มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41237 Posts in 6173 Topics- by 8010 Members - Latest Member: สุกัญญา
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์การกลิ้งของวัตถุบนรางรูป Cycloid {ลงเฉลยแล้วครับ}
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: การกลิ้งของวัตถุบนรางรูป Cycloid {ลงเฉลยแล้วครับ}  (Read 10360 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« on: July 21, 2008, 10:46:28 PM »

เมื่อวานนี้พี่ Conantee มาติวรุ่นน้องที่โรงเรียนครับ และได้ปล่อยโจทย์ Ultimate มา

โจทย์มีอยู่ว่า

[นิยาม:รูป Cycloid คือรูปร่างที่เกิดจากการนำจุดใดๆไปแปะไว้ที่ขอบจานรัศมี R แล้วกลิ้งจานแบบไม่ไถล ลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดนั้นเราเรียกว่าเป็นรูป Cycloid]  จงพิสูจน์ว่า เมื่อนำรูป Cycloid มาทำเป็นรางแล้วนำวัตถุไปปล่อยให้เคลื่อนที่ไปบนรางนั้น คาบการสั่นจะมีค่าเท่ากัน ไม่ว่าจะมีแอมพลิจูดโตแค่ไหนก็ตาม

วันนี้พี่ Conantee ได้นำมาเฉลยให้ดู เพื่อนๆในห้องต่างก็บรรลุโสดาบันกันไปทั่วหน้า 2funny
« Last Edit: October 18, 2008, 05:52:10 PM by Mwit_Psycoror » Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #1 on: July 23, 2008, 11:14:18 PM »

ไม่มีใครสนใจจะลองทำดูเลยเหรอครับ  Huh
Logged
tip
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 194


« Reply #2 on: July 24, 2008, 01:51:22 PM »

รางในที่นี้เหมือนเอารูปCycloidมาวางหงายหรือเปล่่าครับ idiot2
Logged
owlpenguin
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 26


« Reply #3 on: July 24, 2008, 06:23:34 PM »

เมื่อวานนี้พี่ Conantee มาติวรุ่นน้องที่โรงเรียนครับ และได้ปล่อยโจทย์ Ultimate มา

โจทย์มีอยู่ว่า

[นิยาม:รูป Cycloid คือรูปร่างที่เกิดจากการนำจุดใดๆไปแปะไว้ที่ขอบจานรัศมี R แล้วกลิ้งจานแบบไม่ไถล ลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดนั้นเราเรียกว่าเป็นรูป Cycloid]  จงพิสูจน์ว่า เมื่อนำรูป Cycloid มาทำเป็นรางแล้วนำวัตถุไปปล่อยให้เคลื่อนที่ไปบนรางนั้น คาบการสั่นจะมีค่าเท่ากัน ไม่ว่าจะมีแอมพลิจูดโตแค่ไหนก็ตาม

วันนี้พี่ Conantee ได้นำมาเฉลยให้ดู เพื่อนๆในห้องต่างก็บรรลุโสดาบันกันไปทั่วหน้า 2funny
คาบการสั่นนี่คืออะไรครับ? idiot2
Logged
Peace
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 477


« Reply #4 on: July 25, 2008, 02:14:45 AM »

ผ่านมาดู

รางในที่นี้เหมือนเอารูปCycloidมาวางหงายหรือเปล่่าครับ idiot2

ใช่ครับ  coolsmiley


ส่วนคาบการสั่นคือเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่จนครบรอบครับ

วิธีนึงคือสมมุติเริ่มปล่อยวัตถุจากหยุดนิ่งที่ความสูงค่าหนึ่ง แล้วหาเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่จากจุดนั้นลงไปยังจุดต่ำสุด แล้วก็...ทำต่อไป อิอิ

(หวังว่าคงไม่ใบ้เยอะเกินไปนะครับ)
Logged

น้ำเงินขาว ดาวสวรรค์ ปัญญาชน เราทุกคนคือตราสถาบัน

P.S.P.2 สายวิทย์เฮฮา
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #5 on: July 27, 2008, 12:21:47 AM »

ขอบคุณพี่ Peace ที่ช่วยตอบคำถามให้ครับ  smitten
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #6 on: August 10, 2008, 06:22:14 PM »

ดูท่าว่าจะไม่มีใครอยากทำกันเลย  Cry งั้นเดี๋ยวผมจเริ่มให้สักนิดก็แล้วกันครับ

เราพิจารณาวงล้อรัศมี R เมื่อนำจุดไปแปะไว้ พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุด เราสามารถเขียนเป็นสมการพารามิเตอร์ โดยที่มีตัวแปรเป็
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #7 on: September 15, 2008, 04:22:52 PM »

 \dot x = R \dot \theta (1 - \cos \theta)
 \dot y = R \dot \theta \sin \theta

 \dot x ^2 + \dot y ^2 = (R \dot \theta)^2 (1 - \cos \theta)

แทนค่าเข้าไป
 mgy = \dfrac{1}{2}m(\dot x ^2 + \dot y ^2)
 g/R = \dot \theta ^2

เพราะว่า
 \omega = \dfrac{d\theta}{dt}= \dot \theta = \sqrt {g/R}
 T = \dfrac{2 \pi}{\sqrt{ g/R}}
« Last Edit: September 15, 2008, 04:33:45 PM by Foggy_Ritchy » Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #8 on: September 21, 2008, 12:14:30 PM »

 \dot x = R \dot \theta (1 - \cos \theta)
 \dot y = R \dot \theta \sin \theta

 \dot x ^2 + \dot y ^2 = (R \dot \theta)^2 (1 - \cos \theta)

แทนค่าเข้าไป
 mgy = \dfrac{1}{2}m(\dot x ^2 + \dot y ^2)
 g/R = \dot \theta ^2

เพราะว่า
 \omega = \dfrac{d\theta}{dt}= \dot \theta = \sqrt {g/R}
 T = \dfrac{2 \pi}{\sqrt{ g/R}}


ผิดครับ

พี่ Foggy_ritchy ลองแทนค่าดูใหม่คร้บ ตรงที่เอาค่าต่างๆไปแทนในสมการพลังงานครับ

จะเห็นว่าพี่เอาค่า x ไปแทนใน mgy  Shocked
Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #9 on: September 23, 2008, 02:37:08 PM »

 \begin{array}{rcl}mgy &=& \dfrac{1}{2}m(\dot x ^2 + \dot y ^2) \\\\ \because y &=& R(1-\cos \theta) \\\\mgR(1- \cos\theta)&=& \dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{(1-\cos \theta)^2 + \sin ^2 \theta  \right\}\\\\&=&\dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{(1- 2 \cos \theta + \cancelto{1}{\cos^2 \theta  + \sin ^2} \theta\ \ \  \right\}\\\\&=& \dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{2- 2 \cos \theta \right\}\\\\&=& \dfrac{1}{2}mR^2 \dot \theta ^2 \left\{2- 2 \cos \theta \right\}\\\\mgR\cancel{(1- \cos\theta)}&=& mR^2 \dot \theta ^2 \left\{\cancel{(1- \cos \theta)} \right\}\\\\\ \therefore \  \dfrac{g}{R}&=& \dot \theta ^2 \end{array}

 idiot2
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #10 on: October 18, 2008, 05:51:49 PM »

ขออภัยครับที่ปล่อยไว้นาน(วันนี้อยู่ในค่ายเห็นรุ่นน้องนั่งคิดกันก็เลยเอามาคิดบ้าง Grin)สมการที่ผมตั้งมามันไม่ถูกซะทีเดียวเพราะว่ามันต้องเป็น

-mg(y-y_0)=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)

ข้างหน้า mgy เป็นลบเพราะว่ามันเป็นไซคลอยหงายไมใช่ไซคลอยคว่ำ
แทนค่าต่างๆเข้าไปจะได้เป็น

mgR(\cos\theta_0-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2(1-2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta)
g(\cos\theta_0-\cos\theta)=R\dot{\theta}^2(1-\cos\theta)
\dfrac{d}{dt}\theta=\sqrt{\dfrac{g}{R}}\sqrt{\dfrac{\cos\theta_0-\cos\theta}{1-\cos\theta}}

ย้ายข้างลงไปหาร แล้วอินทีเกรททั้งงสองข้างแทนลิมิตจะได้ว่า

\displaystyle{\sqrt{\dfrac{R}{g}}{\int_{\theta=\theta_0}^{\pi}\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{\cos\theta_0-\cos\theta}}d\theta=\int_{t=0}^tdt}=\dfrac{T}{4}

ในการอินทีเกรท ทำได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ \cos\theta=2\cos^2\dfrac{\theta}{2}-1=1-\sin^2\dfrac{\theta}{2}

แทนค่าเหล่านี้เข้าไปในอินทีกรัลเมื่อกี๊ได้เป็น

\displaystyle{\int_{\theta=\theta_0}^{\pi}\dfrac{\sqrt{2}\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}d\theta=\int_{\theta=\theta_0}^{\pi}\dfrac{\sqrt{2}\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{2\cos^2\dfrac{\theta_0}{2}-2\cos^2\dfrac{\theta}{2}}}d\theta}=-2\int_{\cos\frac{\theta}{2}=cos\frac{\theta_0}{2}}^{0}\dfrac{d\cos\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{\cos^2\dfrac{\theta_0}{2}-\cos^2\dfrac{\theta}{2}}}}}
\displaystyle=2\int_{\cos\frac{\theta}{2}=0}^{cos\frac{\theta_0}{2}}\dfrac{d\cos\dfrac{\theta}{2}}{\sqrt{\cos^2\dfrac{\theta_0}{2}-\cos^2\dfrac{\theta}{2}}}}

สมการด้านบนเราอาจจะเขียนเป็น \displaystyle=2\int_{x=0}^{x_0}\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^2-x^2}}}=2(\arcsin\dfrac{x_0}{x_0}-\arcsin\dfrac{0}{x_0})=\pi}ซึ่งไม่ขึ้นสั่นเล็กๆบนรางไซคลอยเป็นการสั่นบนรางวงกลมรัศมี 4Rได้   coolsmiley
« Last Edit: October 18, 2008, 06:08:09 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #11 on: November 21, 2008, 11:37:28 PM »

http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat6/calc51.htm

ยากจริงโจทย์ประเภทนี้
« Last Edit: November 22, 2008, 12:20:37 AM by Foggy_Ritchy » Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น