกัด $(x,y,z)$ ใดๆในลูกบาศก์ เราจะหาระยะห่างของพิกัดนั้นจากแกนหมุน
ให้จากเวกเตอร์ที่ชี้จาก CM ไปยังพิกัดนั้น เขียนแทนด้วย $\vec{A}=[x,y,z]$
และให้เวกเตอร์ตามแกนหมุนที่ชี้จาก CM ไปหน้าลูกบาศก์เขียนแทนด้วย $\vec{B}=[\dfrac{a\alpha}{2},\dfrac{a\beta}{2},\dfrac{a}{2}]$
พิจารณารูปที่แนบมา
เราสามารถหา $\cos \theta$ ได้จาก vector dot product
$\cos \theta =\dfrac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{|A||B|}$
$|A|=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$
$|B|=\dfrac{a}{2}\sqrt{\alpha ^2 +\beta ^2 +1}$
$\vec{A}\cdot \vec{B}=\dfrac{a}{2}(x\alpha +y\beta +z)}$
นำไปแทนค่าจะได้
$\cos \theta =\dfrac{x\alpha +y\beta +z}{\sqrt{(x^2 +y^2 +z^2)(\alpha ^2 +\beta ^2 +1)}}$
$\cos ^2 \theta =\dfrac{(x\alpha +y\beta +z)^2}{(x^2 +y^2 +z^2)(\alpha ^2 +\beta ^2 +1)}$
$\therefore d^2=A^2 -A^2 \cos ^2 \theta =(x^2 +y^2 +z^2)-\dfrac{(x\alpha +y\beta +z)^2}{(\alpha ^2 +\beta ^2 +1)}$
เราสามารถหาโมเมนต์ความเฉื่อยได้จาก
$I=\iiint{\rho d^2 dxdydz}$ โดยที่ $\rho$ เป็นความหนาแน่นของลูกบาศก์
$\therefore I=\rho \iiint{(x^2 +y^2 +z^2)-\dfrac{(x\alpha +y\beta +z)^2}{\alpha ^2 +\beta ^2 +1} dxdydz}$
ซึ่ง $x^2 +y^2 +z^2$ และความหนาแน่นของลูกบาศก์ไม่ขึ้นกับ $\alpha ,\beta$ ที่เลือกไว้ในตอนแรก
พิจารณาก้อนหลัง เราทำการอินทิเกรตทีละตัวแปรโดยใช้ลิมิตจาก $-\dfrac{a}{2}$ ถึง $\dfrac{a}{2}$
$; \displaystyle \int{(x\alpha +y\beta +z)^2}dx=\dfrac{\alpha ^2 a^3}{12}+a(y\beta+z)^2$
$; \displaystyle \int{(\dfrac{\alpha ^2 a^3}{12}+a(y\beta+z)^2})dy=\dfrac{a^4}{12}(\alpha ^2 +\beta ^2)+a^2 z^2$
$; \displaystyle \int{(\dfrac{a^4}{12}(\alpha ^2 +\beta ^2)+a^2 z^2})dz=\dfrac{a^5}{12}(\alpha ^2 +\beta ^2 +1)$
$\therefore \iiint{\dfrac{(x\alpha +y\beta +z)^2}{\alpha ^2 +\beta ^2 +1} dxdydz}=\dfrac{a^5}{12}$
ซึ่งไม่ขึ้นกับ $\alpha ,\beta$ ที่เลือกไว้ในตอนแรก
ดังนั้น ไม่ว่าจะเลือกแกนใดที่ผ่านจุด CM ลูกบาศก์ก็จะมีโมเมนต์ความเฉื่อยสม่ำเสมอ

ช่วยๆกันตรวจสอบที่ผิดกันด้วยนะครับ ขอบคุณครับ

ใครมีวิธีดีกว่านี้ก็มาลงกันด้วยนะครับ icon adore


« Last Edit: October 18, 2009, 09:45:02 PM by Amber »	Logged

pataty

neutrino

Offline

Posts: 66

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #81 on: October 18, 2009, 11:02:59 PM »

Quote from: pataty on October 18, 2009, 03:48:01 PM

วันนี้มีโจทย์ข้อใหม่คับพี่ตั้ว ถามว่าให้พิสูจน์ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุด cm ของลูกบากศ์ไม่ว่าจะหมุนรอบแกนไหนจะเป็น $\frac{1}{6}ma^{2}$ เมื่อลูกบากศ์มีความยาวด้านละ a คับ
ผมว่าคงมีทำได้หลายวิธีผมขอลองแสดงสักวิธีนะครับ Wink

ก่อนอื่นวิธีที่จะใช้เรียกว่า scailing mathod คับ
สมมติให้โมเมนต์ความเฉื่อยที่ผ่าน cm รอบแกนใดๆ เป็น $I=kma^{2}$ คับหลังจากนั้นเราก็ตั้งระบบอ้างอิง x y z โดยมีจุดกำเนิดที่ cm พอดีคับ
สมมติแกนที่เราจะหมุนรอบมีสมการเส้นตรงเป็น $Ax+By+Cz =0$ เนื่องจากว่ามันต้องผ่านจุด (0,0,0) ~~คับ~~
เราจะได้ระยะตั้งฉากไปที่เส้นตรงนี้เป็น $r=\dfrac{|Ax+By+Cz|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ โดยที่ (x,y,z) เป็นจุดใดๆ บนกราฟ
แต่รูปที่เราได้นี้ที่จุด cm ของกล่องเล็กที่เราจะเลื่อนแกนแปดกล่องนี้มีพิกัดเป็น ( $\pm \frac{a}{2\sqrt{2}},\pm\frac{a}{2\sqrt{2}},\pm \frac{a}{2\sqrt{2}}$ )
จะได้ระยะห่างเป็น $r= \dfrac{\left| \pm\frac{a}{2\sqrt{2}}A \pm\frac{a}{2\sqrt{2}}B\pm\frac{a}{2\sqrt{2}}C\right| }{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ ตั้งสมการเลื่อนแกนครับ
$kma^{2}$ =[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 6 ]
แล้วก็แก้หาค่า k ออกมาคับ เมื่อกระจายแล้วมันจะหักล้างกันได้คับเหลือข้างบนเป็น $(A^2+B^2+C^2)$ แล้วก็ไปตัดกับข้างล่างคับก็จะไม่เหลือ A,B,Cที่สมมติขึ้นมาจากแกนหมุน แล้วก็ได้ k ออกมาเป็น $\frac{1}{6}$ คับก็เลยได้ว่

ผมเข้าใจแล้วคับ ข้อแก้วิธีนี้ใหม่แล้วกันคับ buck2

การที่เราจะได้เส้นตรงตามเงื่อนไขที่ผ่านจุด cm นั้นจะต้องมี 2 สมการคับผมสมมติให้เป็น Ax+By=0 และ Cy+Dz=0
จากนั้นเราจะได้ระยะห่างกำลังสองจากจุด (x,y,z) ใดๆไปยังเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบทั้งสองเป็น $(\dfrac{|Ax+By|}{\sqrt{A^2+B^2}})^{2}$ + $(\dfrac{|Cy+Dz|}{\sqrt{C^2+D^2}})^{2}$ ,เนื่องจากระนาบที่สมมติขึ้นนี้เป็นระนาบบนx,y และ y,z คับ
หลังจากนั้นก็แทนพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของกล่อง 8 กล่องซึ่งเป็น ( $\pm \frac{a}{2\sqrt{2}},\pm\frac{a}{2\sqrt{2}},\pm \frac{a}{2\sqrt{2}}$ ) แล้วก็แก้หาค่า k ในสมการ $kma^{2}$ = $8k(\frac{m}{8})(\frac{a}{2})^{2}$ + .... (ระยะเลื่อนแกน)
สังเกตว่าตอนบวกระยะเลื่อนแกนพจน์ที่เป็น AB และ CB จะตัดกันหายหมดและ จะได้เป็น $A^{2}+B^{2}$ กับ $C^{2}+D^{2}$ ซึ่งจะตัดกับด้านล่างของแต่ละตัวได้ ผลสุดท้ายที่ออกมาก็เลยได้ k ออกมาเป็น $\frac{1}{6}$ ได้ว่า I= $\frac{1}{6}ma^{2}$ ตามที่โจทย์ต้องการ coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรชี้แนะด้วยคับ ใครมีวิธีอื่นๆช่วยโพสด้วยนะคับ

ขอบคุณสำหรับวิธีของ amber คับ great


« Last Edit: February 20, 2011, 03:20:36 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Mwit_Psychoror

SuperHelper

Offline

Posts: 781

Reality is the average of all illusion

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #82 on: October 19, 2009, 02:29:27 AM »

Quote from: pataty on October 18, 2009, 11:02:59 PM

ผมเข้าใจแล้วคับ ข้อแก้วิธีนี้ใหม่แล้วกันคับ buck2

การที่เราจะได้เส้นตรงตามเงื่อนไขที่ผ่านจุด cm นั้นจะต้องมี 2 สมการคับผมสมมติให้เป็น Ax+By=0 และ Cy+Dz=0
จากนั้นเราจะได้ระยะห่างกำลังสองจากจุด (x,y,z) ใดๆไปยังเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบทั้งสองเป็น $(\dfrac{|Ax+By|}{\sqrt{A^2+B^2}})^{2}$ + $(\dfrac{|Cy+Dz|}{\sqrt{C^2+D^2}})^{2}$ ,เนื่องจากระนาบที่สมมติขึ้นนี้เป็นระนาบบนx,y และ y,z คับ
หลังจากนั้นก็แทนพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของกล่อง 8 กล่องซึ่งเป็น( $\pm \frac{a}{2\sqrt{2}},\pm\frac{a}{2\sqrt{2}},\pm \frac{a}{2\sqrt{2}}$ ) แล้วก็แก้หาค่า k ในสมการ $kma^{2}$ = $8k(\frac{m}{8})(\frac{a}{2})^{2}$ + .... (ระยะเลื่อนแกน)
สังเกตว่าตอนบวกระยะเลื่อนแกนพจน์ที่เป็น AB และ CB จะตัดกันหายหมดและ จะได้เป็น $A^{2}+B^{2}$ กับ $C^{2}+D^{2}$ ซึ่งจะตัดกับด้านล่างของแต่ละตัวได้ ผลสุดท้ายที่ออกมาก็เลยได้ k ออกมาเป็น $\frac{1}{6}$ ได้ว่า I= $\frac{1}{6}ma^{2}$ ตามที่โจทย์ต้องการ coolsmiley

ผิดถูกอย่างไรชี้แนะด้วยคับ ใครมีวิธีอื่นๆช่วยโพสด้วยนะคับ

ขอบคุณสำหรับวิธีของ amber คับ great

เอ่อ คือว่าช่วยอธิบายให้ละเอียดกว่านี้ได้ไหม ว่าทำไมระยะทางกำลังสองถึงต้องเป็นแบบนั้น??


	Logged

Mwit_Psychoror

SuperHelper

Offline

Posts: 781

Reality is the average of all illusion

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #83 on: October 19, 2009, 02:49:18 AM »

วิธีืทำของผมครับ ขี้เกียจพิมพ์ $\LaTeX$ (อาจารย์ครับ ผมขอไม่ใช้ $\LaTeX$ สักครั้งนะครับ Grin

)

เรารู้ว่า $\displaystyle \int x^2+y^2 dm = \int y^2+z^2 dm = \int x^2+z^2 dm = \dfrac{1}{6}ma^2$ (พิสูจน์ได้อย่างง่ายๆ)

และ $\displaystyle \int xy dm = \int yz dm = \int zx dm = 0$ เพราะว่าจากความสมมาตร ค่า $xy$ ในแต่ละจตุภาคจะตัดกันพอดี

ดังนั้น ....... (ถ้าไฟล์ไม่ชัดกด Download แล้วไปขยายนะครับ)


« Last Edit: October 19, 2009, 02:51:54 AM by Mwit_Psychoror »	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #84 on: October 19, 2009, 03:43:50 AM »

Quote from: WinGed_BeaN on October 18, 2009, 08:47:20 PM

พี่เกรทครับ วอลเปเปอร์ห้องพี่นี้ SNSD ใช้ไหมครับ Grin

แน่นอน สั่งตรงจากเกาหลีเลย Azn

ปล. ผมอ่านโจทย์ไม่ดีเอง เลยให้คำแนะนำที่ไม่ค่อยดีไป buck2


	Logged

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6253

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #85 on: October 19, 2009, 07:19:45 AM »

Quote from: Amber on October 18, 2009, 09:38:14 PM

...
ใครมีวิธีดีกว่านี้ก็มาลงกันด้วยนะครับ icon adore

ไปดูที่ http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,511.0.html


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6253

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #86 on: October 19, 2009, 07:22:56 AM »

Quote from: Mwit_Psychoror on October 18, 2009, 05:25:17 PM

ข้อสี่เหลี่ยมของพัดพี่ว่าเป็นแค่กรณีที่มันผ่านเส้นทแยงมุมรึเปล่า? คือพี่ว่ามันน่าจะเป็นรอบแกนใดๆที่ผ่าน cm นะ

ถ้าเป็นวิธีที่อยู่ในหลักสูตร (ไม่ต้องใช้ความรู้สูงเท่าไหร่ แต่ถึก) ก็คิดออกวิธีหนึ่งครับ แต่ว่าต้องใช้เวกเตอร์โหดนิดหน่อยครับ

วิธีนอกหลักสูตรก็มีครับ ทำ 2 บรรทัดจบ 2funny

ขอวิธีสองบรรทัดจบหน่อย Grin


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Mwit_Psychoror

SuperHelper

Offline

Posts: 781

Reality is the average of all illusion

Re: ฟิสิกส์โอลิมปิก ค่ายหนึ่ง 2552-53

« Reply #87 on: October 19, 2009, 02:42:56 PM »

เขียน Inertia tensor ออกมาก็จบแล้วครับ Grin

(ต้องรู้ก่อนนะครับว่า $\displaystyle \int x^2+y^2 dm =\dfrac{1}{6}ma^2$ )

(คือถ้ารวมพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x แล้วด้วยก็เกิน 2 บรรทัดแหละครับ ขอโทษครับที่พูดให้มันดูน่ากลัว icon adore