ดูดีๆนะ

ก่อนอื่นผมบอกตำแหน่งโดยใช้

ตามที่โจทย์บอก โดยให้ origin อยู่ที่รู

เริ่มวัดจาก
origin ไปยังมวลบนโต๊ะ และ

เริ่มวัดจากแนวที่ขนานกับขอบโต๊ะ(หรือที่อื่นก็ได้) หมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก
กำหนดระดับอ้างอิงที่ให้ี่พลังงานศักย์โน้มถ่วงเป็นศูนย์ ทีระดับผิวโต๊ะ
จะได้พลังงานจลน์ของระบบ

พลังงานศักย์ของระบบ
จะได้ Lagrangian ดังนี้

หลังจากนั้นเราก็ทำต่อไปตามกระบวนการ
โดยเริ่มจาก coordinate r

ดังนั้น

________________(1)
จากนั้นจัดการ coordinate

ต่อ

ดังนั้น

แสดงให้เห็นว่า

เป็นปริมาณที่ไม่ขึ้นกับเวลา(อนุรักษ์) ซึ่งเจ้าปริมาณนี้คือ angular momentum ของมวลที่หมุนอยู่นั่นเอง
เราจะเขียนแทนด้วย
เราจะได้ว่า

_________________(2)
เรานำ

จากสมการที่ (2) แทนในสมการที่ (1) จะได้

____________(3)
โดยสมการนี้เป็นสมการการเคลื่อนที่ของเจ้ามวลที่อยู่บนโต๊ะนั่นเอง
หลังจากนี้เราจะลองหาดูว่ามวลก้อนนี้มันจะอยู่ในวงโคจรที่เสถียร(

)เมื่อ

มีค่าเท่าไร

____________(4)

โอ้

เราสามารถหาค่า

ได้ แต่การที่เราจะบอกว่ามันเป็นวงโคจรที่เสถียรจริงๆ เราต้องดูกราฟระหว่างพลังงานศักย์กับตำแหน่งของมัน
แต่จะยุ่งยาก เรามีทางออกอีกทางคือ ลองรบกวนมันรอบวงโคจรนี้ หากมันเป็นวงโคจรที่่เสถียร วงโคจรต้องแกว่งเป็นแบบ simple harmonic แน่ๆ ว่าแล้วเราก็พิมพ์ต่อไปอย่างไม่ลดละ

จากสมการการเคลื่อนที่ (3) เรารบกวนวงโคจรเล็กน้อยจากสมดุลไป

จะได้

และจากประสบการณ์เราจะทำต่อดังนี้

เมื่อ

เราจะได้

จากเงื่อนไขสมดุล(สมการ(4)) เราจะได้ว่า

เราก็จะไ้ด้ว่า มวลก้อนนี้จะแกว่งกวััดรอบวงโคจรที่เสถียรด้วย ความถี่เชิงมุม

นั่นเอง