ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41578 Posts in 6276 Topics- by 9823 Members - Latest Member: Supakitt
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามปัญหาคณิตศาสตร์ข้อสงสัยบางเรื่องเกี่ยวกับ Exact differentiation
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: ข้อสงสัยบางเรื่องเกี่ยวกับ Exact differentiation  (Read 6246 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 780


Reality is the average of all illusion


« on: April 13, 2008, 12:00:38 AM »

ขอความกรณาณาช่วยผมด้วยครับ

คือโดยปกติแล้วนี่ เราอาจจะเขียนพลังงานศักย์เป็นเป็น

\displaystyle{dU=-\vec{F}\cdot \vec{dr} }

โดยที่จะเขียนงานเป็น Total differentiation เป้น dU=\dfrac{\partial U}{\partial x}dx+\dfrac{\partial U}{\partial y}dy+\dfrac{\partial U}{\partial z}dz


ซึ่งก็คือ dU=\vec{\nabla}U\cdot \vec{dr}

บ่งว่า \vec{F}=-\vec{\nabla}U

ผลที่ตามมาคือ \vec{\nabla}\times \vec{F}=0 และ สุดท้าย \displaystyle \oint \vec{F}\cdot\vec{dr}=0

ทว่า ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า Electro dynamics (ไฟฟ้าแม่เหล็กจลน์)

\displaystyle \oint \vec{E}\cdot\vec{dr}=-\frac{d}{dt}\phi _B

อยากทราบว่า ถ้า dV=-\vec{E}\cdot d\vec{r} แล้ว แสดงว่าไม่สามารถเขียนในรูปของ   dV=\dfrac{\partial V}{\partial x}dx+\dfrac{\partial V}{\partial y}dy+\dfrac{\partial V}{\partial z}dz  มันผิดหลักคณิตศาสตร์รึเปล่าครับ และ V เป็นฟังค์ชั่นอย่างไรกันแน่ครับ??

ขอบพระคุณมากครับ  smitten
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 780


Reality is the average of all illusion


« Reply #1 on: April 13, 2008, 12:02:45 AM »

เอ๊ะ พิมพ์ไปคิดไปเริ่มปิ๊ง

มันควรเขียนเป็น

dV=\dfrac{\partial V}{\partial x}dx+\dfrac{\partial V}{\partial y}dy+\dfrac{\partial V}{\partial z}dz+\dfrac{\partial V}{\partial t}dt รึเปล่าครับ

ขอบพระคุณล่วงหน้าครับ smitten
Logged
POKO
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #2 on: April 13, 2008, 06:46:03 PM »

ใบ้: Electrodynamics Smiley
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 780


Reality is the average of all illusion


« Reply #3 on: April 14, 2008, 01:28:44 PM »

ใบ้: Electrodynamics Smiley
ขอคำใบ้เพิ่มด้วยครับ  2funny  icon adore

มันน่าจะเป็นแบบ Reply 2 รึเปล่าครับ ขอบพระคุณครับ
Logged
POKO
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #4 on: April 14, 2008, 07:56:25 PM »

ขอตอบเลยละกัน

แบบคณิตศาสตร์
สำหรับบริเวณต่อเนื่องบริเวณหนึ่ง ตั้งชื่อว่า G (ลองคิดถึงบริเวณของปริมาตรของรูปใดรูปหนึ่ง) เรามีทฤษฎี
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}\iff\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 \iff \vec{F} \; \text{is in the form}\; \vec{F}=-\vec{\nabla}U

สำหรับ \vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}\iff\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 พิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีของสโตกส์ \oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int\int\vec{\nabla}\times\vec{F}\cdot d\vec{S}
ถ้า \vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0} เราได้ \oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 ทันที
ถ้า \oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 เราวาดวงเล็กๆ ณ จุดใดๆ บน G ซึ่งจากทฤษฎีของสโตกส์ เนื่องจากพื้นที่เล็กมากๆ และเราประมาณว่า curl คงที่ในนั้น เราจึงสรุปได้ว่า curl เป็นศูนย์ เพราะพื้นทีี่ไม่เป็นศูนย์

สำหรับ \vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}\iff \vec{F} \; \text{is in the form}\; \vec{F}=-\vec{\nabla}U
การพิสูจน์จากหลังมาหน้านั้น พบได้ทันที
ส่วนการพิสูจน์จากหน้าไปหลังนั้น ต้องแก้สมการ \partial_j F_k=\partial_k F_j ซึ่งจากประสบการณ์ ตัวดำเนินการนี้จะสลับที่กับตัวมันเองเท่านั้น ซึ่งเราก็เสร็จการพิสูจน์ทันที  (อาจมีวิธีที่ดีกว่านี้)

การพิสูจน์ทั้งหมดที่ผ่านมา เป็นการพิสูจน์ว่าทฤษฎีถูกต้องครบถ้วน (กรณีนี้สำหรับใน 3 มิติ  แต่สำหรับกรณีทั่วไปกว่านี้ เช่น จำนวนมิติมากขึ้น และ/หรือ เป็น tensor อันดับใดๆ ลองศึกษาเรื่อง differential form ซึ่งเกินหลักสูตรไปมาก)

ภ้า \oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 จากทฤษฎี เราพบว่า \vec{F} \; \text{is in the form}\; \vec{F}=-\vec{\nabla}U ซึ่งนั่นคือ dU=-\vec{F}\cdot d\vec{r}

แต่สำหรับกรณี electrodynamics นั้น ถ้าเราไปกำหนดว่า dV=-\vec{E}\cdot d\vec{r} เราจะได้ \oint\vec{E}\cdot d\vec{r}=0 เสมอ เนื่องจากการอินทิเกรตปริมาณที่เขียนได้ในรูป dV จะไม่ขึ้นกับเส้นทาง แต่จะขึ้นกับจุดปลายเท่านั้น

แม้ว่าเราใส่เวลาเป็นตัวแปรไปด้วย การอินทิเกรต \oint\vec{E}\cdot d\vec{r}=0 นั้น ทำในขณะใดๆ ดังนั้น dt ก็เป็นศูนย์อยู่ดี

แบบฟิสิกส์
สำหรับ electrodynamics นั้น เราไม่ได้มีแค่ศักย์ที่เป็นสเกลาร์เท่านั้น แต่ก็ยังมีศักย์ที่เป็นเวกเตอร์ด้วย นั่นคือ เรามีศักย์เป็น V กับ \vec{A} (สองปริมาณนี้สามารถรวมกันเป็น 4-vector ได้) เราเขียนสนามไฟฟ้า กับสนามแม่เหล็กในรูปของศักย์โดย
\vec{E}=-\vec{\nabla}V-\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}
\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}
ซึ่งถ้าลองแทนสมการแมกซ์เวลล์ดู จะพบว่าเป็นจริง

สรุปก็คือ สำหรับ electrodynamics เราไม่สามารถเขียน dV=-\vec{E}\cdot d\vec{r} ได้ แต่เราจะเขียน \vec{E}=-\vec{\nabla}V-\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 780


Reality is the average of all illusion


« Reply #5 on: April 14, 2008, 09:54:23 PM »

ขอบพระคุณมาครับ เข้าใจแล้วครับ  icon adore  smitten
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: