ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41578 Posts in 6276 Topics- by 9819 Members - Latest Member: ็HOIYA
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ  (Read 8675 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« on: March 04, 2009, 07:57:48 PM »
ขอความกรุณาช่วยแก้สมการ differential \frac{dy}{dx}+\frac{my}{x} = k โดยที่ k , m เป็นค่าคงที่ครับ
ถ้าแสดงวิธีทำด้วยจะเป็นพระคุณมากๆครับ ขอบคุณครับ
« Last Edit: March 04, 2009, 08:03:30 PM by Amber » Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #1 on: March 04, 2009, 09:21:46 PM »
ใช้ความรู้เรื่อง Integrating Factor ในการช่วยแก้สมการอนุพันธ์ครับ
เริ่มจากสมมติแฟกเตอร์การอินทิเกรตที่เป็นฟังก์ชันของx I(x) (เขียนย่อๆ I) แล้วคูณตลอดสมการจะได้ว่า
I \dfrac{dy}{dx} + mI \dfrac{y}{x} = kI
ทีนี้ จากการหาอนุพันธ์ผลคูณ เรารู้ว่า
\dfrac{d}{dx} Iy = I \dfrac{dy}{dx} + y\dfrac{dI}{dx}
ซึ่งเทียบกับสมการอนุพันธ์ข้างต้นเราจะได้ว่า
\dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x}
จัดการอินทิเกรตเทียบdxจะได้ว่า
\ln{I} = m \ln{x} + \mbox{const.} หรือ I = A x^m เมื่อ A คือค่าคงที่ที่ยังไม่กำหนดค่า
ดังนั้นสมการอนุพันธ์จะได้เป็น
\dfrac{d}{dx} \left( A x^m y \right) = k A x^m
ค่าคงที่ตัดทิ้งกันไป แล้วจัดการอินทิเกรตเทียบ dx อีกครั้ง
\int {d\left( {x^m y} \right)} = \int {kx^m dx}
x^m y = \dfrac{k}{m+1} x^{m+1} + C โดย C เป็นค่าคงที่ที่ยังไม่กำหนดค่าอีกค่าหนึ่ง
สรุปได้คำตอบคือ
y = \dfrac{k}{m+1} x + Cx^{-m} ครับ  Smiley
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #2 on: March 04, 2009, 10:08:52 PM »
ขอบคุณมากๆครับ
Quote from: Great on March 04, 2009, 09:21:46 PM
...
ซึ่งเทียบกับสมการอนุพันธ์ข้างต้นเราจะได้ว่า
\dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x}
...
งงตรงนี้ครับ พอดีผมไม่มีความรู้ในด้านการแก้ Differential equation เลยครับ
I(x) เป็นฟังก์ชันที่เราสมมติเพื่อหาขึ้นมาเองโดยที่ I(x) อยู่ภายใต้เงื่อนไข \dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x} เหรอครับ
แล้ว Integrating Factor Method เป็นวิธีการหนึ่งที่จะทำให้การแก้สมการง่ายขึ้นเหรอครับ
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #3 on: March 04, 2009, 11:58:00 PM »
Quote from: Amber on March 04, 2009, 10:08:52 PM
ขอบคุณมากๆครับ
Quote from: Great on March 04, 2009, 09:21:46 PM
...
ซึ่งเทียบกับสมการอนุพันธ์ข้างต้นเราจะได้ว่า
\dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x}
...
งงตรงนี้ครับ พอดีผมไม่มีความรู้ในด้านการแก้ Differential equation เลยครับ
I(x) เป็นฟังก์ชันที่เราสมมติเพื่อหาขึ้นมาเองโดยท
ก็ปกติเวลาผมเจอสมการอนุพันธ์ที่เป็น 1st Order (คือมีแค่ d/dx) ก็จะใช้วิธีนี้ก่อนเลยครับเพราะปกติถ้ามันไม่โหดเกินไปก็คงแก้สมการได้
ถ้าดูจากคำตอบแล้ว มันคงใช้วิธีเดาคำตอบยากครับ ไม่เหมือนกับ 2nd Order แบบ Linear ที่พอจะเดาคำตอบได้

เราสมมติตัวประกอบการอินทิเกรต (Integrating Factor) I(x) ขึ้นมาเพื่อใช้ประโยชน์ในการ "ช่วยอินทิเกรตแก้สมการ" โดยเฉพาะครับ
สังเกตนะครับ ที่ผมใช้
Quote from: Great on March 04, 2009, 09:21:46 PM
...
ทีนี้ จากการหาอนุพันธ์ผลคูณ เรารู้ว่า
\dfrac{d}{dx} Iy = I \dfrac{dy}{dx} + y\dfrac{dI}{dx}
...
เพราะผมรู้ว่า ถ้าผมทำให้yไปอยู่ใน d(...) ได้ ผมก็สามารถทำให้การอินทิเกรตนั้นไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับตัวแปร y ได้ ซึ่งการใช้ความรู้เรื่องอินทิเกรตผลคูณแล้วเทียบสมการอนุพันธ์ที่คูณตลอดด้วย I(x) เข้าไป (คือเราเห็นสมการที่คูณ I(x)เข้าไปแล้วมองดูดีๆนะครับ มันดึงดูดให้เรานึกถึงผลของอนุพันธ์ผลคูณมากๆเลย) จะช่วยให้เราได้สมการ
Quote from: Great on March 04, 2009, 09:21:46 PM
...
ดังนั้นสมการอนุพันธ์จะได้เป็น
\dfrac{d}{dx} \left( A x^m y \right) = k A x^m
...
ซึ่งสังเกตนะครับ สมการนี้ y ไปอยู่ใน d(...) ซึ่งอินทิเกรตออกมาได้โดยง่ายครับ

คือเวลาใช้Integrating Factor ให้ลองดูสมการอนุพันธ์ตั้งต้นของเราครับ ว่ามันดูแล้วเข้ารูปฟอร์มของอนุพันธ์ผลคูณของ \dfrac{d}{dx} I(x) y หรือปล่าว (มี I dy/dx + (...)y) ถ้ามันมีเค้าโครง ก็ใช้วิธีนี้เลยครับ จำรูปแบบไปเลยก็ได้ครับ

ถ้ายังไม่ค่อยชินของฝึกแก้สมการนี้ดูครับ เป็น 1st Order Linear Differential Equation
\dfrac{dy}{dx} + p(x) y = q(x)
หา y ในรูปของ p(x)แ
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #4 on: March 05, 2009, 08:19:53 PM »
ขอบคุณพี่ Great มากๆครับ  icon adore
ลองทำดูนะครับ
\dfrac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)
ให้ I(x) เป็นฟังก์ชันของ x โดยที่ I(x)p(x)y = y\dfrac{dI(x)}{dx}-(*)
เราจะได้ว่า
โดยการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ; I(x)\dfrac{dy}{dx} + I(x)p(x)y = I(x)q(x)-(**)
และโดยอนุพันธ์ของผลคูณ ; \dfrac{d(I(x)y)}{dx} = I(x)\dfrac{dy}{dx} +y\dfrac{dI(x)}{dx}-(***)
ทั้งนี้เราจะได้ว่า
จาก I(x)p(x)y = y\frac{dI(x)}{dx}
\therefore I(x)p(x) = \dfrac{dI(x)}{dx}
\therefore p(x)dx = \dfrac{dI(x)}{I(x)}
\int p(x)dx = \int \dfrac{dI(x)}{I(x)}
\int p(x)dx = \ln I(x) + C
เราจะได้ว่า I(x) = Ke^{\int p(x)dx} -(1) โดยที่ K เป็น arbitrary const.
จาก (*),(**),(***) จะได้ \dfrac{d(I(x)y)}{dx} = I(x)q(x)
\therefore \dfrac{d(I(x)y)}{dx} = I(x)q(x)
\therefore \int d(I(x)y) = \int I(x)q(x)dx
จะได้ว่า y = \dfrac{\int I(x)q(x)dx}{I(x)} แทนค่จาก (1)
เราจะได้ y = \dfrac{\int Ke^{\int p(x)dx}q(x)dx}{Ke^{\int p(x)dx}}
นั่นคือ y = e^{-\int p(x)dx}}\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx
ถูกต้องหรือเปล่าครับ Smiley  Smiley
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #5 on: March 05, 2009, 09:50:58 PM »
ข้อสังเกตนะครับ
1. สมการ(*)นั้นควรจะตามหลังสมการที่(**)กับ(***)นะครับ เพราะว่า (*) เป็นผลพลอยได้จาก (**)กับ(***)
2. น้องลืมอะไรบางอย่างในบรรทัดนี้ครับ
Quote from: Amber on March 05, 2009, 08:19:53 PM
...
\therefore \int d(I(x)y) = \int I(x)q(x)dx
จะได้ว่า y = \dfrac{\int I(x)q(x)dx}{I(x)} แทนค่จาก (1)
...
น้องลืมค่าคงที่จากการอินทิเกรตนะครับ
ถึงแม้น้องจะบอกว่าผลสุดท้าย
Quote from: Amber on March 05, 2009, 08:19:53 PM
...
นั่นคือ y = e^{-\int p(x)dx}}\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx
...
นั้นการอินทิเกรตก้อนหลังก็ต้องใส่ arbitrary const. อยู่ดี แต่ว่าให้สังเกตนะครับว่า \int{p(x)dx} นั้น ผ่านการใส่ arbitrary const.มาเรียบร้อยแล้วจากสมการ
Quote from: Amber on March 05, 2009, 08:19:53 PM
...
\int p(x)dx = \int \dfrac{dI(x)}{I(x)}
\int p(x)dx = \ln I(x) + C
...
ครับ (นั่นคืออินทิเกรตก้อนนี้ก็ไม่ต้องใส่ค่าคงที่ซ้ำซ้อนอีก)
ดังนั้น การใส่ arbitrary const. ไว้ก่อนอย่างที่ผมเฉลย มันจะช่วยเตือนความจำครับว่าอย่าลืม เพราะถ้าไม่ใส่ มันอาจจะลืมได้น่ะครับ  Wink
« Last Edit: March 06, 2009, 07:19:58 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #6 on: March 06, 2009, 06:57:36 PM »
ขอบคุณพี่ Great มากๆครับ  Smiley  Smiley
ไม่ทราบว่าจะหาหนังสือหรือบทความเกี่ยวกับการแก้สมการ Differial ได้ที่ไหนเหรอครับ
 ช่วยแนะนำด้วยครับ  icon adore ขอบคุณมากครับ
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #7 on: March 06, 2009, 08:55:09 PM »
Quote from: Amber on March 06, 2009, 06:57:36 PM
ขอบคุณพี่ Great มากๆครับ  Smiley  Smiley
ไม่ทราบว่าจะหาหนังสือหรือบทความเกี่ยวกับการแก้สมการ Differential ได้ที่ไหนเหรอครับ
 ช่วยแนะนำด้วยครับ  icon adore ขอบคุณมากครับ
คือส่วนใหญ่พี่เรียนเอาในค่ายน่ะครับ (น้องน่าจะพอรู้ว่าแก้สมการทำนองนี้ต้องเรียนกับอาจารย์ท่านใด  Grin)
และก็อ่านเอาจากสมุดจดของรุ่นพี่เช่นของพี่อำนวยกับพี่กษิดิษ (ในส่วนของพี่อำนวยหรือ Umnouy Lectured on Physics I&II นั้นสามารถขออ.นันท์นภัส (พี่แอ๋ว) ที่สสวท. มาถ่ายเอกสารได้ หรือขอจากรุ่นพี่โรงเรียนเดียวกับน้องที่เคยเข้าค่ายสสวท.ก็ได้ (ถ้ามี) ถ้าน้องอยู่เตรียมก็ขอได้จากหลายคน (แต่พี่อยู่สาธิตจุฬาฯนะ 555+))
ความจริงน้องก็เจอสมการอนุพันธ์ในฟิสิกส์หลายๆเรื่องเช่นเอาตั้งแต่กลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ สมการSHM สมการการสั่นต่างๆ เป็นต้น ซึ่งเวลาน้องอ่านหนังสือฟิสิกส์ทั่วๆไป ก็จะมีสอนเรื่องการแก้สมการอนุพันธ์พื้นฐานในเรื่องทีใช้เฉพาะเจาะจงในบทนั้นๆ เช่น เรื่องการสั่นแบบถูกหน่วง (Damped Oscillation) ก็มี diff equa. เป็นมาตรฐานแบบหนึ่ง ซึงในหนังสือฟิสิกส์ทั่วไปก็มีบอกวิธีแก้ให้อยู่แล้ว (อย่างเช่น Morin) น้องก็อ่านจากพวกนี้ได้เลย ไม่ต้องไปซื้อหนังสือแก้สมการพวกนี้โดยเฉพาะ
แต่ถ้าน้องอยากอ่านที่เป็นหนังสือเลขจริงๆ ก็ให้เป็นหนังสือเลขสำหรับฟิสิกส์ อย่างที่พี่ใช้อยู่ก็ Mathematical Methods in the Physical Science ของ Mary L. Boas ซึ่งเขียนไว้ดีพอสมควร อ่านเข้าใจง่าย (แต่ก็อาจจะลืมง่าย Grin)  Wink
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
S.S.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 166
« Reply #8 on: March 07, 2009, 09:11:12 AM »
ขอบคุณมากครับ จะลองไปหาอ่านดูครับ  great  great
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: