สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

KJ KuB

neutrino

Offline

Posts: 55

« on: August 12, 2009, 09:09:09 AM »

เมื่อเจอปัญหาประเภทนี้ ผมมักจะทำไปตามที่เคยรู้มาคือ คิดทอร์กรอบจุดศูนย์กลางมวลเป็นประจำ เพราะถ้าคิดที่จุดอื่นจะพบว่ามันไม่ถูก bang head

ทั้งๆที่มันก็ไม่หมุนเหมือนกัน เลยอยากทราบมากครับ ว่ามันเป็นเพราะอะไร เราทำอะไรผิดพลาดไป
เช่นในกรณีอย่างง่ายต่อไปนี้ สมมติวัตถุมวล m รูปร่างสี่เหลี่ยมกำลังตกลงมาด้วยความเร่ง g
ถ้ามองจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยแล้วใช้กฎของนิวตันบรรยายการเคลื่อนที่มันก็ไม่มีปัญหาอะไรครับ แต่เมื่อผมมองทอร์กที่กระทำต่อจุดต่างๆของวัตถุ ก็พบว่าที่จุด cm. ผลของน้ำหนักวัตถุไม่ทำให้เกิดทอร์ก นั่นก็คือ $\sum \tau=0$ แต่เมื่อมองที่จุดอื่นๆเช่นจุดที่มุมของสี่เหลี่ยม ก็จะพบแรง mg ที่จุด cm.ทำให้เกิดทอร์กรอบจุดนั้น แปลว่า $\sum \tau \neq 0$ ทั้งๆที่มันก็ไม่ได้หมุนเลย
กรณีนี้มันทำให้ผมคิดว่า
1.การมองทอร์กรอบจุดไหนมันเหมือนกับเราใช้จุดนั้นเป็นกรอบอ้างอิง แล้วมองแรงต่างๆ รึเปล่าคับ เพราะถ้าใช่ผมจะได้ว่า
2.จุดที่มุมนั้นมีความเร่ง g ลงมา นั่นคือ จุดนี้ไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย ดังนั้นจะมีแรงเทียมเกิดขึ้นในการสังเกตของกรอบไม่เฉื่อยนี้
และผลที่ได้คือ กรอบนี้จะเห็นแรงเทียมขนาด mg กระทำกับกับจุด cm. ในทิศขึ้น ซึ่งถ้าทำตามนี้ผมก็จะได้ผลที่สอดคล้องกับสมมติฐาน คือ จุดนี้ไม่เห็นว่าจุด cm. มีความเร่งเพราะ มันร่วงลงไปด้วยกัน และอีกประการคือ เมื่อคิดทอร์กรอบจุดนี้จะได้เท่ากับ 0 ตามที่คาดเอาไว้

ด้วยเหตุนี้ผมจึงอยากรู้มากครับว่า ความคิดของผมนั้นมันถูก หรือผิดประการใดครับ icon adore

และอีกเรื่องคือ ผมสงสัยว่าแล้วทำไม การมองจากกรอบอ้างอิงเฉื่อย จึงไม่สามารถบอก $\sum \tau$ ที่จุดอื่นๆให้เราได้ล่ะครับ หรือมันมีอะไรลึกซึ้งมากกว่าที่ผมเข้าใจ กับกรณีที่วัตถุมีความเร่ง แต่สมดุลต่อการหมุน reading

มวลตก.jpg (8.66 KB, 244x282 - viewed 1293 times.)
	Logged

pataty

neutrino

Offline

Posts: 66

Re: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

« Reply #1 on: August 12, 2009, 10:26:18 AM »

ผมขอลองอธิบายดูนะคับ ผิดถูกไงผู้รู้ช่วยบอกอีกทีด้วยนะคับ Grin

ก่อนอื่นขออ้างอิงรูปข้างล่างก่อนนะครับ

มีระบบมวลกระจายดังรูปโดยกำหนด o เป็นจุดมวลจุดหนึ่ง และมีจุดมวล i ตัวอื่นๆอยู่รอบๆ

กำหนด $\vec{r_{o}},\vec{r_{i}},\vec{v_{o}},\vec{v_{i}}$ โดยที่ $\vec{v}$ เป็นความเร็ว และ $\vec{r}$ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่ง

จะได้ $\vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})}$ .......... (1)

   $\vec{\tau_{o} } = \displaystyle \sum{(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \vec{F_{ext}}}$

   $\vec{\tau_{o} } = \displaystyle \sum{(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times m_{i}\vec{a_{i}}}$

   $\vec{\tau_{o} } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times\vec{a_{i}}]}$ ........................... (2)

จาก (1) , $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d}{dt}(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})+(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})\times \frac{d}{dt }(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})]}$

   $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times (\vec{a_{i}}-\vec{a_{o}})+(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})\times (\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})]}$

   $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times (\vec{a_{i}}-\vec{a_{o}})]}$ , $(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})\times (\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}}) = 0$

   $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \vec{a_{i}}-(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \vec{a_{o}}]}$

แทน (2) , $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}}-M(\vec{R_{cm}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d^{2}\vec{r_{o}}}{dt^{2} }$

ผลนี้บ่งว่าเราจะใช้ $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}}$ ซึ่งจะเป็น $\vec{\tau _{o}}= 0$ หรือ $\vec{\tau _{o}}= I_{o}\alpha$

ก็ต่อเมื่อจุด o เป็น cm หรือเป็นจุดที่ $\frac{d^{2}\vec{r_{o}}}{dt^{2} }$ เป็นศูนย์ ก็คือความเร่งของจุด o เทียบกรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็น 0 เท่านั้น

ผิดถูกไงช่วยชี้แนะด้วยคับ Wink

p.JPG (12.69 KB, 452x362 - viewed 1387 times.)
« Last Edit: March 23, 2010, 07:16:25 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

KJ KuB

neutrino

Offline

Posts: 55

Re: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

« Reply #2 on: August 12, 2009, 01:54:20 PM »

ขอบคุณสำหรับวิธีพิสูจน์อันสวยงามนะครับ smitten

ผมเคยได้ยินมาว่า เหตุผลเพราะ มันเกิดจากการกระจายของมวล เพิ่งได้เห็นสมการจริงๆก็คราวนี้ reading

Quote from: pataty on August 12, 2009, 10:26:18 AM

แทน (2) , $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}}-M(\vec{R_{cm}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} }$

ผลนี้บ่งว่าเราจะใช้ $\frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}}$ ซึ่งจะเป็น $\vec{\tau _{o}}= 0$ หรือ $\vec{\tau _{o}}= I_{o}\alpha$

ก็ต่อเมื่อจุด o เป็น cm หรือเป็นจุดที่ $\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} }$ เป็นศูนย์ ก็คือความเร่งเทียบ cm เป็น 0 เท่านั้น;)

แต่ผมยังสงสัยว่าพจน์ $\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} }$ นี่คือความเร่งของจุด 0 หรือเปล่าครับ เพราะดูจากสมการแล้วผมรู้สึกว่าที่จุด cm คือจุดที่ $\vec{r_{0}}=R_{cm}$ จึงทำให้ $M(\vec{R_{cm}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} }=\vec{0}$

ปล.1 ขอบคุณมากนะครับ แต่ถ้าผมใช้วิธีนี้อธิบายรุ่นน้อง(ซึ่งยังไม่เคยรู้จักแคลคูลัสเลย) คงจะไม่เวิร์คเท่าไรนัก Huh

ผมอยากได้คำอธิบายที่สามารถทำให้เข้าใจได้ง่ายกว่านี้น่ะครับ อยากให้ผู้รู้ช่วยตรวจสอบวิธีคิดแบบที่ผมโพสต์ไปก่อนหน้านี้แล้วนะครับ ว่ามันผิดหลักการทางฟิสิกส์หรือไม่ เพราะผมตั้งใจว่าจะอธิบายรุ่นน้องไปแบบนั้น
ปล.2 ถ้านี่คือวิธีเดียวที่จะอธิบายได้ ผมก็คงต้องบอกรุ่นน้องไปว่า "ยังไม่ถึงเวลาของเจ้า" แล้วล่ะครับ 2funny


« Last Edit: March 23, 2010, 07:17:13 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

pataty

neutrino

Offline

Posts: 66

Re: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

« Reply #3 on: August 12, 2009, 02:52:29 PM »

พจน์ $\frac{d^{2}}{dt^{2} }\vec{r_{o}}$ มันเป็นความเร่งของจุด o ครับ ผมพิมพ์ผิดไป แก้ให้แล้วคับ Grin

ส่วนวิธีอธิบายอีกอย่างคือใช้ ทอร์กจากแรงเทียมครับก็จะได้ว่า

   $\frac{d}{dt }L_{o} = \tau _{o}-(\vec{R}_{cm}-\vec{r}_{o}}})\times [M\vec{a_{o}}]$

   $\frac{d}{dt }L_{o} = \tau _{o}-(\vec{R}_{cm}-\vec{r_{o}}})\times [M\frac{d^{2}}{dt^{2} }\vec{r_{o}}]$ เมื่อ $M\frac{d^{2}}{dt^{2} }\vec{r_{o}}$ เป็นแรงเทียม smitten

ที่ทำอย่างนี้เพราะเราเทียบกับกรอบที่มีความเร่งคับจึงต้องมีทอร์กจากแรงเทียมเข้ามาเกียวดัวย

ส่วน $\frac{d}{dt }L_{o} = \tau _{o}$ นั้นใช่ได้เมื่อ เราเทียบกับจุด o ที่ไม่มีความเร่ง นั้นก็คือกรอบเฉื่อย หรือที่ cm เพราะทำให้ทอร์กจากแรงเทียมเป็นศูนย์คับ

สรุปก็คืออีกวิธีืที่จะอธิบายได้คือการใช้แรงเทียมครับ

จากรูปสมมติเป็นแผ่นวงกลมมวลสม่ำเสมอและเคลื่อนลงด้วย a (ไม่หมุน) จะได้ว่า $\vec{a} = \vec{a_{o}}$ ลองดูรูปประกอบสมการดูคับ Wink

666.JPG (14.64 KB, 452x362 - viewed 1393 times.)
« Last Edit: March 23, 2010, 07:17:41 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

KJ KuB

neutrino

Offline

Posts: 55

Re: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

« Reply #4 on: August 12, 2009, 04:13:48 PM »

เข้าใจแล้วครับ great

ขอบคุณมากๆเลย smitten


	Logged

Mwit_Psychoror

SuperHelper

Offline

Posts: 781

Reality is the average of all illusion

Re: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

« Reply #5 on: August 22, 2009, 12:28:44 AM »

เยี่ยมมากน้องลูกไก่ในกำมือ 2funny


	Logged

Well

neutrino

Offline

Posts: 15

Re: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

« Reply #6 on: November 03, 2009, 09:14:31 PM »

ทำไม $\vec{\tau_{o}} = I_{o}\vec{\alpha}$ ละครับ
ในเมื่อ

$\vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})}$

$\vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}[\vec{r_{i}}\times \vec{v_{i}}+\vec{r_{o}}\times \vec{v_{o}}-\vec{r_{o}}\times \vec{v_{i}}-\vec{r_{i}}\times \vec{v_{o}}]$
กระจายพจน์ออกมาโดยใช้ $\vec{v} = \dot{r} \hat r + r \dot{\theta } \hat u_{\theta }$
จะได้
$\vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}}r^2_{i} \dot{\theta _{i}}\hat u_{n}+Mr^2_{o}\dot{\theta _{o}}\hat u_{n}-\vec{r_{o}}\times M\vec{V_{cm}}-\vec{R_{cm}}\times \dot{\vec{r_{o}}}$

ซึ่งเมื่อdiffเทียบเวลาแล้วไม่ได้ $I\alpha$
ช่วยอธิบายทีครับ


« Last Edit: November 03, 2009, 11:46:57 PM by Well »	Logged

Well

neutrino

Offline

Posts: 15

Re: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง

« Reply #7 on: November 03, 2009, 11:50:21 PM »

ผมเบลอเอง ลืมคิดว่ามวลoมีความเร่ง bang head


	Logged

Pages: 1 Go Up

« previous next »

คุณสมบัติของเด็กดี