ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41238 Posts in 6174 Topics- by 8089 Members - Latest Member: ณภัทร ด่านชนะ
mPEC Forumฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุนฟิสิกส์โอลิมปิก ระหว่างประเทศแบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551  (Read 11151 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6276


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: May 23, 2008, 07:34:58 PM »

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551

ข้อ 1

จรวดลำหนึ่งเดินทางออกจากโลกที่เวลา t=0 และเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งคงตัว a เทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยขณะหนึ่งของตัวมันเอง (กรอบอ้างอิงเฉื่อยซึ่งมีความเร็วเท่ากับจรวด ณ เวลานั้น )  จงแสดงว่าความเร่งของจรวดเทียบกับกรอบอ้างอิงของโลก ณ เวลาใด ๆ หลังจากออกเดินทางจากโลกคือ (1-v^2/c^2)^{3/2}a โดยที่ v คือความเร็วของจรวดเทียบกับโลก ณ เวลาขณะนั้น

จงคำนวณระยะทางที่จรวดเดินทางได้ทั้งหมดเทียบกับโลกที่เวลา t และโดยการสมมุติว่าคงความเร่งของจรวดได้อย่างนั้นไปตลอด ให้แสดงว่าสัญญาณแสงที่ส่งจากโลกไปยังจรวดที่เวลา t จะไล่ท้นจรวดก็ต่อเมื่อ t<c/a

ข้อ 2

ถ้าผู้สังเกต A วัดว่าวัตถุ B และ C กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \vec u และ \vec v ตามลำดับ จงแสดงว่าความเร็ว \vec w ของ B เทียบกับ C มีขนาดซึ่งหาได้จากสมการต่อไปนี้

w^2=\dfrac{(\vec u - \vec v) \cdot (\vec u - \vec v) - (\vec u \times \vec v) \cdot (\vec u \times \vec v)/c^2  }{(1-(\vec u \cdot \vec v)/c^2)^2}
« Last Edit: May 23, 2008, 08:30:54 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #1 on: May 23, 2008, 10:39:06 PM »

t เป็นเวลาในกรอบในหรอครับ
« Last Edit: May 24, 2008, 10:57:20 AM by NiG » Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #2 on: May 23, 2008, 10:59:31 PM »

ขอลองทำนะครับ (แม้ผมจะไม่ได้เข้าค่าย5คนปีนี้ก็ตาม  buck2)
ข้อ1 (ยังทำไม่เสร็จนะครับ  Grin)
เนื่องจากว่า แรงคืออัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ให้ทิศ +X เป็นทิศชี้ไปทางเดียวกับที่จรวดเคลื่อนที่
และผมขอตั้งสมมติฐานว่า อัตราที่มวลจรวดเปลี่ยนไปต่อเวลาเป็นศูนย์ (ผมกำลังหาเหตุผลที \dfrac{dm}{dt}= 0 อยู่ครับ แต่ตอนนี้คิดออกมาเป็นแบบนี้ แหะๆ)
F_x  = {d \over {dt}}\left( {\gamma mv_x } \right)
โดยที่
\gamma = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{ - 1/2}
และดิฟเฟอเรนชิเอตอย่างรวดเร็วได้ว่า
F = m\gamma ^3 a
เนื่องจากว่าแรงในทิศการเคลื่อนที่ ในกรอบอ้างอิงที่นิ่งเทียบจรวด ต้องมีขนาดเท่าแรงในทิศการเคลื่อนที่ที่สังเกตได้ในกรอบที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กับมัน ในขณะนั้นๆ
F_e  = F_r
e: สังเกตบนโลก r:สังเกตในกรอบจรวด
นั่นคือ
m\gamma _e ^3 a_e  = m\gamma _r ^3 a_r
และจากโจทย์จะได้ว่า
\gamma _e  = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{ - 1/2}
\gamma _r  = \left\{ {1 - \left( {0/c} \right)^2 } \right\}^{ - 1/2}  = 1
a_r  = a
จึงได้ว่า
a_e  = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{3/2} a

เนื่องจากว่า
\displaystyle{a_e  = {{dv} \over {dt}} = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{3/2} a}
\displaystyle{\left( {a/c} \right)dt = {1 \over {\left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{3/2} }}d\left( {v/c} \right)}
ให้ \beta  \equiv v/c
\displaystyle{\int\limits_0^t {\left( {a/c} \right)dt}  = \int\limits_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} {{1 \over {\left\{ {1 - \beta ^2 } \right\}^{3/2} }}d\beta } }
ให้
\displaystyle{\cos \theta  \equiv \left\{ {1 - \beta ^2 } \right\}^{1/2} }
ได้
\sin \theta  = \beta
d\beta  = \cos \theta d\theta
ทำให้
\displaystyle{\int\limits_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} {{1 \over {\left\{ {1 - \beta ^2 } \right\}^{3/2} }}d\beta }  = \int\limits_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} {{1 \over {\cos ^2 \theta }}d\theta }  = \left[ {\tan \theta } \right]_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} }
\displaystyle{\left[ {\tan \theta } \right]_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c}  = \left[ {{\beta  \over {\sqrt {1 - \beta ^2 } }}} \right]_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c}  = {{v/c} \over {\sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } }}}
นั่นคือ
\displaystyle{t = {v \over {a\sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } }}}
และแก้สมการต่อได้ว่า
\displaystyle{v = {{at} \over {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } }}}
และ
dx = vdt
\displaystyle{\int\limits_0^x {dx}  = \int\limits_0^t {{{at} \over {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } }}dt} }
\displaystyle{x = {a \over 2}\int\limits_0^t {{1 \over {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } }}d\left( {t^2 } \right)} }
ให้
\zeta ^2  \equiv 1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2
2\zeta d\zeta  = \left( {a/c} \right)^2 d\left( {t^2 } \right)
\displaystyle{d\left( {t^2 } \right) = {{2c^2 \zeta d\zeta } \over {a^2 }}}
ทำให้
\displaystyle{x = {a \over 2}\int\limits_{t = 0}^{t = t} {{{2c^2 \zeta d\zeta } \over {a^2 \zeta }}} }
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\int\limits_{t = 0}^{t = t} {d\zeta } }
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left[ {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } } \right]_0^t }
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left( {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 }  - 1} \right)} คือระยะที่จรวดเคลื่อนที่ไปได้เมื่อเวลา บนโลก /tex]
แทนค่าจัดรูปอย่างรวดเร็วได้ว่า
\displaystyle{t = {c \over a}\sinh \left( {{{a\tau } \over c}} \right)}
ทำให้
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left( {\sqrt {1 + \sinh ^2 \left( {{{a\tau } \over c}} \right)}  - 1} \right)}
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left( {\cosh \left( {{{a\tau } \over c}} \right) - 1} \right)}  uglystupid2

สมองเบลอแล้วครับ เพิ่งดูนาฬิกาว่าดึกมากๆๆแล้ว หากผมจุดผิด รบกวนบอกด้วยครับ  icon adore
« Last Edit: March 14, 2009, 04:40:20 PM by Great » Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6276


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #3 on: May 24, 2008, 08:31:31 AM »


t เป็นเวลาในกรอบในหรอครับ


อ่านโจทย์ดี ๆ  coolsmiley

...
จงคำนวณระยะทางที่จรวดเดินทางได้ทั้งหมดเทียบกับโลกที่เวลา t
...
« Last Edit: May 24, 2008, 01:35:16 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #4 on: May 24, 2008, 09:54:25 PM »

ข้อ2
เรื่องการแปลงความเร็ว (Velocity Addition) แปลงไปในกรอบของ C จะเห็น B เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \vec{w} ให้ตอนแรกความเร็วของ B และ C ทำมุมกัน \theta ในกรอบของA แล้วจึงไ
Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #5 on: May 24, 2008, 10:23:40 PM »

พิสูจน์อินทิกรัลที่ผมนำมาใช้ในข้อแรกครับ
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = ?}
ใช้ความรู้เรื่องเศษส่วนย่อย (Partial Fraction) ว่า
\displaystyle{{1 \over {1 - S^2 }} = {1 \over {\left( {1 - S} \right)\left( {1 + S} \right)}} = {1 \over 2}\left( {{1 \over {1 - S}} + {1 \over {1 + S}}} \right)}
ทำให้
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = {1 \over 2}\left\{ {\int {{{dS} \over {1 - S}} + \int {{{dS} \over {1 + S}}} } } \right\}}
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = {1 \over 2}\left\{ {\ln \left( {{{1 + S} \over {1 - S}}} \right)} \right\} + c}
แต่ว่า
\displaystyle{\tanh ^{ - 1} x = \ln \left( {{{\sqrt {1 - x^2 } } \over {1 - x}}} \right) = {1 \over 2}\ln \left( {{{1 + x} \over {1 - x}}} \right)}
(เครดิตนิยาม Inverse Hyperbolic Function : http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_function )
จึงได้ว่า
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = \tanh ^{ - 1} \left( S \right) + c}  laugh
แล \mbox{SeoHyun} ครับ  coolsmiley (แอบใช้ S ก็เพราะเหตุผลนี้โดยเฉพาะครับ แหะๆ Grin)
« Last Edit: May 24, 2008, 10:46:59 PM by Great » Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม


« Reply #6 on: June 02, 2008, 07:31:10 PM »

...
ถ้าหากว่าจะหาในรูปเวลาในกรอบจรวด \tau
เนื่องจากว่าช่วงเวลาในกรอบโลกเป็นช่วงเวลาเฉพาะและช่วงเวลาในกรอบจรวดเป็นช่วงเวลาที่ยืดออก (ไม่แน่ใจ -*-)
d\tau  = \sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } dt
...
อาจฟังกำกวม แต่ผมก็ยังงงกับตัวเองเลย - -* (ที่ผม quote มาอาจจะให้เหตุผลผิดก็ได้นะครับ แหะๆ) แต่ก็จะคิดแบบละเอียดโดยใช้การแปลงโลเร็นตซ์
d \tau = \dfrac{dt - (vdx/c^2)}{\sqrt{1-{(v/c)}^2}}
แต่ว่า dx = v dt
จึงได้ว่า
d \tau = \sqrt{1-{(v/c)}^2}} dt
นั่นบ่งว่าผมควรจะเปลี่ยนคำพูดเป็น เวลาในกรอบจรวดเป็นช่วงเวลาเฉพาะ และเวลาในกรอบของโลก เป็นช่วงเวลาที่ยืดออก  Grin (ทิ้งไว้ตั้งนาน เพิ่งจะมาแก้เอาวันนี้  buck2)

แต่ผมก็ยิ่งงงเข้าไปใหญ่เมื่อผมเจอโจทย์คล้ายข้อนี้ในหนังสือ Young & Freedman เล่ม 3 ที่อาจารย์ปิยพงษ์แปล
คือข้อ 39-66 ซึ่งผมสงสัยตอนผมทำเสร็จแล้วตรวจเฉลย พบว่ามีการเฉลยดังนี้
(ผมใช้สัญลักษณ์ที่สอดคล้องข้อนี้นะครับ)
เฉลยในซีดีบอกว่าเวลาในกรอบจรวดเป็นช่วงเวลาที่ยืดออก
d \tau = \gamma dt
และ dt = \dfrac{du}{a {(1 - {(v/c)}^2)}^{3/2}}
แล้วแทนค่าจัดรูปได้ว่า
d \tau = \dfrac{du}{a {(1 - {(v/c)}^2)}^{2}}
ซึ่งต่างจากที่ผมทำไว้ตอนแรก แต่เฉลยบอกว่า อินทิเกรตสมการนี้แล้วได้
\tau = \dfrac{c}{a} \mbox{arctanh} (\dfrac{v}{c}) ซึ่งตรงกับของผม
เลยเกิดอาการงงๆ เพราะผมว่าผมก็อินทิเกรตของผมมาถูกแล้ว (ตามที่พิสูจน์ไว้ Rep บน)

พบจุดผิดตรงไหน รบกวนชี้แจงด้วยครับ ตอนนี้ผมเริ่มสับสนชีวิต  uglystupid2
« Last Edit: March 14, 2009, 04:38:08 PM by Great » Logged

ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: