9.8

9.8 A uniform heavy rope of lenght a is held at rest with its two ends close together and the rope hanging synmetrically below. (In this position, the rope has two long vertical segment connected by a small curved segment at the bottom.) One of the ends is then released. Find the velocity of free ends when it has descended by a distance x.
Deduce a similar formula for the acceleration of the free end and show that it always exceed g. Find how far the free end has fallen when its acceleration has risen to 5g.

${m}_{left}=\frac{m(a-x)}{2a}$

${m}_{right}=\frac{m(a+x)}{2a}$

${V}_{left} = -{m}_{left}g(\frac{a+3x}{4})$

${V}_{left} = -\frac{mg(a-x)(a+3x)}{8a}$

${V}_{right} = -{m}_{right}g\frac{(a+x)}{4}$

${V}_{right} = -\frac{mg(a+x)(a+x)}{8a}$

$T = \frac{m{v}^2}{2}$

$T = \frac{m{v}^2(a-x)}{4a}$

เงื่อนไขตั้งต้น v=0, x=0

ดังนั้น $E = -\frac{mga}{4}$

แทนค่าลงใน E = T + V ได้

$-\frac{mga}{4} = \frac{m{v}^2(a-x)}{4a} - \frac{mg[(a-x)(a+3x)+(a+x)(a+x)]}{8a}$

$-ga = \frac{{v}^2(a-x)}{a}-\frac{g(2{a}^2+4ax-2{a}^2)}{2a}$

$-ga = (a-v){v}^2-g({a}^2+2ax-{x}^2)$

$-g{a}^2 = (a-x){v}^2-g({a}^2+2ax-{x}^2)$

${v}^2 = \frac{gx(2a-x)}{a-x}$

ความเร็วของปลายเชือกที่เป็นอิสระเท่ากับ $v = {\frac{gx(2a-x)}{a-x}}^2$

จากความเร็วที่ได้สามารถหาความเร่งได้ ดังนี้

$2v\frac{dv}{dt }=g\frac{[(a-x)(2va-2vx)+(2ax-{x}^2)v]}{{(a-x)}^2}$

$\frac{dv}{dt } =g\frac{(2{a}^2-2ax+{x}^2)}{2{(a-x)}^2}$

ปล.คำตอบไม่เหมือนในเฉลย คิดหลายล้านตลบก็ได้เท่านี้ ชาคริตคิดก็ได้เท่านี้
ดังนั้น จึงขอสรุปว่า เฉลยผิด(อันใหม่เพราะไม่ได้ดูเฉลยอันเก่า)

สุริลักษณ์ ปัญจไชยวงศ์ 4905127 smitten

คุณสมบัติของเด็กดี