7.16

7.16 In Yuri Gagarin's first manned space flight in 1961, the perigee and apogee were 181 km and 327 km above the Earth. Find the period of his orbit and his maximum speed in the orbit.

solution

หาคาบโดย

$\displaystyle \tau =\oint dt$

จากการเปลี่ยนตัวแปรจะได้

$\displaystyle \tau =\int _{0}^{2\pi } \frac{d\theta }{\dot{\theta }}$

คูณด้วย $2mr^{2}$ ทั้งข้างบนข้างล่างจะได้

$\displaystyle \tau =\frac{2m}{L}\int _{0}^{2\pi }\frac{r^{2}d\theta }{2}$

( $L=mr^{2}\dot{\theta }$ มีค่าคงที่เนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็นแรงในแนวรัศมี)
และเนื่องจากอินทิเกรชั่นนี้หมายถึงพื้นที่วงรีที่ยานกวาดไปซึ่งมีค่าเท่ากับ $\pi ab$ เมื่อ a คือระยะครึ่งแกนเอก และ b คือระยะครึ่งแกนโท
ดังนั้น

$\displaystyle \tau =\frac{2m}{L}\pi ab$

และจาก The L-formula

$\displaystyle \frac{GMm^{2}}{L^{2}}=\frac{a}{b^{2}}$

(*หมายเหตุ สามารถนำสมการนี้มาจาก 1. เปรียบเทียบสมการทางเดินกับสมการของวงรี หรือ 2. สมการอนุรักษ์พลังงาน โดยพิจารณาที่ perigee และ apogee ซึ่งมี $\dot{r}=0$ และแปลงสมการ โดยใช้ $a=\frac{r_{a}+r_{p}}{2}$ และ $b=\sqrt{r_{a}r_{p}}$ )
จะได้ว่า

$\displaystyle \frac{m}{L}=\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{GM}}$

เมื่อนำกลับไปแทนในคาบจะได้

$\displaystyle \tau =\frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM}}$

ซึ่งเป็นกฏเคปเลอร์ข้อที่3
เนื่องจากความยาวครึ่งแกนเอกเท่ากับ $a=\frac{r_{a}+r_{p}}{2}$ (พิจารณาจากภาพ)

ดังนั้นเมื่อแทนค่าต่างๆแล้วจะได้ $\tau =5.37\times 10^{3}s = 89.6min$ Wink

จาก The L-formula $\displaystyle \frac{m}{L}=\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{GM}}$

$\displaystyle L=\frac{bm\sqrt{GM}}{\sqrt{a}}$

และ $L=mr^{2}\dot{\theta }=mr_{a}v_{a}=mr_{p}v_{p}$

ถ้าต้องการหา maximum speed ต้องหาจากจุด perigee เพราะว่าที่จุดนั้นมีระยะห่างน้อยที่สุดทำให้มีความเร็วมากที่สุด ดังนั้นนำค่า L ไปแทนในสมการ

$\displaystyle r_{p}v_{p}=\frac{b\sqrt{GM}}{\sqrt{a}}$

และจาก $\displaystyle a=\frac{r_{a}+r_{p}}{2}$ และ $\displaystyle b=\sqrt{r_{a}r_{p}}$
เมื่อนำไปแทนค่าจะได้ $v_{p}=7840m/s$ Wink

[ชาคริต พงษ์กิติวณิชกุล 4905015]

คุณสมบัติของเด็กดี