ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41529 Posts in 6269 Topics- by 9373 Members - Latest Member: toonzazass1
« previous next »
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety  (Read 29388 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6325


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: October 05, 2007, 03:35:51 PM »
ยิงอนุภาคหนึ่งจากจุดกำเนิดด้วยอัตราเร็วด้น u ในทิศทางทำมุม \alpha กับแนวระดับ สมมุติว่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคอยู่ในระนาบ xy  ถ้าเราให้อัตราเร็ว u คงตัว แต่เปลี่ยนมุมยิงไปได้ จงแสดงว่่าเราสามารถยิงอนุภาคให้ผ่านจุดที่มีพิกัด (a, b) ได้ โดยเลือกมุม \alpha ให้เหมาะสมถ้าจุดนั้นอยู่ใต้พาราโบลา

y=\dfrac{u^2}{2g} \left ( 1-\dfrac{g^2x^2}{u^4} \right )

พาราโบลานี้มีชื่อเรียกว่าพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) เพราะจุดที่อยู่นอกเหนือพาราโบลานี้จะปลอดภัยจากการถูกยิง (นั่นคือด้วยอัตราเร็ว u ที่กำหนดนั้น ยิงอย่่างไรก็ไปไม่ถึง)



เส้นโค้งประ C ในรูปข้างบนคือพาราโบลาปลอดภัยสำหรับค่าอัตราเร็วต้นค่าหนึ่ง


แนะ: เขียนสมการของเส้นวิถี (สมการที่ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง y และ x โดยที่ไม่มีเวลาในสมการนั้น) แล้ว...
« Last Edit: October 14, 2013, 07:34:27 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
tensa
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 14
« Reply #1 on: October 05, 2007, 08:15:26 PM »
ขอใช้คณิตศาสตร์แก้ปัญหานะครับ คิดไม่ออกจริงๆว่าจะเปลี่ยนสมการตรีโกณไปเป็นฟิสิกส์สวยๆยังไง Cry
ให้จุดเริ่มต้นของการยิงคือ (0,0)
Y=Ax^{2}+Bx+c
จะได้จุดยอดของสมการคือ Y=U^{2}/2g เมื่อ X=0
จะได้ว่าสมการอยู่ในรูปแบบ Ax^{2}+c เพราะจุดยอดอยู่บนแกน Y
ให้ Y=0 จะหาค่า a ได้คือ -g/2u^{2}
จะได้คำตอบออกมาทันใด

อาจารย์ครับ ใบ้แนวคิดวิธีแบบไม่ซุยมั่วหน่อย icon adore
« Last Edit: October 05, 2007, 08:25:56 PM by tensa » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6325


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: October 05, 2007, 10:43:42 PM »
Quote from: tensa on October 05, 2007, 08:15:26 PM
...

อาจารย์ครับ ใบ้แนวคิดวิธีแบบไม่ซุยมั่วหน่อย icon adore


แนะให้ท้ายโจทย์แล้วไม่ใช่หรือ แล้วก็ทำต่อด้วยวิธีการเดียวกับที่ยิงโพรเจกไทล์จากหน้าผาที่ทำให้ดูเป็นตัวอย่างในห้อง   coolsmiley
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
WeeBk
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 145
« Reply #3 on: October 09, 2007, 06:23:59 PM »
ผมขอเปลี่ยนเป็นยิงผ่านพิกัด (x,y)ใดๆแทนนะครับ
โดยได้
t = \dfrac{x}{u\cos \alpha }

y = u\sin \alpha t - \dfrac{1}{2}gt^2
      
y = u\sin \alpha \dfrac{x}{u\cos \alpha}- \dfrac{1}{2}g(\dfrac{x}{u\cos \alpha })^2

y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(1+\tan ^2\alpha )

\dfrac{gx^2}{2u^2}\tan^2\alpha -x\tan \alpha +(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y) = 0

\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ icon adore
« Last Edit: March 11, 2010, 12:46:11 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #4 on: October 10, 2008, 09:20:35 PM »
Quote from: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM
...
\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ icon adore
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองมีค่าไม่ติดลบนั้น จะนำมาซึ่งสมการของพาราโบลาปลอดภัย?
มีเหตุผลทางฟิสิกส์หรือไม่ครับว่าเงื่อนไขนี้จะนำไปสู่สมการที่บรรยายพาราโบลาปลอดภัย ช่วยชี้แจงแถลงไขด้วยครับ  coolsmiley
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
mhe_kub
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 114
« Reply #5 on: October 11, 2008, 12:34:31 AM »
ที่เราใช้เครื่องหมายใต้ราก เพราะ ว่า การยิงผ่านจุดๆหนึ่งนั้นมัน เป็นจุดใต้กราฟพาราโบลานี้อะครับ ก้เลยใช้เงื่อนไขของอสมการ มาอธิบายสมการอะครับ ผมลองคิดดูนะครับ ผิดถูกชี้แนะหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ icon adore
Logged
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #6 on: October 11, 2008, 11:38:09 AM »
Quote from: mhe_kub on October 11, 2008, 12:34:31 AM
ที่เราใช้เครื่องหมายใต้ราก เพราะ ว่า การยิงผ่านจุดๆหนึ่งนั้นมัน เป็นจุดใต้กราฟพาราโบลานี้ครับ ก้เลยใช้เงื่อนไขของอสมการ มาอธิบายสมการครับ ผมลองคิดดูนะครับ ผิดถูกชี้แนะหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ icon adore
แล้วทำไมต้องเป็นปริมาณใต้รากที่สองข
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6325


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #7 on: October 11, 2008, 11:38:37 AM »
Quote from: Great on October 10, 2008, 09:20:35 PM
Quote from: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM
...
\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ icon adore
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองมีค่าไม่ติดลบนั้น จะนำมาซึ่งสมการของพาราโบลาปลอดภัย?
มีเหตุผลทางฟิสิกส์หรือไม่ครับว่าเงื่อนไขนี้จะนำไปสู่สมการที่บรรยายพาราโบลาปลอดภัย ช่วยชี้แจงแถลงไขด้วยครับ  coolsmiley

จุด (x,y) ที่หารากของสมการได้คือจุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่านจุดนั้น ดังนั้นถ้านกอยู่ที่จุดนั้นก็ถูกยิงได้  จุดที่หารากไม่ได้คือจุดที่ไม่มีเส้นวิถีใดผ่าน จึงปลอดภัย  จุดที่ไกลสุดในทิศหนึ่ง ๆ ที่กระสุนไปถึงได้ (จุดที่รากของสมการให้ค่าเดียว ตอนที่ปริมาณในรากที่สองเป็นศูนย์) เป็นจุดบนขอบเขตความปลอดภัย ขอบเขตนี้มีรูปร่างเป็นพาราโบลา (ในระนาบการยิงระนาบหนึ่ง ถ้าคิดสามมิติจะเป็น paraboloid) จึงเรียกว่าพาราโบลาของความปลอดภัย  coolsmiley
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Great
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1123


물리학 아름답다 ฟิสิกส์คือความสวยงาม
« Reply #8 on: October 11, 2008, 11:46:05 AM »
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2008, 11:38:37 AM
Quote from: Great on October 10, 2008, 09:20:35 PM
Quote from: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM
...
\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ icon adore
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองมีค่าไม่ติดลบนั้น จะนำมาซึ่งสมการของพาราโบลาปลอดภัย?
มีเหตุผลทางฟิสิกส์หรือไม่ครับว่าเงื่อนไขนี้จะนำไปสู่สมการที่บรรยายพาราโบลาปลอดภัย ช่วยชี้แจงแถลงไขด้วยครับ  coolsmiley

จุด (x,y) ที่หารากของสมการได้คือจุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่านจุดนั้น ดังนั้นถ้านกอยู่ที่จุดนั้นก็ถูกยิงได้  จุดที่หารากไม่ได้คือจุดที่ไม่มีเส้นวิถีใดผ่าน จึงปลอดภัย  จุดที่ไกลสุดในทิศหนึ่ง ๆ ที่กระสุนไปถึงได้ (จุดที่รากของสมการให้ค่าเดียว ตอนที่ปริมาณในรากที่สองเป็นศูนย์) เป็นจุดบนขอบเขตความปลอดภัย ขอบเขตนี้มีรูปร่างเป็นพาราโบลา (ในระนาบการยิงระนาบหนึ่ง ถ้าคิดสามมิติจะเป็น paraboloid) จึงเรียกว่าพาราโบลาของความปลอดภัย  coolsmiley
เข้าใจแล้วครับอาจารย์ ขอบคุณมากครับ  icon adore
Logged
ถ้าวิทย์แข็งแรง-->การเมืองก็แข็งแรง-->ประเทศชาติก็แข็งแรง
CUD'44 * APhO9th Ulaanbaatar MNG * CA901* Gold 10thAPhO * Silver 40th IPhO
SNSD: GG-TH SeoHyun Family & SeoRi Home
945_32_52
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8
« Reply #9 on: October 07, 2009, 10:19:32 PM »
เรียน ท่านผู้รู้ ผม ไม่เข้าใจ ว่า ตรงส่วน ที่อยู่ตรงขอบ พาราโบลา มันจะเป็นระยะ ที่ชิดๆกันไปเรื่อยรึเปล่่าครับ
« Last Edit: October 07, 2009, 10:38:24 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6325


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #10 on: October 07, 2009, 10:42:17 PM »
Quote from: 945_32_52 on October 07, 2009, 10:19:32 PM
เรียน ท่านผู้รู้ ผม ไม่เข้าใจ ว่า ตรงส่วน ที่อยู่ตรงขอบ พาราโบลา มันจะเป็นระยะ ที่ชิดๆกันไปเรื่อยรึเปล่าครับ

พาราโบลาไหนไม่ทราบ  ถ้าเป็นพาราโบลาปลอดภัยมันจะเป็นเส้นต่อเนื่อง จุดที่อยู่ที่ขอบมันอยู่ติดกันไปอย่างต่อเนื่องตามมุมที่เรายิงโพรเจกไทล์ที่เปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง  coolsmiley
« Last Edit: May 24, 2013, 09:51:26 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
945_32_52
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8
« Reply #11 on: October 08, 2009, 06:33:44 PM »
ขอบคุณครับ
« Last Edit: October 08, 2009, 06:36:31 PM by 945_32_52 » Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion
« Reply #12 on: October 09, 2009, 01:29:21 AM »
ความจริงแล้วโจทย์ข้อนี้ผมงงวิธีที่ WeeBk นำเสนอมาเหมือนกัน ผมมีวิธีทำวิธีอื่นซึ่งคิดว่าน่าจะชัดเจนกว่า (แต่ว่ามันเป็นคณิตศาสตร์มากกว่า  Grin)

(อันที่จริงมันไม่ใช่แนวคิดของผมหรอกครับ อันนี้ผมเอาแนวคิดมาจากน้องปริ๊นซ์ ซึ่งน้องปริ๊นซ์บอกว่าได้แนวคิดมาจากอาจารย์เอนกวิทย์ แต่ผมก็ยังไม่ทราบเหตุผลว่าทำไมต้องถึงแบบนี้ได้ แต่มันค่อนข้างสมเหตุสมผลครับ ผมก็เลยลองเอามาลงดู และอยากเรียนถามอาจารย์ว่าทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ครับ)

จากที่ว่า
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 10:42:17 PM
พาราโบลาไหนไม่ทราบ  ถ้าเป็นพาราโบลาปลอดภัยมันจะเป็นเส้นต่อเนื่อง จุดที่อยู่ที่ขอบมันอยู่ติดกันไปอย่างต่อเนื่องตามมุมที่เรายิงโพรเจกไทล์ที่เปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง
เราสามารถพูดได้ว่า จุดที่ขอบเกิดจากจุดตัดของโพรเจกไทล์สองเส้นที่อยู่ใกล้กันมากๆ (จุดนี้คือจุดที่ผมยังงงๆอยู่ครับ มันสมเหตุสมผลนะครับ แต่ว่าถ้าจะให้พิสูจน์ออกมาเลยผมก็ทำไม่เป็นอะครับ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ไม่พอครับ  Grin)
สมการโพรเจคไทล์สำหรับมุม \alpha
y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2\alpha )
สำหรับมุม \alpha+d \alpha
y = x\tan (\alpha+ d \alpha) -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2 (\alpha+d \alpha))

จุดที่ตัดกันคือที่ x,y เท่ากัน ดังนั้นนำสองสมการนี้มาลบกันจะได้เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}\tan \alpha d\alpha - \dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2 \alpha d\alpha
\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha=\sec^2\alpha และ \dfrac{d}{d\alpha}\sec^2\alpha = 2sec^2 \alpha \tan \alpha
0=x\sec^2\alpha - \dfrac{gx^2}{u^2}\sec^2 \alpha \tan \alpha

จะได้ x(\alpha)=\dfrac{u^2}{g \tan \alpha}
แทนค่าลงไปก็จะได้ y(\alpha)=\dfrac{u^2}{g}-\dfrac{g}{2u^2} (1+\tan^2 \alpha ) \dfrac{u^4}{g^2 \tan^2 \alpha}
y(\alpha)=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{2 g \tan^2 \alpha}

แทน \dfrac{1}{\tan \alpha}=\dfrac{gx}{u^2} ลงไปในสมการ y(\alpha)

ได้ว่า y=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}

ถูกผิดอย่างไรช่วยเพิ่มเติมด้วยครับ  smitten
« Last Edit: May 24, 2013, 06:31:17 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
30th
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23
« Reply #13 on: October 09, 2009, 03:32:12 PM »
อยากให้พี่ mwit ช่วยหาวิธีพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ
จะเป็นพระคุณอย่างสูง Smiley Smiley Smiley
Logged
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion
« Reply #14 on: October 09, 2009, 04:12:04 PM »
ที่จริงมีอีกแนวคิดหนึ่งครับ คือการใช้โพรเจกไทล์พื้นเอียง ยิงโพรเจคไทล์ขึ้นพื้นเอียงที่มุม \alpha ใดๆ ระยะทางตามแนวพื้นเอียงที่ไกลที่สุดคือเท่าไหร่ เป็นฟังก์ชั่นของมุม \alpha(เช่น ถ้าเป็นพื้นราบต้องยิง 45 องศา และจะได้ว่าจุดที่ไกลสุดเป็น R=\dfrac{v^2}{g})  จุดที่ไกลที่สุดนั้นคือจุดที่อยู่บนพาราโบล่าร์ปลอดภัยครับ เราก็จะได้จุดที่เป็นพิกัด Polar มาก็คือรู้ r(\alpha) แล้วก็ต้องแก้หา y(x)

ลองคิดดูแล้วไม่ถึกเท่าไหร่ครับ
« Last Edit: October 10, 2009, 12:54:44 AM by Mwit_Psychoror » Logged
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: