ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41576 Posts in 6275 Topics- by 9812 Members - Latest Member: kaew
« previous next »
Pages: 1 2 3 »   Go Down
Print
Author Topic: Wonderful property of equilateral triangle  (Read 29665 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
~AwaTarn~
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 118


What is the real world as I see?
« on: September 12, 2005, 05:00:59 PM »
จากภาพถ้าเรามีแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่าความยาวด้าน L มวล M แล้วหมุนสามเหลี่ยมไปรอบๆแกนหมุน โดยแกนหมุนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมและผ่านจุด CM เสมอ� จงพิสูจน์ว่าไม่ว่าจะหมุนแกนหมุนไปทำมุมเท่าไหร่กับแกนเดิมก็ตาม ถ้าแกนหมุนเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าวจะได้ Moment of inertia \displaystyle I=\frac{1}{24}ML^2
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6345


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: September 12, 2005, 05:24:51 PM »
Quote from: ~AwaTarn~ on September 12, 2005, 05:00:59 PM
จากภาพถ้าเรามีแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่าความยาวด้าน L มวล M แล้วหมุนสามเหลี่ยมไปรอบๆแกนหมุน โดยแกนหมุนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมและผ่านจุด CM เสมอ� จงพิสูจน์ว่าไม่ว่าจะหมุนแกนหมุนไปทำมุมเท่าไหร่กับแกนเดิมก็ตาม ถ้าแกนหมุนเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าวจะได้ Moment of inertia \displaystyle I=\frac{1}{24}ML^2

พูดง่าย ๆ ก็คือให้พิสูจน์ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่ารอบแกนหมุนใด ๆ ที่อยู่ในระนาบของแผ่นสามเหลี่ยมและผ่านจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นสามเหลี่ยมมีค่า \displaystyle I=\frac{1}{24}ML^2 เท่ากันหมด
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #2 on: September 12, 2005, 07:00:29 PM »
ยังนึกไม่ออกว่าจะพิสูจน์ยังไง จะให้นั่งไล่พิสูจน์ทีละอันมันก็ทำได้ แต่ถ้าเป็นทุกกรณี จะพิสูจน์ไงน้า
น่าสนใจจริงๆ ต้องลองไปทำแล้ว  Grin
Logged
ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33
« Reply #3 on: September 13, 2005, 03:30:25 AM »
ฮะแฮ่ม สามเหลี่ยมตอบปัญหาสามเหลี่ยมครับ

ก่อนอื่นดูรูปที่ผมแนบมาก่อนนะครับ ผมจัดให้ จุด origin ของแกน x y อยู่ตรง CM พอดี

สองคือผมหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน X กับ แกน Y ซึ่งได้เท่ากันคือเท่ากับ \frac{1}{24}ML^2 พอดีอีก

สาม ผมจะใช้แกนใหม่คือ X' กับ Y' ซึ่งเป็นสีชมพู และแกนนี้ถูกบิดไปเป็นมุม \theta เทียบกับแกนเดิม X Y ทวนเข็มนาฬิกา

สี่ ผมจะได้ว่า coordinate ของจุดสีแดงเมื่อเทียบกับแกน X' Y' คือ (x',y') โดย
\[\begin{array}{l} x\prime = x\cos \theta - y\sin \theta \\ y\prime = x\sin \theta + y\cos \theta \\ \end{array}\]

ห้า โมเมนต์ inertia รอบแกน X' คือ
I^\prime = \int {x^\prime^2 } dm \\ = \int {\left( {x\cos \theta - y\sin \theta } \right)^2 } dm \\ = \int {\left( x^2 \cos ^2 \theta + y^2 \sin ^2 \theta - 2xy\cos \theta \sin \theta } \right)} dm \\

หก พิจารณา \int {\left(2xy\cos \theta \sin \theta) dm ที่ค่า y ใดๆมีค่า x และ -x พร้อมกัน
ดังนั้นเทอมนี้จึงเป็นศูนย์เสมอ

เจ็ด เนื่องจากเราทราบค่า \int {x^2} dm และ \int {y^2} dm ว่าเท่ากันและเท่ากับ \frac{1}{24}ML^2 จากข้อสอง

แปด เราจึงได้ว่า I^\prime = \frac{1}{24}ML^2 (\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta) = \frac{1}{24}ML^2

จึงสรุปได้ว่า ไม่ว่าจะรอบแกนไหนก็ตามที่ผ่าน CM และอยู่บนระนาบของสามเหลี่ยม จะมีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากันหมด คือ \frac{1}{24}ML^2

คำถามชวนคิด ถ้าสามเหลี่ยมถูกหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคือ \omega เท่ากัน รอบแกนใดๆที่ว่านี้ (แกนที่ผ่าน CM
และอยู่บนระนาบของสามเหลี่ยม) ถามว่าจะมีโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากันมั้ยครับ และ ถามอีกด้วยว่ามีในทิศทางไหน
ทิศเดียวกับแกนหมุนหรือเปล่่า? ลองคิดกันดูครับ
« Last Edit: October 15, 2007, 06:51:39 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33
« Reply #4 on: September 13, 2005, 03:37:42 AM »
จริงทำแบบนี้มันไม่ค่อยสวยเท่าไหร่อะครับ ทำให้ถุกจริงๆควรใช้ Tensor ทำ และเราจะไม่ได้ด้วยว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของสามเหลี่ยมจะเท่าเดิมเสมอ มันเท่าเดิมเฉพาะเวลาเราไม่สนใจส่วนอื่นๆครับ

ถ้ามีอะไรผิด ช่วยแก้ให้ด้วยเลยละกันนะครับ
Logged
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #5 on: September 13, 2005, 03:36:06 PM »
เสียใจจัง� Cry� มีคนเฉลยไปแล้ว สำหรับการพิสูจน์ใน ระนาบ เพราะวิธีผมเหมือนกัน แต่ ทำแบบไม่เก่ง� โดยพิจารณา จุดสามจุดใน ระนาบ ซึ่งอยู่บนระนาบ xy อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน (เพื่ออธิบายง่ายๆ มันคือจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า)� จากนั้น ผมจะหาระยะห่างตั้งฉากกำลังสอง จากจุดทั้งสามไป ยังแกน y� ซึ่ง ไม่ว่าทำมุมอะไร ใดๆ จะได้ผลรวมของระยะทางตั้งฉากกำลังสอง เท่ากัน
  r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) เท่ากับ ค่าคงที่ ไม่ว่า มุมจะเปลี่ยนไปเท่าไร� จุดกำเนิดของผมก็คือ จุด CM� ซึ่งหากเราพิจารณา เราจะพบว่า จะมีจุดสามจุดที่เข้าคู่ กันแบบนี้ เพราะฉะนั้น ไม่ว่าหมุนแกนไหนในระนาบผ่าน CM จะได้เท่ากัน
« Last Edit: September 14, 2005, 04:08:31 PM by ampan » Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6345


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #6 on: September 13, 2005, 03:56:13 PM »
Quote from: ampan on September 13, 2005, 03:36:06 PM
เสียใจจัง� Cry� มีคนเฉลยไปแล้ว สำหรับการพิสูจน์ใน ระนาบ เพราะวิธีผมเหมือนกัน แต่ ทำแบบไม่เก่ง� โดยพิจารณา จุดสามจุดใน ระนาบ ซึ่งอยู่บนระนาบ xy อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน (เพื่ออธิบายง่ายๆ มันคือจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า)� จากนั้น ผมจะหาระยะห่างตั้งฉากกำลังสอง จากจุดทั้งสามไป ยังแกน y� ซึ่ง ไม่ว่าทำมุมอะไร ใดๆ จะได้ผลรวมของระยะทางตั้งฉากกำลังสอง เท่ากัน
  r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) เท่ากับ ค่าคงที่ ไม่ว่า มุมจะเปลี่ยนไปเท่าไร� จุดกำเนิดของผมก็คือ จุด CM� ซึ่งห่างเราพิจารณา เราจะพบว่า จะมีจุดสามจุดที่เข้าคู่ กันแบบนี้ เพราะฉะนั้น ไม่ว่าหมุนแกนไหนในระนาบผ่าน CM จะได้เท่ากัน

ตามไม่ทัน ไม่เข้าใจ ขอรูปและวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหม� Grin
« Last Edit: September 13, 2005, 05:51:58 PM by ปิยพงษ์ » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33
« Reply #7 on: September 13, 2005, 03:58:35 PM »
สุดยอดครับ คิดได้ไงนี่  icon adore ไม่ต้องใช้ calculus ด้วย อิอิ
Logged
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #8 on: September 13, 2005, 05:52:38 PM »
เอารูปมาลงแล้วครับ แต่เป็น word นะครับ มันดีที่สุดที่เครื่องผมจะมีได้ ขออธิบายเพิ่มครับ ถ้าลองหา ห่างจากแกน y แล้วยกกำลังสอง ดูบวกกัน ไม่ว่าจะหมุนไปแบบไหน ก็จะได้เท่ากันครับ ถ้าผ่านจุด ศูนย์กลางมวล� เมื่อเราได้ ข้อพิสูจน์แบบนี้ แล้ว เราก็บอกว่า เรามองเห็น Shocked� คู่(หรือคี่ก็ไม่รู้ )แบบนี้ เรียงกันแบบสวยงาม ฉะนั้น เราจะเลือกผ่านแกนที่ง่ายเพื่อให้เรา อินทิเกรตหา ค่าโมเมนต์ความเฉื่อย ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ ซึ่งเท่ากับหมุนผ่านแกนอื่นในเงื่อนไขนี้

หมายเหตุ ผมเองก็อยากใช้ เลขสูงๆ ทำ แต่ไม่มีปัญญาทำครับ� ส่วน เรื่องเทนเซอร์นี่ ผมคงดูอย่างเดียว เพราะไม่มีความสามารถครับ� icon adore

** แปลงไฟล์เป็นรูปให้ดังรูปข้างล่าง (ปิยพงษ์)
« Last Edit: September 14, 2005, 05:12:45 PM by ปิยพงษ์ » Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6345


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #9 on: September 14, 2005, 05:21:37 PM »
ยังไม่เข้าใจอยู่ดี  รูปสามเหลี่ยมเต็ม ๆ อยู่ตรงไหน แล้วเราจับกลุ่มสามจุด ๆ เป็นชุด ๆ ให้ครบเป็นแผ่นสามเหลี่ยมเต็มได้อย่างไร ขอรายละเอียดในรูปเพิ่มเติมด้วย  Grin
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #10 on: September 14, 2005, 06:54:32 PM »
ขอโทษครับ สร้างรูปไม่ได้ เพราะเหยื่อ� Shocked ไม่ใช่สิ ผู้ที่เอื้อเฟื้อ ให้ผมใช้ word ไม่อยู่� เพราะอะนั้น ผมเอาหลักการลง นะครับ
หนึ่ง คือ คุณนึกถึง เส้นสามเหลี่ยม (คือมีแต่เส้นสามเส้นประกอบเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า)�
สอง ที่ผมทำไปคือที่ จุดมุม แต่คราวนี้ เราลองเลื่อนมานิดหน่อยทั้งามเส้นเลย ก็จะมี จุดที่เหมือน คราวที่แล้วที่ทำใช่มะครับ

พอเราทำครบ แบบเส้น ก็เอาเส้นสามเหลี่ยม มาต่อๆ กันจนเป็น พื้นที่� icon adore� ใครเข้าใจ สร้างรูปให้ผมจะเป็นความกรุณามากมายครับ
Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6345


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #11 on: September 14, 2005, 07:07:01 PM »
Quote from: ampan on September 14, 2005, 06:54:32 PM
..
พอเราทำครบ แบบเส้น ก็เอาเส้นสามเหลี่ยม มาต่อๆ กันจนเป็น พื้นที่  icon adore  ใครเข้าใจ สร้างรูปให้ผมจะเป็นความกรุณามากมายครับ

ที่ทำมาเป็นจุดสามจุด ไม่ใช่เส้นสามเส้น  คำถามคือจะเอาจุดสามจุดหลายชุดมาต่อกันเป็นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร Huh
« Last Edit: September 14, 2005, 08:37:27 PM by ปิยพงษ์ » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
phys_pucca
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 721


วิ่งตามฝัน


WWW
« Reply #12 on: September 15, 2005, 04:17:43 PM »
ลองคิดดูในกรณีสี่เหลี่ยมจัตุรัส สิครับ ผมคิดแล้วมันก็ได้เท่ากันเหมือนกันครับ
ถ้าแกนหมุนผ่าน cm และอยู่ในระนาบเดียวกับแผ่นสี่เหลี่ยม
วิธีพิสูจน์ก็ง่ายกว่าด้วย  icon adore
Logged
icon adore  PHYSICS NEVER DIE
Nature uses only the longest thread to weave her patterns, so each small piece of her fabric reveals the organization of the entire tapestry. ; Richard P. Feynman

อย่าท้อ อย่าหยุด อย่าเบื่อ ; psaipetc
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #13 on: September 15, 2005, 04:48:40 PM »
แงๆ� Cry ผมจะอธิบายยังไงดีอะครับ คือมันสร้างรูปไม่ได้  เหยื่อรู้ตัว ไม่ยอมให้ผมใช้คอม แล้วเครื่องผมก็ไม่มี โปรแกรมไหนทำได้เลย� Cry ใครพอเข้าใจ ขอรูปให้ผม ได้ไหมครับ� icon adore
Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6345


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #14 on: September 15, 2005, 05:24:50 PM »
Quote from: ampan on September 15, 2005, 04:48:40 PM
แงๆ� Cry ผมจะอธิบายยังไงดีอะครับ คือมันสร้างรูปไม่ได้  เหยื่อรู้ตัว ไม่ยอมให้ผมใช้คอม แล้วเครื่องผมก็ไม่มี โปรแกรมไหนทำได้เลย� Cry ใครพอเข้าใจ ขอรูปให้ผม ได้ไหมครับ� icon adore


วาดรูปด้วยมือ แล้วสแกนมา หรือใช้กล้องดิจิตอลถ่าย แล้วส่งมา  Cool
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Pages: 1 2 3 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: