ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41616 Posts in 6282 Topics- by 9887 Members - Latest Member: Nature
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: อินทิกรัลที่น่าจดจำ  (Read 16611 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
wiwanchai
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8


« on: August 02, 2008, 08:55:17 PM »

เกี่ยวกับ Maxwell-Boltzmann's distribution of molecule ผมเห็นว่าเป็นอินทิกรัลที่น่าสนใจดี

ในการพิสูจน์เราจะพบอินทิกรัลหน้าตาแบบนี้ เราจะหาค่าอย่างไร

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }v^2 e^{-av^2}dv}

ตรงนี้ผมลองอินทิเกรตเอง

ตอนแรก ให้อินทิเกรตแค่
\displaystyle{\int_{0}^{\infty }e^{-av^2}dv}
ให้
\displaystyle{av^2=x^2}
หาอนุพันธ์เทียบกับ v และ x ฝั่งซ้ายและขวาได้
\displaystyle{2avdv=2xdx}

เขียนอินทิกรัลด้านบนใหม่ได้
\displaystyle{=\int_{0}^{\infty }e^{-av^2}\frac{x}{av}dx}

\displaystyle{=\int_{0}^{\infty }e^{-x^2}\frac{\sqrt{a}v}{av}dx}

\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{0}^{\infty }e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}}

เราจะได้ว่า

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }e^{-av^2}dv=\frac{\sqrt{a\pi }}{2a}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}}

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }e^{-av^2}dv=\frac{1}{2}(\frac{a}{\pi})^\frac{-1}{2}}

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\frac{d}{da}e^{-av^2}dv=\frac{d}{da}\frac{1}{2}(\frac{a}{\pi})^\frac{-1}{2}}

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }e^{-av^2}(-v^2)dv=-\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}}

สังเกตเครื่องหมาย เราจะได้

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }v^2e^{-av^2}dv=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}}

รบกวนอาจารย์และเพื่อนๆช่วยดูด้วยนะครับว่าผมทำแบบนี้ได้มั้ย

และเรามีวิธีอื่นที่จะหาค่าอินทิกรัลนี้มั้ยครับ

laugh laugh laugh laugh laugh
« Last Edit: August 06, 2008, 12:26:32 PM by wiwanchai » Logged
psaipetc
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 653


kostuff.blogspot.com


WWW
« Reply #1 on: August 02, 2008, 10:35:17 PM »

เทคนิคนี้เรียกว่า Differentiation under the integral sign ครับ
ยินดีด้วยที่คุณค้นพบ

ข้อมูลเพิ่มเติม:
http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign

Logged

Life Lessons (related to science anyway):
http://www.guardian.co.uk/print/0,3858,5164417-111414,00.html
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #2 on: August 02, 2008, 11:14:26 PM »

ลองทำอะไรแบบนี้ดูครับ  Grin

จงหาค่า integrals ต่อไปนี้

1. \displaystyle{ \int x e^{-ax^2} dx}
2. \displaystyle{\int x^3 e^{-ax^2} dx}
3. \displaystyle{\int e^{-ax} dx}
4. \displaystyle{\int x e^{-ax} dx}
5. \displaystyle{\int x^2 e^{-ax} dx}
6. \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx }
7. \displaystyle{\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx }
8. \displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-ax^2} dx }
9. \displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^4 e^{-ax^2} dx }
10. \displaystyle{\int_{0}^{\infty} \eta e^{-\eta} d \eta}
11. \displaystyle{\int_{0}^{\infty} e^{-\eta} d \eta}

ทั้งหมดคาดว่าเจอใน Maxwell-Boltzmann's Distribution ครับ  Wink
Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
wiwanchai
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8


« Reply #3 on: August 03, 2008, 11:38:23 AM »

สวัสดียามเช้าครับ ชาว mpec ทุกท่าน

จากอินทิกรัล หน้าตาแบบนี้

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^n}dx}

และ แบบนี้

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^b}dx}

ผมคิดว่าการสร้างสูตรทั่วไปสำหรับหาค่าอินทิกรัล พวกนี้ จะมีประโยชน์อย่างมากเพราะเราอาจพบบ่อย

ผมมีคำถามว่าเราสามารถสร้างสูตรทั่วไปสำหรับหาค่าอินทิกรัลนี้ได้มั้ยครับ และทำอย่างไร

« Last Edit: August 03, 2008, 04:42:17 PM by wiwanchai » Logged
psaipetc
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 653


kostuff.blogspot.com


WWW
« Reply #4 on: August 03, 2008, 12:00:59 PM »

สวัสดียามเช้าครับ ชาว mpec ทุกท่าน

จากอินทิกรัล หน้าตาแบบนี้

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^n}dx}

ผมมีคำถามว่าเราสามารถสร้างสูตรทั่วไปสำหรับหาค่าอินทิกรัลนี้ได้มั้ยครับ และทำอย่างไร



ผมใส่ใน Mathematica ดังนี้
Integrate[ x^n Exp[-a x^n], {x, 0, Infinity},  Assumptions -> {a > 0, n > 0}]

แล้วได้คำตอบแบบนี้ครับ

\frac{a^{-\frac{1+n}{n}} \text{Gamma}\left[\frac{1}{n}\right]}{n^2}

ไม่ได้ตรวจว่าถูกแน่นอนหรือเปล่า แต่ลองแทนค่า a, n เข้าไปบางตัวแลัวถูกต้องครับ

และ
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^b}dx}
ได้

\frac{a^{-\frac{1+n}{b}} \text{Gamma}\left[\frac{1+n}{b}\right]}{b} ( a,b,n > 0)


Logged

Life Lessons (related to science anyway):
http://www.guardian.co.uk/print/0,3858,5164417-111414,00.html
wiwanchai
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8


« Reply #5 on: August 03, 2008, 04:04:05 PM »

หาสูตรทั่วไปสำหรับอินทิกรัล
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^n}dx}

ตอนแรกให้อินทิเกรตแค่
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}dx}

ให้
\displaystyle{ax^n=m^n}

หาอนุพันธ์เทียบกับ x และ m ฝั่งซ้ายและขวา ได้
\displaystyle{nax^{n-1}dx=nm^{n-1}dm}

เขียนอินทิกรัลด้านบนใหม่ได้
\displaystyle{=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax^n}m^{n-1}}{ax^{n-1}}dm}

\displaystyle{=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-m^n}(a^\frac{1}{n}x)^{n-1}}{ax^{n-1}}dm}

\displaystyle{=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-m^n}a^{1-\frac{1}{n}}x^{n-1}}{ax^{n-1}}dm}

\displaystyle{=a^{-\frac{1}{n}}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

จะได้
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}dx=a^{-\frac{1}{n}}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{d}{da}e^{-ax^n}dx=\frac{d}{da}a^{-\frac{1}{n}}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}(-x^n)dx=-\frac{1}{n}a^{(-\frac{1}{n}-1)}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

สังเกตเครื่องหมาย จะได้
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}(x^n)dx=\frac{1}{n}a^{(-\frac{1}{n}-1)}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

ทดลองแทน n=2 ได้
\displaystyle{\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}}

อยากทราบว่าอินทิกรัล
 \displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

อินทิเกรตอย่างไรครับ ผมเข้าใจว่านี่เป็น gamma function

Smiley Smiley Smiley Smiley Smiley
« Last Edit: October 05, 2008, 03:57:48 PM by wiwanchai » Logged
wiwanchai
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8


« Reply #6 on: August 03, 2008, 04:45:47 PM »

สวัสดียามเช้าครับ ชาว mpec ทุกท่าน

จากอินทิกรัล หน้าตาแบบนี้

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^n}dx}

ผมมีคำถามว่าเราสามารถสร้างสูตรทั่วไปสำหรับหาค่าอินทิกรัลนี้ได้มั้ยครับ และทำอย่างไร



ผมใส่ใน Mathematica ดังนี้
Integrate[ x^n Exp[-a x^n], {x, 0, Infinity},  Assumptions -> {a > 0, n > 0}]

แล้วได้คำตอบแบบนี้ครับ

\frac{a^{-\frac{1+n}{n}} \text{Gamma}\left[\frac{1}{n}\right]}{n^2}

ไม่ได้ตรวจว่าถูกแน่นอนหรือเปล่า แต่ลองแทนค่า a, n เข้าไปบางตัวแลัวถูกต้องครับ

และ
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^b}dx}
ได้

\frac{a^{-\frac{1+n}{b}} \text{Gamma}\left[\frac{1+n}{b}\right]}{b} ( a,b,n > 0)




ขอบคุณครับ

ใน Mathematica สามารถแสดงวิธีคิดได้มั้ยครับ

ถ้ายังไงรบกวนด้วยครับ
Logged
psaipetc
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 653


kostuff.blogspot.com


WWW
« Reply #7 on: August 03, 2008, 06:38:54 PM »

Mathematica แสดงวิธีคิดให้มนุษย์อ่านง่ายๆไม่ได้ครับ

แต่ Gamma[z] = \Gamma (z)=\int _0^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt ครับ

integral อันล่าสุดของคุณ = Gamma[1+1/n] ครับ:

Integrate[Exp[-x^n], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> {n > 0}]

ได้ Gamma[1 + 1/n]

Logged

Life Lessons (related to science anyway):
http://www.guardian.co.uk/print/0,3858,5164417-111414,00.html
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #8 on: August 03, 2008, 07:49:00 PM »

ผมว่าใช้เป็น

\displaystyle{{d \over {da}}\int {f\left( {x,a} \right)} dx = \int {{\partial  \over {\partial a}}f\left( {x,a} \right)} dx}

น่าจะสื่อได้ความหมายดีกว่าครับ  coolsmiley

ว่าแต่ไม่สนใจทำตัวอย่าง 11 ข้อที่ผมให้ไปเหรอครับ  Huh
Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
wiwanchai
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8


« Reply #9 on: August 03, 2008, 09:53:37 PM »

ผมว่าใช้เป็น

\displaystyle{{d \over {da}}\int {f\left( {x,a} \right)} dx = \int {{\partial  \over {\partial a}}f\left( {x,a} \right)} dx}

น่าจะสื่อได้ความหมายดีกว่าครับ  coolsmiley

ว่าแต่ไม่สนใจทำตัวอย่าง 11 ข้อที่ผมให้ไปเหรอครับ  Huh

55+  laugh

สนใจสิครับ ตั้งใจว่าจะหาเวลามาทำ

ช่วงนี้การบ้านเยอะมากๆๆ  reading ประกอบกับเป็นมือใหม่ จึงไม่ค่อยคุ้นเคยกับ LATEX

ขอบคุณที่แนะนำนะครับ  embarassed
Logged
kobkik
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 3


« Reply #10 on: September 20, 2008, 05:01:57 PM »

หาสูตรทั่วไปสำหรับอินทิกรัล
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^n}dx}

ตอนแรกให้อินทิเกรตแค่
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}dx}

ให้
\displaystyle{ax^n=m^n}

หาอนุพันธ์เทียบกับ x และ m ฝั่งซ้ายและขวา ได้
\displaystyle{nax^{n-1}ax=nm^{n-1}dm}

เขียนอินทิกรัลด้านบนใหม่ได้
\displaystyle{=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax^n}m^{n-1}}{ax^{n-1}}dm}

\displaystyle{=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-m^n}(a^\frac{1}{n}x)^{n-1}}{ax^{n-1}}dm}

\displaystyle{=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-m^n}a^{1-\frac{1}{n}}x^{n-1}}{ax^{n-1}}dm}

\displaystyle{=a^{-\frac{1}{n}}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

จะได้
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}dx=a^{-\frac{1}{n}}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{d}{da}e^{-ax^n}dx=\frac{d}{da}a^{-\frac{1}{n}}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}(-x^n)dx=-\frac{1}{n}a^{(-\frac{1}{n}-1)}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

สังเกตเครื่องหมาย จะได้
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-ax^n}(x^n)dx=\frac{1}{n}a^{(-\frac{1}{n}-1)}\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

ทดลองแทน n=2 ได้
\displaystyle{\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}}

อยากทราบว่าอินทิกรัล
 \displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

อินทิเกรตอย่างไรครับ ผมเข้าใจว่านี่เป็น gamma function

Smiley Smiley Smiley Smiley Smiley



ลองใช้นิยามของแกมมาฟังก์ชันช่วย
 \displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-m^n}dm}

หาค่าได้ครับในรูปของแกมมาฟังก์ชัน  เดี๋ยวมาโพสวิธีคิดให้นะ
« Last Edit: September 20, 2008, 05:23:31 PM by kobkik » Logged
wiwanchai
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8


« Reply #11 on: October 05, 2008, 04:03:52 PM »

ขอบคุณ kobkik มากครับ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: