ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41529 Posts in 6269 Topics- by 9371 Members - Latest Member: map
Pages: « 1 2   Go Down
Print
Author Topic: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety  (Read 29381 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Mwit_Psychoror
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 781


Reality is the average of all illusion


« Reply #15 on: October 10, 2009, 01:00:59 AM »

ถ้าหากเราพิสูจน์เอง(หรือง่ายกว่านั้นคือไปเปิดหนังสือสักเล่มที่มีเขียนเรื่องโพรเจกไทล์พื้นเอียง Grin) จะพบว่า ยิงโพรเจคไทล์ขึ้นพื้นเอียงทำมุม \theta ให้ได้ระยะทางตามแนวพื้นเอียงมากที่สุด(โดยที่ความเร็วคงที่) จะต้องยิงด้วยมุม \alpha=\dfrac{\pi/2 - \theta}{2} เทียบกับพื้นเอียง และจะได้ต่อไปว่าระยะที่ยิงได้ไกลที่สุดคือ R=\dfrac{v^2}{g(1+\sin\theta)}

และจุดที่ไกลที่สุดนี้คือจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นโพรเจกไทล์เฉียดฉิว คราวนี้เราก็แทนไปว่า R=\sqrt {x^2+y^2} และ \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

จัดรูปสุดท้ายพจน์ y^2 จะตัดกันไปเราก็จะได้ออกมาเป็นคำตอบอันสวยงามครับ  smitten
« Last Edit: May 24, 2013, 06:29:28 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
WeeBk
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 145


« Reply #16 on: October 10, 2009, 07:58:33 AM »

สงสัยวิธีของผมยังไงหรือ ถามมาซิ ไม่ใช่จุ่ๆมาหาว่าวิธีผมไม่ชัดเจนซะงั้น - -"
Logged
KJ KuB
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 55


« Reply #17 on: October 10, 2009, 09:08:36 AM »


จุด (x,y) ที่หารากของสมการได้คือจุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่านจุดนั้น ดังนั้นถ้านกอยู่ที่จุดนั้นก็ถูกยิงได้  จุดที่หารากไม่ได้คือจุดที่ไม่มีเส้นวิถีใดผ่าน จึงปลอดภัย  จุดที่ไกลสุดในทิศหนึ่ง ๆ ที่กระสุนไปถึงได้ (จุดที่รากของสมการให้ค่าเดียว ตอนที่ปริมาณในรากที่สองเป็นศูนย์) เป็นจุดบนขอบเขตความปลอดภัย ขอบเขตนี้มีรูปร่างเป็นพาราโบลา (ในระนาบการยิงระนาบหนึ่ง ถ้าคิดสามมิติจะเป็น paraboloid) จึงเรียกว่าพาราโบลาของความปลอดภัย  coolsmiley

  ตอนแรกที่ผมคิดไปเรื่อย  ก็ได้ \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos ^{2}\alpha }-x\tan \alpha +y = 0  แล้วก็หารากเลย  ก็ปรากฏว่ามันไม่ใช่  พอลองอ่านที่ อ.ปิยพงษ์แนะ ก็เลยคิดว่ารากนี้คงไม่ใช่จุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่าน  แต่ผมก็งงว่า แล้วรากที่ว่านั่นมีวิธีดูอย่างไรครับ  bang head   
Logged
WeeBk
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 145


« Reply #18 on: October 10, 2009, 01:23:44 PM »

ึคือ ไอ้การใช้ว่าใต้รูทต้องมากกว่าเท่ากับ 0 หนะ เราต้องเข้าใจอย่างนี้ เช่น สมการที่ผมทำมา

\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

     ตัวฝั่งซ้ายคือ \tan\alpha ส่วนในรูทมีตัวแปร x,y

     เราเปลี่ยนแปลงค่า x,y ที่เราสนใจไปเรื่อยๆ อยากรู้ว่ามีจุดไหนมั่ง ที่สามารถไปถึงได้

     ถ้าสามารถไปถึงได้ ก็แสดงว่าต้องมี \alpha สักค่า ที่ทำให้เป็นไปได้ เพราะเราต้องยิงจากมุมสักมุมจริงไหม

     แต่หากไม่มีเลย ก็แสดงว่าไปถึงไม่ได้ เพราะไม่รู้จะยิงมุมไหน

     มันจะไม่มีมุมได้ มีกรณีเดียวก็คือใต้รูทติดลบ เลยได
 ตอนแรกที่ผมคิดไปเรื่อย  ก็ได้ \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos ^{2}\alpha }-x\tan \alpha +y = 0  แล้วก็หารากเลย  ก็ปรากฏว่ามันไม่ใช่  พอลองอ่านที่ อ.ปิยพงษ์แนะ ก็เลยคิดว่ารากนี้คงไม่ใช่จุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่าน  แต่ผมก็งงว่า แล้วรากที่ว่านั่นมีวิธีดูอย่างไรครับ  bang head    

แก้แล้วจะได้

     ตัวฝั่งซ้ายคือ  x ส่วนในรูทมีตัวแปร \alpha,y

     เปลี่ยน \alpha,y ไปเรื่อยๆ สนใจที่ \alpha,y ทำให้เกิดค่า x เท่าไหร่บ้าง

     ถ้าไม่มี x ที่เป้นไปได้ แสดงว่า \alpha,y ที่กำหนดไม่สามารถเกิดขึ้นจริง เพราะไม่สามรถระบุพิกัด x ได้

     แต่ก็ไม่แน่ว่าที่ค่า yเดิม แต่ค่า \alpha อื่นจะไปไม่ได้จริงไหม

     สิ่งที่เราสนใจคือ parabola of safety สนใจว่าที่พิกัดใดๆสามารถไปถึงได้หรือเปล่า เราไม่ได้กำหนดข้อจำกัดเรื่องมุม กำหนดเฉพาะ x,y

« Last Edit: May 24, 2013, 09:48:38 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
KJ KuB
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 55


« Reply #19 on: October 10, 2009, 01:44:24 PM »

 เข้าใจแล้วครับ  ขอบคุณมากเลย  great
Logged
rapee
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 136


« Reply #20 on: May 24, 2013, 04:46:09 PM »

ความจริงแล้วโจทย์ข้อนี้ผมงงวิธีที่ WeeBk นำเสนอมาเหมือนกัน ผมมีวิธีทำวิธีอื่นซึ่งคิดว่าน่าจะชัดเจนกว่า (แต่ว่ามันเป็นคณิตศาสตร์มากกว่า  Grin)

(อันที่จริงมันไม่ใช่แนวคิดของผมหรอกครับ อันนี้ผมเอาแนวคิดมาจากน้องปริ๊นซ์ ซึ่งน้องปริ๊นซ์บอกว่าได้แนวคิดมาจากอาจารย์เอนกวิทย์ แต่ผมก็ยังไม่ทราบเหตุผลว่าทำไมต้องถึงแบบนี้ได้ แต่มันค่อนข้างสมเหตุสมผลครับ ผมก็เลยลองเอามาลงดู และอยากเรียนถามอาจารย์ว่าทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ครับ)

จากที่ว่า
พาราโบลาไหนไม่ทราบ  ถ้าเป็นพาราโบลาปลอดภัยมันจะเป็นเส้นต่อเนื่อง จุดที่อยู่ที่ขอบมันอยู่ติดกันไปอย่างต่อเนื่องตามมุมที่เรายิงโพรเจกไทล์ที่เปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง
เราสามารถพูดได้ว่า จุดที่ขอบเกิดจากจุดตัดของโพรเจกไทล์สองเส้นที่อยู่ใกล้กันมากๆ (จุดนี้คือจุดที่ผมยังงงๆอยู่ครับ มันสมเหตุสมผลนะครับ แต่ว่าถ้าจะให้พิสูจน์ออกมาเลยผมก็ทำไม่เป็นอะครับ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ไม่พอครับ  Grin)
สมการโพรเจคไทล์สำหรับมุม \alpha
y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2\alpha )
สำหรับมุม \alpha+d \alpha
y = x\tan (\alpha+ d \alpha) -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2 (\alpha+d \alpha))

จุดที่ตัดกันคือที่ x,y เท่ากัน ดังนั้นนำสองสมการนี้มาลบกันจะได้เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}\tan \alpha d\alpha - \dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2 \alpha d\alpha

\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha=\sec^2\alpha และ \dfrac{d}{d\alpha}\sec^2\alpha = 2sec^2 \alpha \tan \alpha
0=x\sec^2\alpha - \dfrac{gx^2}{u^2}\sec^2 \alpha \tan \alpha

จะได้ x(\alpha)=\dfrac{u^2}{g \tan \alpha}
แทนค่าลงไปก็จะได้ y(\alpha)=\dfrac{u^2}{g}-\dfrac{g}{2u^2} (1+\tan^2 \alpha ) \dfrac{u^4}{g^2 \tan^2 \alpha}
y(\alpha)=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{2 g \tan^2 \alpha}

แทน \dfrac{1}{\tan \alpha}=\dfrac{gx}{u^2} ]ลงไปในสมการ y(\alpha)

ได้ว่า y=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}

ถูกผิดอย่างไรช่วยเพิ่มเติมด้วยครับ  smitten





ช่วงที่เอาสองสมการมาลบกันทำไมถึงได้ผลลัพธ์เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha d\alpha-\dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}sec^2 \alpha d\alpha
ช่วยเเสดงวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหมครับ   ผมงง idiot2 idiot2 idiot2
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6325


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #21 on: May 24, 2013, 06:36:34 PM »

...
ช่วงที่เอาสองสมการมาลบกันทำไมถึงได้ผลลัพธ์เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha d\alpha-\dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}sec^2 \alpha d\alpha
ช่วยเเสดงวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหมครับ   ผมงง idiot2 idiot2 idiot2

เขาใช้นิยามของ differential

ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันของ x เมื่อ x เปลี่ยนไป \Delta x = dx เราจะได้ว่า \Delta f \approx df = \dfrac{df}{dx}\Delta x = \dfrac{df}{dx} dx
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
rapee
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 136


« Reply #22 on: May 24, 2013, 08:21:55 PM »

ขอบคุณครับ smitten smitten smitten
Logged
Pages: « 1 2   Go Up
Print
Jump to: