ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41617 Posts in 6282 Topics- by 9888 Members - Latest Member: Cheer
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: สมดุลต่อการหมุนของวัตถุที่มีความเร่ง  (Read 9620 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
KJ KuB
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 55
« on: August 12, 2009, 09:09:09 AM »
      เมื่อเจอปัญหาประเภทนี้ ผมมักจะทำไปตามที่เคยรู้มาคือ คิดทอร์กรอบจุดศูนย์กลางมวลเป็นประจำ เพราะถ้าคิดที่จุดอื่นจะพบว่ามันไม่ถูก  bang head ทั้งๆที่มันก็ไม่หมุนเหมือนกัน  เลยอยากทราบมากครับ  ว่ามันเป็นเพราะอะไร  เราทำอะไรผิดพลาดไป   
    เช่นในกรณีอย่างง่ายต่อไปนี้   สมมติวัตถุมวล m รูปร่างสี่เหลี่ยมกำลังตกลงมาด้วยความเร่ง g
    ถ้ามองจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยแล้วใช้กฎของนิวตันบรรยายการเคลื่อนที่มันก็ไม่มีปัญหาอะไรครับ  แต่เมื่อผมมองทอร์กที่กระทำต่อจุดต่างๆของวัตถุ  ก็พบว่าที่จุด cm. ผลของน้ำหนักวัตถุไม่ทำให้เกิดทอร์ก นั่นก็คือ \sum \tau=0   แต่เมื่อมองที่จุดอื่นๆเช่นจุดที่มุมของสี่เหลี่ยม ก็จะพบแรง mg ที่จุด cm.ทำให้เกิดทอร์กรอบจุดนั้น แปลว่า \sum \tau \neq 0 ทั้งๆที่มันก็ไม่ได้หมุนเลย
   กรณีนี้มันทำให้ผมคิดว่า
1.การมองทอร์กรอบจุดไหนมันเหมือนกับเราใช้จุดนั้นเป็นกรอบอ้างอิง แล้วมองแรงต่างๆ รึเปล่าคับ  เพราะถ้าใช่ผมจะได้ว่า
2.จุดที่มุมนั้นมีความเร่ง g ลงมา นั่นคือ จุดนี้ไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย ดังนั้นจะมีแรงเทียมเกิดขึ้นในการสังเกตของกรอบไม่เฉื่อยนี้
และผลที่ได้คือ กรอบนี้จะเห็นแรงเทียมขนาด mg กระทำกับกับจุด cm. ในทิศขึ้น  ซึ่งถ้าทำตามนี้ผมก็จะได้ผลที่สอดคล้องกับสมมติฐาน คือ  จุดนี้ไม่เห็นว่าจุด cm. มีความเร่งเพราะ มันร่วงลงไปด้วยกัน  และอีกประการคือ เมื่อคิดทอร์กรอบจุดนี้จะได้เท่ากับ 0 ตามที่คาดเอาไว้

    ด้วยเหตุนี้ผมจึงอยากรู้มากครับว่า ความคิดของผมนั้นมันถูก หรือผิดประการใดครับ  icon adore
และอีกเรื่องคือ  ผมสงสัยว่าแล้วทำไม  การมองจากกรอบอ้างอิงเฉื่อย  จึงไม่สามารถบอก \sum \tau ที่จุดอื่นๆให้เราได้ล่ะครับ   หรือมันมีอะไรลึกซึ้งมากกว่าที่ผมเข้าใจ   กับกรณีที่วัตถุมีความเร่ง แต่สมดุลต่อการหมุน   reading
Logged
pataty
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 66
« Reply #1 on: August 12, 2009, 10:26:18 AM »
ผมขอลองอธิบายดูนะคับ ผิดถูกไงผู้รู้ช่วยบอกอีกทีด้วยนะคับ Grin

ก่อนอื่นขออ้างอิงรูปข้างล่างก่อนนะครับ

มีระบบมวลกระจายดังรูปโดยกำหนด o เป็นจุดมวลจุดหนึ่ง และมีจุดมวล i ตัวอื่นๆอยู่รอบๆ

กำหนด \vec{r_{o}},\vec{r_{i}},\vec{v_{o}},\vec{v_{i}} โดยที่ \vec{v} เป็นความเร็ว และ \vec{r} เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่ง

จะได้  \vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})}  .......... (1)

         \vec{\tau_{o} } = \displaystyle \sum{(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \vec{F_{ext}}}

         \vec{\tau_{o} } = \displaystyle \sum{(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times m_{i}\vec{a_{i}}}

         \vec{\tau_{o} } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times\vec{a_{i}}]} ........................... (2)

จาก (1) , \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d}{dt}(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})+(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})\times \frac{d}{dt }(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})]}

               \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times (\vec{a_{i}}-\vec{a_{o}})+(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})\times (\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})]}

               \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times (\vec{a_{i}}-\vec{a_{o}})]}    , (\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})\times (\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}}) = 0

               \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \displaystyle \sum{m_{i}[(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \vec{a_{i}}-(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times \vec{a_{o}}]}

แทน (2) ,  \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}}-M(\vec{R_{cm}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d^{2}\vec{r_{o}}}{dt^{2} }

ผลนี้บ่งว่าเราจะใช้  \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}} ซึ่งจะเป็น \vec{\tau _{o}}= 0 หรือ \vec{\tau _{o}}= I_{o}\alpha

ก็ต่อเมื่อจุด o เป็น cm หรือเป็นจุดที่ \frac{d^{2}\vec{r_{o}}}{dt^{2} } เป็นศูนย์ ก็คือความเร่งของจุด o เทียบกรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็น 0 เท่านั้น

ผิดถูกไงช่วยชี้แนะด้วยคับ  Wink






              
« Last Edit: March 23, 2010, 07:16:25 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
KJ KuB
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 55
« Reply #2 on: August 12, 2009, 01:54:20 PM »
ขอบคุณสำหรับวิธีพิสูจน์อันสวยงามนะครับ  smitten
ผมเคยได้ยินมาว่า เหตุผลเพราะ มันเกิดจากการกระจายของมวล  เพิ่งได้เห็นสมการจริงๆก็คราวนี้  reading

Quote from: pataty on August 12, 2009, 10:26:18 AM

แทน (2) ,  \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}}-M(\vec{R_{cm}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} }

ผลนี้บ่งว่าเราจะใช้  \frac{d\vec{L_{o}}}{dt } = \vec{\tau _{o}} ซึ่งจะเป็น \vec{\tau _{o}}= 0 หรือ \vec{\tau _{o}}= I_{o}\alpha

ก็ต่อเมื่อจุด o เป็น cm หรือเป็นจุดที่ \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} } เป็นศูนย์ ก็คือความเร่งเทียบ cm เป็น 0 เท่านั้น;)
              
 

 แต่ผมยังสงสัยว่าพจน์ \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} } นี่คือความเร่งของจุด 0  หรือเปล่าครับ  เพราะดูจากสมการแล้วผมรู้สึกว่าที่จุด cm คือจุดที่ \vec{r_{0}}=R_{cm} จึงทำให้ M(\vec{R_{cm}}-\vec{r_{o}})\times \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2} }=\vec{0}

ปล.1 ขอบคุณมากนะครับ   แต่ถ้าผมใช้วิธีนี้อธิบายรุ่นน้อง(ซึ่งยังไม่เคยรู้จักแคลคูลัสเลย) คงจะไม่เวิร์คเท่าไรนัก  Huh
ผมอยากได้คำอธิบายที่สามารถทำให้เข้าใจได้ง่ายกว่านี้น่ะครับ  อยากให้ผู้รู้ช่วยตรวจสอบวิธีคิดแบบที่ผมโพสต์ไปก่อนหน้านี้แล้วนะครับ  ว่ามันผิดหลักการทางฟิสิกส์หรือไม่  เพราะผมตั้งใจว่าจะอธิบายรุ่นน้องไปแบบนั้น  
ปล.2 ถ้านี่คือวิธีเดียวที่จะอธิบายได้ ผมก็คงต้องบอกรุ่นน้องไปว่า  "ยังไม่ถึงเวลาของเจ้า" แล้วล่ะครับ  2funny
« Last Edit: March 23, 2010, 07:17:13 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
pataty
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 66
« Reply #3 on: August 12, 2009, 02:52:29 PM »
พจน์ \frac{d^{2}}{dt^{2} }\vec{r_{o}} มันเป็นความเร่งของจุด o ครับ ผมพิมพ์ผิดไป แก้ให้แล้วคับ Grin

ส่วนวิธีอธิบายอีกอย่างคือใช้ ทอร์กจากแรงเทียมครับก็จะได้ว่า

      \frac{d}{dt }L_{o} = \tau _{o}-(\vec{R}_{cm}-\vec{r}_{o}}})\times [M\vec{a_{o}}]  
                                                
       \frac{d}{dt }L_{o} = \tau _{o}-(\vec{R}_{cm}-\vec{r_{o}}})\times [M\frac{d^{2}}{dt^{2} }\vec{r_{o}}]         เมื่อ M\frac{d^{2}}{dt^{2} }\vec{r_{o}} เป็นแรงเทียม smitten

ที่ทำอย่างนี้เพราะเราเทียบกับกรอบที่มีความเร่งคับจึงต้องมีทอร์กจากแรงเทียมเข้ามาเกียวดัวย

ส่วน  \frac{d}{dt }L_{o} = \tau _{o} นั้นใช่ได้เมื่อ เราเทียบกับจุด o ที่ไม่มีความเร่ง นั้นก็คือกรอบเฉื่อย หรือที่ cm เพราะทำให้ทอร์กจากแรงเทียมเป็นศูนย์คับ

สรุปก็คืออีกวิธีืที่จะอธิบายได้คือการใช้แรงเทียมครับ Smiley

จากรูปสมมติเป็นแผ่นวงกลมมวลสม่ำเสมอและเคลื่อนลงด้วย a (ไม่หมุน) จะได้ว่า \vec{a} = \vec{a_{o}} ลองดูรูปประกอบสมการดูคับ  Wink
« Last Edit: March 23, 2010, 07:17:41 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
KJ KuB
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 55
« Reply #4 on: August 12, 2009, 04:13:48 PM »
เข้าใจแล้วครับ    great   ขอบคุณมากๆเลย    smitten
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 780


Reality is the average of all illusion
« Reply #5 on: August 22, 2009, 12:28:44 AM »
เยี่ยมมากน้องลูกไก่ในกำมือ  2funny
Logged
Well
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15
« Reply #6 on: November 03, 2009, 09:14:31 PM »
ทำไม \vec{\tau_{o}} = I_{o}\vec{\alpha} ละครับ 
ในเมื่อ 

     \vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}(\vec{r_{i}}-\vec{r_{o}})\times(\vec{v_{i}}-\vec{v_{o}})}

     \vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}[\vec{r_{i}}\times \vec{v_{i}}+\vec{r_{o}}\times \vec{v_{o}}-\vec{r_{o}}\times \vec{v_{i}}-\vec{r_{i}}\times \vec{v_{o}}]
กระจายพจน์ออกมาโดยใช้ \vec{v} = \dot{r} \hat r + r \dot{\theta } \hat u_{\theta }
จะได้
     \vec{L_{o}} = \displaystyle \sum{m_{i}}r^2_{i} \dot{\theta _{i}}\hat u_{n}+Mr^2_{o}\dot{\theta _{o}}\hat u_{n}-\vec{r_{o}}\times M\vec{V_{cm}}-\vec{R_{cm}}\times \dot{\vec{r_{o}}}     

ซึ่งเมื่อdiffเทียบเวลาแล้วไม่ได้I\alpha
ช่วยอธิบายทีครับ
« Last Edit: November 03, 2009, 11:46:57 PM by Well » Logged
Well
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15
« Reply #7 on: November 03, 2009, 11:50:21 PM »
ผมเบลอเอง ลืมคิดว่ามวลoมีความเร่ง bang head
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: