บอลเด้งคิดอย่างไร

janerza

neutrino

Offline

Posts: 42

« on: September 24, 2008, 10:46:45 PM »

โจทย์ว่า :: ปล่อยลูกบอลจากที่สูง 20 เมตร ลงมากระทบพื้น ปรากฏว่าลูกบอลกระเด้งขึ้นไปได้สูง 10 เมตร และเมื่อตกลงมากระทบพื้นอีก จะกระเด้งขึ้นไปได้สูงอีกครึ่งหนึ่งของระยะที่มันตกลงมาทุกครั้ง อยากทราบว่ถ้าปล่อยให้ลูกบอลกระเด้งไปเรื่อยๆ จะใช้เวลานานเท่าใดลูกบอลจึงหยุดบนพื้น

สงสัยนานแล้วครับ ช่วยตอบที


	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: บอลเด้งคิดอย่างไร

« Reply #1 on: September 24, 2008, 10:59:04 PM »

Quote from: janerza on September 24, 2008, 10:46:45 PM

1.ใช้หลักการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงแบบความเร่งคงที่ มีสมการว่า $v^2 = u^2 + 2a \Delta y$ และ $\Delta y = ut + \dfrac{1}{2}at^2$
( $v$ คือความเร็วปลาย $u$ คือความเร็วตั้งต้น $a$ คือความเร่ง(คงที่) $\Delta y$ ความสูงที่เปลี่ยนไป $t$ คือช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ 1 ครั้ง) <--- คือเราต้องแยกคิดหา $t_1 , t_2 , t_3 , ...$ ของช่วงการกระเด้งแต่ละครั้ง(คิดเอาเองก่อนครับว่าต้องทำอย่างไร

)แล้วนำมาบวกกันเป็นเวลารวมครับ
2.ใช้เรื่องของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ นั่นคือ $S_{\infty} = \dfrac{A}{1-r}$ เมื่อ $\left| r \right| \leqslant 1$ (อนุกรม $A + Ar + Ar^1 + Ar^2 + ...$ ครับ)
ลองทำดูครับ Wink


« Last Edit: September 24, 2008, 11:01:41 PM by Great »	Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home

janerza

neutrino

Offline

Posts: 42

Re: บอลเด้งคิดอย่างไร

« Reply #2 on: September 25, 2008, 07:53:23 PM »

ขอบพระทัยพี่เกรทมากๆครับ (T.Tซาบซึ้ง) แต่ ยังทำไม่ได้อยู่ดี - - เพราะยังไม่เคยเรียนอนุกรมเลขคณิตเลย คงต้องเทียมเกวียนไปเรื่อยๆ ก็คงได้เอง...(พี่ช่วยแสดงวิทยายุทธให้ผมดูทีนะครับ Plz)


« Last Edit: September 25, 2008, 07:55:30 PM by janerza »	Logged

Great

SuperHelper

Offline

Posts: 1123

물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม

Re: บอลเด้งคิดอย่างไร

« Reply #3 on: September 25, 2008, 09:10:11 PM »

สมมติเราแบ่งการเคลื่อนที่ทั้งหมดเป็นดังนี้
ช่วงแรก = ช่วงที่ลูกบอลถูกปล่อยและตกลงมาถึงพื้น ใช้เวลา $\Delta t_0$
ช่วงหลัง = ช่วงที่ลูกบอลกระดอนไปเรื่อยๆ กำหนดให้ "การกระเด้งขึ้น ไปถึงสูงสุด และตกกลับลงมาถึงพื้น" ใช้เวลา ${\Delta t_i }$ โดย i=1,2,3,... แทนกระดอนครั้งที่ 1,2,3,... ตามลำดับ

พิจารณาช่วงแรก ลูกบอลถูกปล่อยตกลงมาด้วยความเร่งคงที่ $g$ ดังนั้น
$\displaystyle{\Delta y_0 = u_0 \Delta t_0 + {1 \over 2}a\left( {\Delta t_0 } \right)^2 }$
$\displaystyle{h_o = 0 + {1 \over 2}g\left( {\Delta t_0 } \right)^2 }$
$\displaystyle{\Delta t_0 = \sqrt {{{2h_o } \over g}} }$ เก็บไว้

พิจารณาช่วงหลัง พิจารณา "การกระเด้งขึ้น ไปถึงสูงสุด" พบว่าครั้งแรกกระเด้งขึ้นไปได้ $\varepsilon h_o$ โดย $\varepsilon = \dfrac{1}{2}$ ตามที่โจทย์กำหนด นี่กินเวลาเป็น $\dfrac{{\Delta t_1 }}{2}$ ดังนั้น
จากการเคลื่อนที่ i ใดๆ
$\displaystyle{\Delta y_i = v_i \Delta \dfrac{t_i}{2} - {1 \over 2}a \left( {{{\Delta t_i } \over 2}} \right)^2 }$
จะได้ว่า
$\displaystyle{\varepsilon h_o = \left( 0 \right){{\Delta t_1 } \over 2} - {1 \over 2}(-g)\left( {{{\Delta t_1 } \over 2}} \right)^2 }$
$\displaystyle{\Delta t_1 = 2\sqrt {{{2\varepsilon h_o } \over g}} }$ เก็บไว้
เมือพิจารณา "การกระเด้ง ไปถึงสูงสุด ตกกลับลงมา" ครั้งที่ 2 จะได้ว่า ใช้เวลาไป
$\displaystyle{\Delta t_2 = 2\sqrt {{{2\varepsilon ^2 h_o } \over g}} }$ เก็บไว้
ครั้งที่ 3 ใช้เวลา
$\displaystyle{\Delta t_3 = 2\sqrt {{{2\varepsilon ^3 h_o } \over g}} }$
เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆๆๆ

ดังนั้น กินเวลาไปทั้งหมดเป็น
$T = \Delta t_0 + \Delta t_1 + \Delta t_2 + ...$
$\displaystyle{T = \sqrt {{{2h_o } \over g}} + 2\sqrt {{{2\varepsilon h_o } \over g}} + 2\sqrt {{{2\varepsilon ^2 h_o } \over g}} + 2\sqrt {{{2\varepsilon ^3 h_o } \over g}} + ...}$
$\displaystyle{T = \sqrt {{{2h_o } \over g}} \left\{ {1 + 2\sqrt \varepsilon + 2\left( {\sqrt \varepsilon } \right)^2 + 2\left( {\sqrt \varepsilon } \right)^3 + ...} \right\}}$
$\displaystyle{T = \sqrt {{{2h_o } \over g}} \left\{ { - 1 + 2\left[ {1 + \sqrt \varepsilon + \left( {\sqrt \varepsilon } \right)^2 + \left( {\sqrt \varepsilon } \right)^3 + ...} \right]} \right\}}$

พิจารณาก้อนอนุกรมอนันต์ด้านหลัง สมมติว่ากระดอนไปแล้ว n-1 ครั้ง เรา"สั่ง"ให้
$\displaystyle{\lambda _n = 1 + \sqrt \varepsilon + \left( {\sqrt \varepsilon } \right)^2 + \left( {\sqrt \varepsilon } \right)^3 + ... + \left( {\sqrt \varepsilon } \right)^{n - 1} }$
{{1 \over {1 - \sqrt \varepsilon }}} \right]} \right\}}[/tex]
$\displaystyle{T = \sqrt {{{2\left( {20\;{\rm{m}}} \right)} \over {\left( {9.8\;{\rm{m/s}}^{\rm{2}} } \right)}}} \left\{ { - 1 + 2\left[ {{1 \over {1 - {1 \over {\sqrt 2 }}}}} \right]} \right\}}$
$T \approx 11.8\;{\rm{s}} \approx 12\;{\rm{s}}$ ตอบ coolsmiley