ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41238 Posts in 6174 Topics- by 8089 Members - Latest Member: ณภัทร ด่านชนะ
Pages: « 1 2   Go Down
Print
Author Topic: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น  (Read 23827 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
WoNDeR
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 45


« Reply #15 on: May 15, 2009, 05:43:35 PM »

เพื่อช่วยให้เข้าใจ ให้ทำกรณีที่พื้นเอียงอยู่กับที่ แล้วให้หาว่าความเร่งของวัตถุที่ไถลลงมาตามพื้นเอียงมีค่าเท่าใด (เวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง) โดยบังคับให้แยกส่วนประกอบของแรงและความเร่งให้อยู่ในแนวนอนและแนวดิ่ง  ห้ามทำโดยแยกเป็นแนวขนานและตั้งฉากกับพื้นเอียง

ลองทำมาให้ดูหน่อย  Grin

แบบนี้หรือเปล่าครับ

เนื่องจากพื้นเอียงอยู่กับที่ \therefore \vec{A}=0 และทำให้
\begin{array}{rcl} \vec{a} &=& \vec{a}^\prime  \cr \begin{bmatrix}a_x \cr a_y  \end{bmatrix}  &=& \begin{bmatrix}a^\prime\cos\theta \cr -a^\prime\sin\theta  \end{bmatrix}   \end{array}

จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน
\begin{array}{rcl} \sum \vec{F} &=& m\vec{a} \cr \vec{W}+\vec{N} &=& m(a_x\hat{i}+a_y\hat{j}) \cr -mg\hat{j}+N(\sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}) &=& m(a^\prime\cos\theta\hat{i}-a^\prime\sin\theta\hat{j}) \cr \begin{bmatrix}m\cos\theta&-\sin\theta \cr m\sin\theta&\cos\theta  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N  \end{bmatrix}  &=& \begin{bmatrix}0 \cr mg  \end{bmatrix} \cr \begin{bmatrix}a^\prime \cr N  \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}g\sin\theta \cr mg\cos\theta  \end{bmatrix}  \end{array}
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6276


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #16 on: May 15, 2009, 05:57:19 PM »

...
เนื่องจากพื้นเอียงอยู่กับที่ \therefore \vec{A}=0 และทำให้
\begin{array}{rcl} \vec{a} &=& \vec{a}^\prime  \cr \begin{bmatrix}a_x \cr a_y  \end{bmatrix}  &=& \begin{bmatrix}a^\prime\cos\theta \cr -a^\prime\sin\theta  \end{bmatrix}   \end{array}

...

รู้ได้อย่างไรว่าถ้าวัตถุไถลลงมาตามพื้นเอียง แล้วความเร่งมีความสัมพันธ์เช่นนั้น  coolsmiley
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
WoNDeR
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 45


« Reply #17 on: May 15, 2009, 07:08:38 PM »

ก็อ้างอิงจากที่อาจารย์พิสูจน์ไว้แล้วอะครับ

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งของวัตถุบนพื้นเอียงที่วางอยู่บนพื้นโต๊ะที่ลื่น

\begin{array}{rcl}\because \vec r&=&\vec R+\vec r\,^{\prime} \cr \therefore \vec a &=& \vec A+\vec a\,^{\prime} \cr \vec a\,^{\prime} &=& a\,^{\prime}\cos \theta \,\hat i+a\,^{\prime}\sin \theta \,( - \hat j) \cr \vec A &=& A\,\hat i \cr \vec a &=& a_x \,\hat i + a_y \,\hat j \cr \therefore a_x &=& A + a\,^{\prime} \cos \theta \cr a_y &=& -a\,^{\prime} \sin\theta  \end{array}

พอบอกว่าพื้นเอียงอยู่กับที่ \vec{A} เลยเท่ากับศูนย์ ก็แทนค่าไปแล้วได้ตามนั้นครับ

หรือถ้าจะบอกแบบนี้ได้ไหมครับ
เนื่องจากพื้นเอียงไม่มีความเร่งเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยของเราแล้ว กรอบที่คิดจากพื้นเอียงก็เป็นกรอบเฉื่อยเช่นกัน
ความเร่งที่วัดได้จากทั้งสองกรอบจึงเท่ากัน และความสัมพันธ์ดังกล่าวก็เป็นเพียงการหมุนกรอบอ้างอิงเท่านั้น
Logged
WoNDeR
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 45


« Reply #18 on: May 15, 2009, 08:54:16 PM »

ลองทำโจทย์ข้อนี้ดู อาจเข้าใจมากขึ้น

ให้พื้นเอียงมีมวล Mและเอียงทำมุม \thetaกับพื้นระดับ  มีวัตถุมวล m วางบนพื้นเอียง ให้ทุกผิวไม่มีแรงเสียดทาน
จงหาความเร่งของพื้นเอียงและความเร่งของมวล m

แนะว่าให้ใช้ผลที่อาจารย์ปิยพงษ์ทำให้ดู  reading

จากผลของอาจารย์ปิยพงษ์ นะครับ
\begin{array}{rcl} \begin{bmatrix}a_x \cr a_y  \end{bmatrix}  &=& \begin{bmatrix}A+a^\prime\cos\theta \cr -a^\prime\sin\theta  \end{bmatrix}   \end{array}

กฎข้อที่สองของนิวตัน
-ที่วัตถุมวล m
\begin{array}{rcl} \sum\vec{F} &=& m\vec{a} \cr \vec{W}+\vec{N} &=& m(a_x\hat{i}+a_y\hat{j}) \cr -mg\hat{j}+N(\sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}) &=& m\left( (A+a^\prime\cos\theta)\hat{i}-a^\prime\sin\theta\hat{j}\right) \cr \begin{bmatrix}m\cos\theta&-\sin\theta&m \cr m\sin\theta&\cos\theta&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A  \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}0 \cr mg \end{bmatrix}  \end{array}
-ที่พื้นเอียง
\begin{array}{rcl} \sum{F} &=& m\vec{a} \cr \vec{W}+\vec{R}-\vec{N} &=& M\vec{A} \cr -Mg\hat{j}+R{j}-N(\sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}) &=& MA\hat{i} \cr -N\sin\theta &=& MA \cr \begin{bmatrix}0&\sin\theta&M \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A  \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}0 \end{bmatrix}  \end{array}

จะได้ว่า
\begin{array}{rcl} \begin{bmatrix}m\sin\theta&\cos\theta&0 \cr m\cos\theta&-\sin\theta&m \cr 0&\sin\theta&M \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A  \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}mg \cr 0 \cr 0 \end{bmatrix} \cr \begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A  \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta \cr \dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}mg\cos\theta \cr -\dfrac{m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\cos\theta  \end{bmatrix}  \end{array}

ผลที่ได้คือ

\vec{a}=\;\;\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\cos\theta\;\hat{i}\;\;-\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}g\sin^2\theta\;\hat{j}

\vec{A}=-\dfrac{m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\cos\theta\;\hat{i}

\vec{a}^\prime=\;\;\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\;\;\;\;\;\angle -\theta (ทิศลงตามแนวพื้นเอียง)
« Last Edit: December 20, 2016, 01:37:21 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Pages: « 1 2   Go Up
Print
Jump to: