ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41576 Posts in 6275 Topics- by 9812 Members - Latest Member: kaew
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามปัญหาคณิตศาสตร์เกี่ยวกับ basis ของ irreducible representation ของ S_3
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: เกี่ยวกับ basis ของ irreducible representation ของ S_3  (Read 6287 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« on: September 11, 2007, 08:22:01 PM »

ในหนังสือ Quantum Mechanics: Symmetry ของ Greiner หน้า 295 มีข้อความเขียนไว้ดังนี้ครับ

"These six states form the basis of irreducible representations of the permutation group  S_3 ."

ซึ่งผมสงสัยว่าพิมพ์อะไรผิดหรือเปล่าครับ

หก state ที่พูดถึงได้มาดังนี้ครับ สมมุติว่ามี wavefunction ใดๆ สำหรับอนุภาคสามตัวที่ identical กัน จากนั้นก็แปลง wavefunction เหล่านี้ให้สามารถเป็น eigenfunction ของ operator ทั้งหลายจาก representation ของ permutation group  S_3 ได้ ผลที่ได้คือได้ symmetric state มาหนึ่งตัว, antisymmetric state มาหนึ่งตัว, และ mixed symmetric state มาสี่ตัวครับ รวมเป็นหกตัว

ทีนี้ ที่ถูก ต้องเขียนว่า

"These six states form the bases of irreducible representations of the permutation group  S_3 ."

หรือเปล่าครับ เพราะไม่เช่นนั้น จะฟังเหมือนว่า ทั้งหก state "ร่วมกัน" form basis ของ irreducible representation ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะว่าที่แน่ๆ symmetric state ก็ form basis ของ 1D irreducible rep. และ antisymmetric state ก็ form basis ของ 1D irreducible rep. อีกอันแล้ว
Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
Noppadol
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24


« Reply #1 on: September 12, 2007, 08:18:55 PM »

Let us use the Young tableau technology (actually, we don't have to, but I think it helps).

Since each different tableaux represents a different conjugacy class, the tableaux are in one-to-one correspondence with the irreducible representations. For the group S_3, the conjugacy classes can be represented by
(1) three horizontal boxes (completely symmetrised states) which contain 3!/3!=1 element,
(2) three vertical boxes (completely antisymmetrised states) which contain 3!/3=2 elements,
(3) two horizontal boxes with one box below (symmetrise in each row and antisymmetrise in each column) which contain 3!/2=3 elements.

Tableau (1), which gives completely symmetrised states, is associated with a one dimensional subspace that transforms under the trivial representation. Tableau (2), which gives completely antisymmetrised states, is also associated with a one dimensional subspace, but it transforms under the representation in which interchanges are represented by -1. For tableau (3), although we can permute 1, 2 and 3 in the three boxes, the associated subspace is only two dimensional and transforms under the two dimensional irrep of S_3. This is because the interchanging two numbers in the same column of a tableau simply changes the sign of the states, and the sum of three states related by cyclic permutations vanishes.
 
« Last Edit: September 13, 2007, 10:35:33 AM by Noppadol » Logged
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #2 on: September 12, 2007, 11:00:39 PM »

I can see that these six states together generate representations of  S_3 . But aren't they reducible? Like you said, under symmetry operations, the space which is the span of the set of these six states seems to possess three subspaces that transform into themselves. Each subspace corresponds to representations of lower dimensionality. So, the representations generated by these six states must be reducible. Then, shouldn't the author write

"These six states form the basis of reducible representations of the permutation group S_3."

if he considers them as single basis, or

"These six states form the bases of irreducible representations of the permutation group S_3."

so that he just refers vaguely to the three bases that generate irreducible representations?
« Last Edit: September 13, 2007, 01:47:07 AM by เกียรติศักดิ์ » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
Noppadol
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24


« Reply #3 on: September 13, 2007, 10:24:29 AM »

I have deleted a ridiculous sentence on my post saying that the six states are irreps of S_3. It was my careless slip. Many apologies for that.

As I said at the beginning of my post, the tableaux are in one-to-one correspondence with the irreps. So you're right: the six states form 3 tableaux and hence 3 irreps of the group S_3.
   
« Last Edit: September 13, 2007, 10:50:48 AM by Noppadol » Logged
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #4 on: September 13, 2007, 10:57:30 AM »

Thank you. smitten
Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: