ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

...

เสรีภาพทางการศึกษาคือหัวใจของการศึกษาที่แท้จริง

คนแรกที่ควรได้รับการศึกษาคือผู้ให้การศึกษา

mPEC on Facebook

IPhO 2011 on Facebook

IPhO 2011

Further Academy
 
Advanced search

37976 Posts in 5626 Topics- by 4057 Members - Latest Member: elevatorthailand
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์การกลิ้งของวัตถุบนรางรูป Cycloid {ลงเฉลยแล้วครับ}
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: การกลิ้งของวัตถุบนรางรูป Cycloid {ลงเฉลยแล้วครับ}  (Read 5574 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« on: July 21, 2008, 10:46:28 PM »
เมื่อวานนี้พี่ Conantee มาติวรุ่นน้องที่โรงเรียนครับ และได้ปล่อยโจทย์ Ultimate มา

โจทย์มีอยู่ว่า

[นิยาม:รูป Cycloid คือรูปร่างที่เกิดจากการนำจุดใดๆไปแปะไว้ที่ขอบจานรัศมี R แล้วกลิ้งจานแบบไม่ไถล ลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดนั้นเราเรียกว่าเป็นรูป Cycloid]  จงพิสูจน์ว่า เมื่อนำรูป Cycloid มาทำเป็นรางแล้วนำวัตถุไปปล่อยให้เคลื่อนที่ไปบนรางนั้น คาบการสั่นจะมีค่าเท่ากัน ไม่ว่าจะมีแอมพลิจูดโตแค่ไหนก็ตาม

วันนี้พี่ Conantee ได้นำมาเฉลยให้ดู เพื่อนๆในห้องต่างก็บรรลุโสดาบันกันไปทั่วหน้า 2funny
« Last Edit: October 18, 2008, 05:52:10 PM by Mwit_Psycoror » Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« Reply #1 on: July 23, 2008, 11:14:18 PM »
ไม่มีใครสนใจจะลองทำดูเลยเหรอครับ  Huh
Logged
tip
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 194
« Reply #2 on: July 24, 2008, 01:51:22 PM »
รางในที่นี้เหมือนเอารูปCycloidมาวางหงายหรือเปล่่าครับ idiot2
Logged
owlpenguin
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 26
« Reply #3 on: July 24, 2008, 06:23:34 PM »
Quote from: Mwit_Psycoror on July 21, 2008, 10:46:28 PM
เมื่อวานนี้พี่ Conantee มาติวรุ่นน้องที่โรงเรียนครับ และได้ปล่อยโจทย์ Ultimate มา

โจทย์มีอยู่ว่า

[นิยาม:รูป Cycloid คือรูปร่างที่เกิดจากการนำจุดใดๆไปแปะไว้ที่ขอบจานรัศมี R แล้วกลิ้งจานแบบไม่ไถล ลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดนั้นเราเรียกว่าเป็นรูป Cycloid]  จงพิสูจน์ว่า เมื่อนำรูป Cycloid มาทำเป็นรางแล้วนำวัตถุไปปล่อยให้เคลื่อนที่ไปบนรางนั้น คาบการสั่นจะมีค่าเท่ากัน ไม่ว่าจะมีแอมพลิจูดโตแค่ไหนก็ตาม

วันนี้พี่ Conantee ได้นำมาเฉลยให้ดู เพื่อนๆในห้องต่างก็บรรลุโสดาบันกันไปทั่วหน้า 2funny
คาบการสั่นนี่คืออะไรครับ? idiot2
Logged
Peace
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 477
« Reply #4 on: July 25, 2008, 02:14:45 AM »
ผ่านมาดู

Quote from: tip on July 24, 2008, 01:51:22 PM
รางในที่นี้เหมือนเอารูปCycloidมาวางหงายหรือเปล่่าครับ idiot2

ใช่ครับ  coolsmiley


ส่วนคาบการสั่นคือเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่จนครบรอบครับ

วิธีนึงคือสมมุติเริ่มปล่อยวัตถุจากหยุดนิ่งที่ความสูงค่าหนึ่ง แล้วหาเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่จากจุดนั้นลงไปยังจุดต่ำสุด แล้วก็...ทำต่อไป อิอิ

(หวังว่าคงไม่ใบ้เยอะเกินไปนะครับ)
Logged
น้ำเงินขาว ดาวสวรรค์ ปัญญาชน เราทุกคนคือตราสถาบัน

P.S.P.2 สายวิทย์เฮฮา
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« Reply #5 on: July 27, 2008, 12:21:47 AM »
ขอบคุณพี่ Peace ที่ช่วยตอบคำถามให้ครับ  smitten
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« Reply #6 on: August 10, 2008, 06:22:14 PM »
ดูท่าว่าจะไม่มีใครอยากทำกันเลย  Cry งั้นเดี๋ยวผมจเริ่มให้สักนิดก็แล้วกันครับ

เราพิจารณาวงล้อรัศมี R เมื่อนำจุดไปแปะไว้ พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุด เราสามารถเขียนเป็นสมการพารามิเตอร์ โดยที่มีตัวแปรเป็
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 897


มีอะไร ใช้อย่างนั้น
« Reply #7 on: September 15, 2008, 04:22:52 PM »
\dot x = R \dot \theta (1 - \cos \theta)
\dot y = R \dot \theta \sin \theta

\dot x ^2 + \dot y ^2 = (R \dot \theta)^2 (1 - \cos \theta)

แทนค่าเข้าไป
mgy = \dfrac{1}{2}m(\dot x ^2 + \dot y ^2)
g/R = \dot \theta ^2

เพราะว่า
\omega = \dfrac{d\theta}{dt}= \dot \theta = \sqrt {g/R}
T = \dfrac{2 \pi}{\sqrt{ g/R}}
« Last Edit: September 15, 2008, 04:33:45 PM by Foggy_Ritchy » Logged
อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ

Our greatest glory is not in never falling but in rising every time we fall. ----Confucius
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« Reply #8 on: September 21, 2008, 12:14:30 PM »
Quote from: Foggy_Ritchy on September 15, 2008, 04:22:52 PM
\dot x = R \dot \theta (1 - \cos \theta)
\dot y = R \dot \theta \sin \theta

\dot x ^2 + \dot y ^2 = (R \dot \theta)^2 (1 - \cos \theta)

แทนค่าเข้าไป
mgy = \dfrac{1}{2}m(\dot x ^2 + \dot y ^2)
g/R = \dot \theta ^2

เพราะว่า
\omega = \dfrac{d\theta}{dt}= \dot \theta = \sqrt {g/R}
T = \dfrac{2 \pi}{\sqrt{ g/R}}


ผิดครับ

พี่ Foggy_ritchy ลองแทนค่าดูใหม่คร้บ ตรงที่เอาค่าต่างๆไปแทนในสมการพลังงานครับ

จะเห็นว่าพี่เอาค่า x ไปแทนใน mgy  Shocked
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 897


มีอะไร ใช้อย่างนั้น
« Reply #9 on: September 23, 2008, 02:37:08 PM »
\begin{array}{rcl}mgy &=& \dfrac{1}{2}m(\dot x ^2 + \dot y ^2) \\\\ \because y &=& R(1-\cos \theta) \\\\mgR(1- \cos\theta)&=& \dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{(1-\cos \theta)^2 + \sin ^2 \theta \right\}\\\\&=&\dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{(1- 2 \cos \theta + \cancelto{1}{\cos^2 \theta + \sin ^2} \theta\ \ \ \right\}\\\\&=& \dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{2- 2 \cos \theta \right\}\\\\&=& \dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{2- 2 \cos \theta \right\}\\\\mgR\cancel{(1- \cos\theta)}&=& mR^2 \dot \theta ^2 \left\{\cancel{(1- \cos \theta)} \right\}\\\\\ \therefore \ \dfrac{g}{R}&=& \dot \theta ^2 \end{array}

 idiot2
Logged
อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ

Our greatest glory is not in never falling but in rising every time we fall. ----Confucius
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 782


Reality is the average of all illusion
« Reply #10 on: October 18, 2008, 05:51:49 PM »
ขออภัยครับที่ปล่อยไว้นาน(วันนี้อยู่ในค่ายเห็นรุ่นน้องนั่งคิดกันก็เลยเอามาคิดบ้าง Grin)สมการที่ผมตั้งมามันไม่ถูกซะทีเดียวเพราะว่ามันต้องเป็น

-mg(y-y_0)=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)

ข้างหน้า mgy เป็นลบเพราะว่ามันเป็นไซคลอยหงายไมใช่ไซคลอยคว่ำ
แทนค่าต่างๆเข้าไปจะได้เป็น

mgR(\cos\theta_0-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2(1-2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta)
g(\cos\theta_0-\cos\theta)=R\dot{\theta}^2(1-\cos\theta)
\dfrac{d}{dt}\theta=\sqrt{\dfrac{g}{R}}\sqrt{\dfrac{\cos\theta_0-\cos\theta}{1-\cos\theta}}

ย้ายข้างลงไปหาร แล้วอินทีเกรททั้งงสองข้างแทนลิมิตจะได้ว่า

\displaystyle{\sqrt{\dfrac{R}{g}}{\int_{\theta=\theta_0}^{\pi}\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{\cos\theta_0-\cos\theta}}d\theta=\int_{t=0}^tdt}=\dfrac{T}{4}

ในการอินทีเกรท ทำได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ \cos\theta=2\cos^2\dfrac{\theta}{2}-1=1-\sin^2\dfrac{\theta}{2}

แทนค่าเหล่านี้เข้าไปในอินทีกรัลเมื่อกี๊ได้เป็น

\displaystyle{\int_{\theta=\theta_0}^{\pi}\dfrac{\sqrt{2}\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}d\theta=\int_{\theta=\theta_0}^{\pi}\dfrac{\sqrt{2}\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{2\cos^2\dfrac{\theta_0}{2}-2\cos^2\dfrac{\theta}{2}}}d\theta}=-2\int_{\cos\frac{\theta}{2}=cos\frac{\theta_0}{2}}^{0}\dfrac{d\cos\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{\cos^2\dfrac{\theta_0}{2}-\cos^2\dfrac{\theta}{2}}}}}
\displaystyle=2\int_{\cos\frac{\theta}{2}=0}^{cos\frac{\theta_0}{2}}\dfrac{d\cos\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{\cos^2\dfrac{\theta_0}{2}-\cos^2\dfrac{\theta}{2}}}}

สมการด้านบนเราอาจจะเขียนเป็น \displaystyle=2\int_{x=0}^{x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^2-x^2}}}=2(\arcsin\dfrac{x_0}{x_0}-\arcsin\dfrac{0}{x_0})=\pi}ซึ่งไม่ขึ้นสั่นเล็กๆบนรางไซคลอยเป็นการสั่นบนรางวงกลมรัศมี 4Rได้   coolsmiley
« Last Edit: October 18, 2008, 06:08:09 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 897


มีอะไร ใช้อย่างนั้น
« Reply #11 on: November 21, 2008, 11:37:28 PM »
http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat6/calc51.htm

ยากจริงโจทย์ประเภทนี้
« Last Edit: November 22, 2008, 12:20:37 AM by Foggy_Ritchy » Logged
อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ

Our greatest glory is not in never falling but in rising every time we fall. ----Confucius
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น