สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« on: November 06, 2008, 05:01:56 PM »

โจทย์ตัวเต็มนะครับ(เผื่อว่าผมอาจจะเข้าใจโจทย์ผิด)

Quote

CASE1: At the instant the source is at its closest approach to you, with what frequency do the flashes hit your eye?
CASE2: When you see the source is at its closest approach to you, with what frequency do the flashes hit your eye?

จากรูปด้านล่างนะครับ ด้านซ้ายคือ CASE1 ด้านขวาคือ CASE2 ให้หาความถี่ที่ตาของผู้สังเกตได้รับ
หนังสือMorin เฉลยว่า
$f_1 = \dfrac{f_o}{\sqrt{1- (v/c)^2}}$ นั่นคือ $f_1 > f_o$
และ
$f_2 = f_o \sqrt{1- (v/c)^2}$ นั่นคือ $f_2 < f_o$
เมื่อให้ $f_o$ คือความถี่ของแหล่งในกรอบที่อยู่นิ่งเทียบกับแหล่ง

ในCASE1 นั้น Morin ให้เหตุผลว่า เมื่อสังเกตในกรอบของแหล่ง(S') จะเห็นแสงกระทบตาผู้สังเกตที่ x'=0 พอดี เหตุการณ์1คือ แสงกระทบตาครั้งที่1 เหตุการณ์ที่2คือแสงกระทบตาครั้งที่2 เขาจึงบอกว่า เวลาในกรอบแหล่ง(S') นี้ เป็นช่วงเวลาที่ยืดออกจากเวลาในกรอบของตา(S) นั่นคือ
$T_1 = T_o / \gamma$ เมื่อ $T_1$ คือคาบที่ตาผู้สังเกตวัดได้ และ $T_o$ คือคาบในกรอบนิ่งเทียบแหล่ง
ดังนั้น
$f_1 = \dfrac{1}{T_1} = \dfrac{\gamma}{T_o} = \dfrac{f_o}{\sqrt{1- (v/c)^2}}$
และให้เหตุผลว่า ความถี่ที่สังเกตได้ควรจะมากกว่าความถี่แหล่งเพราะCASE1นี้มันก็คือแหล่งกำลังเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกต

ในCASE2 นั้น Morin ให้เหตุผลว่า เมื่อสังเกตในกรอบของตา(S) แสงจะกระทบตาผู้สังเกตที่ x=0 พอดี และบอกว่า นาฬิกาของS'(แหล่งแสง) นั้นจะเดินช้าลงในกรอบของตา(S) ด้วยตัวประกอบ $\gamma$ และดังนั้นเมื่อแหล่งแสงเดินผ่านแกนyพอดี ผู้สังเกตจะพบว่า
$T_2 = \gamma T_o$
นั่นคือความถี่ที่ผู้สังเกตวัดได้
$f_2 = \dfrac{1}{T_2} = \dfrac{1}{\gamma T_o} = f_o \sqrt{1- (v/c)^2}$
และให้เหตุผลว่า ความถี่ที่สังเกตได้ควรจะน้อยกว่าความถี่แหล่งเพราะCASE2 นี้มันก็คือแหล่งกำลังเคลื่อนที่ออกจากผู้สังเกต

ส่วนในเอกสารของอาจารย์ปิยพงษ์ ซึ่งท่านอาจารย์ไม่ได้ระบุว่าเป็นกรณี CASE1หรือCASE2 นั้น ระบุว่า ช่วงเวลาที่ผู้สังเกตวัดได้ระหว่างการตกกระทบของแสงที่ตา เป็นช่วงเวลาที่ยืดออกจากคาบของแหล่ง นั้นคือ
$T = \gamma T_o$
ดังนั้นผู้สังเกตจะสังเกตได้ความถี่
$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{\gamma T_o} = f_o \sqrt{1- (v/c)^2}$ คำตอบเหมือน CASE2 ของ Morin
นั่นแปลว่า ชีทของอาจารย์ใช้ว่า เหตุการณ์แรกคือแสงออกจากแหล่งครั้งที่1 เหตการณ์สองคือแสงออกจากแหล่งครั้งที่2 เกิดที่พิกัดเดียวกันในกรอบของแหล่ง ดังรบกวนผู้ที่รู้ว่าเกิดอะไรผิดพลาดขึ้นช่วยชี้แจงด้วยครับ ตอนนี้ผมกำลังสับสนได้ที่เลย ขอความกรุณาด้วยครับ ท่านอาจารย์จะมาตอบด้วยตนเองก็ได้ครับ หรือคนอื่นๆที่ทราบ(ขอแบบทราบจริงๆนะครับ)จะมาอธิบายให้ก็ได้ ยิ่งเร็วยิ่งดีครับ เพราะปล่อยไว้นานผมจะยิ่งสับสน icon adore


« Last Edit: November 06, 2008, 10:01:53 PM by Great »	Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home

Mwit_Psychoror

SuperHelper

Offline

Posts: 781

Reality is the average of all illusion

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #1 on: November 06, 2008, 08:14:14 PM »

Quote from: Great on November 06, 2008, 05:01:56 PM

ในCASE1 นั้น Morin ให้เหตุผลว่า เมื่อสังเกตในกรอบของแหล่ง(S') จะเห็นแสงกระทบตาผู้สังเกตที่ x'=0 พอดี เหตุการณ์1คือ แสงกระทบตาครั้งที่1 เหตุการณ์ที่2คือแสงกระทบตาครั้งที่2 เขาจึงบอกว่า เวลาในกรอบแหล่ง(S') นี้ เป็นช่วงเวลาที่ยืดออกจากเวลาในกรอบของตา(S) นั่นคือ
$T_1 = T_o / \gamma$ เมื่อ $T_1$ คือคาบที่ตาผู้สังเกตวัดได้ และ $T_o$ คือคาบในกรอบนิ่งเทียบแหล่ง
ดังนั้น
$f_1 = \dfrac{1}{T_1} = \dfrac{\gamma}{T_o} = \dfrac{f_o}{\sqrt{1- (v/c)^2}}$
และให้เหตุผลว่า ความถี่ที่สังเกตได้ควรจะมากกว่าความถี่แหล่งเพราะCASE1นี้มันก็คือแหล่งกำลังเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกต

แหม่งๆ ตรงนี้

มันควรจะเป็นเวลาชองแหล่งที่ผู้สังเกตสังเกตมากกว่า ไม่ใช่เวลาของผู้สังเกตที่แหล่งสังเกต อีกอย่างหนึ่งถึงจะวิ่งเข้าหรือวิ่งออกความถี่ที่ผู้สังเกตสังเกตได้ก็น่าจะเท่ากันอยู่แล้วนะครับ มันไม่เหมือนกันดอพเพอร์ใน 1 มิติ ดอพเพอร์ 1 มิติมีจุดที่ไม่ต่อเนื่องคือตอนที่แหล่งวิ่งผ่านผู้สังเกต จะมีช่วงที่แหล่งซ้อนกับผู้สังเกตพอดี ซึ่งตรงนั้นทำให้คำตอบระหว่างวิ่งเข้ากับวิ่งออกเปลี่ยนไปทันที แต่ในกรณี 2 มิติมันควรจะต่อเนื่อง เพราะไม่มีช่วงใดที่ทำให้มันเปลี่ยนไปทันที

ถ้าผมเข้าใจผิดอย่างไรก็ขออภัย และช่วยแนะนำด้วยนะครับ icon adore


	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #2 on: November 06, 2008, 09:03:31 PM »

ขอบคุณสำหรับความเห็นของ Mwit_Psychoror ครับ

ผมไปเจอ CASE1 ใน Wiki มา แต่ปรากฎว่าผมอ่านไม่รู้เรื่อง Cry

Quote

For motion in an arbitrary direction
If, in the reference frame of the observer, the source is moving away with velocity $v$ at an angle $\theta$ relative to the direction from the observer to the source (at the time when the light is emitted), the frequency changes as
$f = \dfrac{f_o}{\gamma (1 + (v/c) \cos \theta)}$ (1)
where
$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$
In the particular case when $\theta = 90^{\circ}$ one obtains the transverse Doppler effect
$f = \dfrac{f_o}{\gamma}$ (2)
However, if the angle ${\theta}_s$ is measured in the reference frame of the source (at the time when the light is received by the observer), the expression is
$f = \gamma (1 - (v/c) \cos \theta_s) f_o$ (3)
$\cos {\theta}$ and $\cos {\theta}_s$ are tied to each other via the relativistic aberration formula:
$\cos {\theta} = \dfrac{\cos {\theta}_s - (v/c)}{1 - (v/c) \cos {\theta}_s}$ (4)
The relativistic aberration formula explains why, for $\cos {\theta}_s = 0$ one obtains a second formula for the transverse Doppler effect:
$f = f_o \gamma$ (5)
(5) is obtained easily by substituting $\cos \theta = \dfrac{-v}{c}$ into (1). Turns out that (5) is more useful than (2) being the form used routinely in the Ives-Stilwell experiment.
In the non-relativistic limit, both formulæ become
$\dfrac{\Delta f}{f} \simeq - \dfrac{- v \cos \theta}{c}$

พบว่าสมการ (2) คือ CASE2 ของมอริน และสมการ (5) คือCASE1 ของมอริน

ใครก็ได้ครับ อธิบายให้กระจ่างที icon adore


« Last Edit: November 06, 2008, 09:09:55 PM by Great »	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #3 on: November 06, 2008, 10:03:00 PM »

เพิ่มโจทย์ตัวเต็มไว้ข้างบนแล้วนะครับ เผื่อว่าผมอาจจะเข้าใจโจทย์ผิดไปครับ ยังไงรบกวนออกความคิดเห็นกันเยอะๆนะครับ great


	Logged

meson_baryon

neutrino

Offline

Posts: 4

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #4 on: December 25, 2008, 03:24:52 AM »

Hi N'Great.
This is exactly what I was confused when I read this part. I figured out later that both Morin and Young are right.

The most important thing is that case 1 and case 2 are significantly different. What we assume in $f= f_0 /\gamma *(1-\beta*\cos\theta)$ is ( we assume this before we derive the frequency shifted) :
the angle $\theta$ in the Doppler equation is the angle between the velocity of the light source and the line between observer and where the source WAS when it emitted photon that the observer receives later. ( $\theta$ is in observer's frame)

In case 1, the angle $\theta$ is NOT infinitesimally close to $90$ degrees so there is no problem about the continuity of frequency of between the two cases. In fact, $\cos\theta= v/c$ . Substituting it to the given equation (the general one) yields $f=f_o* \gamma$ which agrees with frequency in case 1 given by Morin. In case 2, $\cos\theta$ is zero and the frequency yielded agrees with the frequency in case 2 given by Morin.

I think Morin is trying to emphasize the differences between the two cases but it would be MUCH less confusing if he mentioned about doppler effect "for motion in an arbitrary direction" and pointed out the differences later. I think you understand what I mean.
ps. I'm sorry that i don't have time to elaborate much and sorry for my weird-looking equations. Anyway, let me know if there's anything wrong.


« Last Edit: December 25, 2008, 09:54:21 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #5 on: December 25, 2008, 03:36:27 PM »

Thank you very much P'Benz

Your explanation is very helpful to me. icon adore

After reading your explanation, I think I understood almost what Prof.Morin tried to say about CASE1. Now, only last remark, for $\cos \theta = v/c$ we mean that the angle between the velocity of the observer and the line connected the source and the observer in source's frame is $\theta_{\mbox{source}} = 90^{\circ}$ from aberration eqn. The question is "Why $\theta_{\mbox{source}} = 90^{\circ}$ is the case?" Could it be either $\theta_{\mbox{source}} = 90.1^{\circ}$ or $\theta_{\mbox{source}} = 89.1^{\circ}$ ? So what's the meaning of the quote "At the instant the source is at its closest approach to you"? Does this quote directly indicate that $\theta_{\mbox{source}} = 90^{\circ}$ is the case?

Recently, I find that after I read Morin's, I usually have to eat a lot since it takes away much of my energy buck2

. Anyway, it's extremely fun for me to think deeply what Prof.Morin is trying to say Grin


	Logged

meson_baryon

neutrino

Offline

Posts: 4

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #6 on: December 29, 2008, 08:17:29 AM »

I'm glad my explanation is helpful to you.

I'm not sure if I understand your question. Do you mean the last remark in Morin? I don't have Morin book with me cuz i'm not in campus. To be sure, i'll try to answer your question again after going back(around Jan 2nd).


« Last Edit: December 29, 2008, 01:09:19 PM by meson_baryon »	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #7 on: December 29, 2008, 03:39:41 PM »

Quote from: meson_baryon on December 29, 2008, 08:17:29 AM

Sorry for my confusing questions, these remarks aren't from Morin. I'm trying to find why ${\theta}_{\mbox{source}} = 90^{\circ}$ is the case for CASE1 til now but I can't. Maybe I don't understand the situation very well. buck2

Anyway, while waiting for P'Benz's answers, I'll try my best to find the solution to this confusion. reading


	Logged

meson_baryon

neutrino

Offline

Posts: 4

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin

« Reply #8 on: December 30, 2008, 06:07:14 AM »

I'm not quite sure this is an answer to your question.
Theta s should be 90 degree when the observer and the source are closest to each other because it is the angle at the time when photon reach the observer. On the other hand, theta in the Doppler equation, which is measured in observer's frame, is the angle between the velocity vector of the source and the line between the source and the observer at the time the source was when it emit light that the observer receives.

Anyway, Merry Christmas and Happy New Year.