ถามโจทย์ projectile จากในหนังสือ young ครับ

มีโจทย์ข้อหนึ่งที่ผมทำแล้วไม่ได้คำตอบตรงกับเฉลยครับ และผมก็หาไม่เจอด้วยว่าทำผิดตรงไหน รบกวนช่วยดูให้ด้วยนะครับ

โจทย์มีอยู่ว่า

ยิงอนุภาคเป็นโปรเจกไทล์จากจุด P โดยมีเงื่อนไขว่า ระยะทางระหว่างอนุภาคนี้ กับจุด P ต้องเพิ่มขึ้นเสมอ

จงหาขนาดของมุมที่ทำกับแนวระดับที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเมื่อยิ่งอนุภาคแล้วเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว

ทีนี้ลองดูวิธีทำของผมนะครับ

ให้ $X$ แทนการกระจัดในแนวราบ $Y$ แทนการกระจัดในแนวระดับ $D$ แทนระยะห่างของอนุภาคจากจุด $P$

อนุภาคนี้ถูกยิงด้วยความเร็วต้น $U$ ทำมุม $\theta$ กับแนวระดับ

จะได้ว่า

$X=Ut\cos \theta$

$Y=Ut\sin \theta -\frac{1}{2}gt^{2}$

จาก $D^{2}=X^{2}+Y^{2}$ ได้

$D^{2}=U^{2}t^{2}\cos^{2} \theta + U^{2}t^{2}\sin ^{2}\theta -Ugt^{3}\sin \theta +\frac{g^{2}t^{4}}{4}$

หา $\frac{dD^{2}}{dt } =2U^{2}t -3Ugt^{2}\sin \theta +g^{2}t^{3}$

เนื่องจาก $D^{2}$ ต้องเพื่มขึ้นเรื่อย

ดังนั้น $\frac{dD^{2}}{dt}$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

ได้

$2U^{2}t -3Ugt^{2}\sin \theta +g^{2}t^{3}\geqslant 0$

แต่ $t\geqslant 0$ เสมอ

ได้

$2U^{2} -3Ugt\sin \theta +g^{2}t^{2}\geqslant 0$ สำหรับทุก $t$

พิจารณาสมการ $y=ax^{2} +bx +c$ จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอเมื่อ $b^{2} -4ac\leqslant 0$

ดังนั้น $2U^{2} -3Ugt\sin \theta +g^{2}t^{2}\geqslant 0$ เมื่อ

$9U^{2}g^{2}\sin^{2} \theta -8U^{2}g^{2}\leqslant 0$

ได้ $\sin^{2} \theta\leqslant \frac{8}{9}$

จึงได้ $\theta_{max}=\arcsin \sqrt{\frac{8}{9}}$

แต่เฉลยที่อยู่ในซีดีคือ $\theta_{max}=\arcsin \frac{8}{9}$

รบกวนท่านผู้รู้ช่วยเช็ควิธีทำให้ผมด้วยนะครับ ขอบคุณครับ