ข้อสงสัยบางเรื่องเกี่ยวกับ Exact differentiation

ขอตอบเลยละกัน

แบบคณิตศาสตร์
สำหรับบริเวณต่อเนื่องบริเวณหนึ่ง ตั้งชื่อว่า $G$ (ลองคิดถึงบริเวณของปริมาตรของรูปใดรูปหนึ่ง) เรามีทฤษฎี
$\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}\iff\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 \iff \vec{F} \; \text{is in the form}\; \vec{F}=-\vec{\nabla}U$

สำหรับ $\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}\iff\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$ พิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีของสโตกส์ $\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int\int\vec{\nabla}\times\vec{F}\cdot d\vec{S}$
ถ้า $\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}$ เราได้ $\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$ ทันที
ถ้า $\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$ เราวาดวงเล็กๆ ณ จุดใดๆ บน $G$ ซึ่งจากทฤษฎีของสโตกส์ เนื่องจากพื้นที่เล็กมากๆ และเราประมาณว่า curl คงที่ในนั้น เราจึงสรุปได้ว่า curl เป็นศูนย์ เพราะพื้นทีี่ไม่เป็นศูนย์

สำหรับ $\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}\iff \vec{F} \; \text{is in the form}\; \vec{F}=-\vec{\nabla}U$
การพิสูจน์จากหลังมาหน้านั้น พบได้ทันที
ส่วนการพิสูจน์จากหน้าไปหลังนั้น ต้องแก้สมการ $\partial_j F_k=\partial_k F_j$ ซึ่งจากประสบการณ์ ตัวดำเนินการนี้จะสลับที่กับตัวมันเองเท่านั้น ซึ่งเราก็เสร็จการพิสูจน์ทันที (อาจมีวิธีที่ดีกว่านี้)

การพิสูจน์ทั้งหมดที่ผ่านมา เป็นการพิสูจน์ว่าทฤษฎีถูกต้องครบถ้วน (กรณีนี้สำหรับใน 3 มิติ แต่สำหรับกรณีทั่วไปกว่านี้ เช่น จำนวนมิติมากขึ้น และ/หรือ เป็น tensor อันดับใดๆ ลองศึกษาเรื่อง differential form ซึ่งเกินหลักสูตรไปมาก)

ภ้า $\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$ จากทฤษฎี เราพบว่า $\vec{F} \; \text{is in the form}\; \vec{F}=-\vec{\nabla}U$ ซึ่งนั่นคือ $dU=-\vec{F}\cdot d\vec{r}$

แต่สำหรับกรณี electrodynamics นั้น ถ้าเราไปกำหนดว่า $dV=-\vec{E}\cdot d\vec{r}$ เราจะได้ $\oint\vec{E}\cdot d\vec{r}=0$ เสมอ เนื่องจากการอินทิเกรตปริมาณที่เขียนได้ในรูป $dV$ จะไม่ขึ้นกับเส้นทาง แต่จะขึ้นกับจุดปลายเท่านั้น

แม้ว่าเราใส่เวลาเป็นตัวแปรไปด้วย การอินทิเกรต $\oint\vec{E}\cdot d\vec{r}=0$ นั้น ทำในขณะใดๆ ดังนั้น $dt$ ก็เป็นศูนย์อยู่ดี

แบบฟิสิกส์
สำหรับ electrodynamics นั้น เราไม่ได้มีแค่ศักย์ที่เป็นสเกลาร์เท่านั้น แต่ก็ยังมีศักย์ที่เป็นเวกเตอร์ด้วย นั่นคือ เรามีศักย์เป็น $V$ กับ $\vec{A}$ (สองปริมาณนี้สามารถรวมกันเป็น 4-vector ได้) เราเขียนสนามไฟฟ้า กับสนามแม่เหล็กในรูปของศักย์โดย
$\vec{E}=-\vec{\nabla}V-\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}$
$\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$
ซึ่งถ้าลองแทนสมการแมกซ์เวลล์ดู จะพบว่าเป็นจริง

สรุปก็คือ สำหรับ electrodynamics เราไม่สามารถเขียน $dV=-\vec{E}\cdot d\vec{r}$ ได้ แต่เราจะเขียน $\vec{E}=-\vec{\nabla}V-\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}$