ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

41055 Posts in 6101 Topics- by 6105 Members - Latest Member: Pooh1504
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: SHM : ใบพัด  (Read 17932 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33



« on: September 12, 2005, 01:58:28 AM »

พอดีผมพบว่าคนเข้ามาตอบมีหลายคนที่กำลังจะเข้าค่ายกัน เลยเอาอะไรมันๆมากฝาก
อย่าลืมอ่านโจทย์ให้จบก่อนทำนะครับ

แบบจำลองอย่างง่ายของเครื่องยนต์ Jet ประกอบด้วยใบพัดรูปจานกลมแบนมวลสม่ำเสมอสามแผ่นที่เหมือนกันทุกประการ ถูกยึดด้วยแกนเบาอยู่ห่างเท่ากัน จงหา Normal modes ทั้งหมดของระบบ (การสั่นเกิดจากการบิดไปบิดมาของใบพัดแต่ละใบเนื่องจากแกนกลางไม่ได้แข็งเกร็ง แต่มีความยืดหยุ่นนิดหน่อย คล้ายๆ torsion pendulum)

ต่อมามีวัตถุขนาดเล็กมากๆเข้ามาทำให้อัตราเร็วเชิงมุมของแผ่นจานใบแรกเปลี่ยนไปเท่ากับ \Delta \Omega จาก \omega จงหามุมสูงสุดที่เกิดจากการบิดของแกนระหว่างแผ่นจานมีค่าเท่าไร (คือใบพัดทั้งสามใบหมุนต้องหมุนพร้อมกันเนื่องจากแกนยึดอยู่ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega แต่อยู่ดีๆก็มีวัตถุขนาดเล็กกระทบใบพัดใบแรกให้กระตุกจนทำให้อัตราเร็วเชิงมุมของเฉพาะใบแรกเปลี่ยนไป \Delta \Omega เป็นเหตุให้มันใบพัดทุกใบสั่น เลยให้หาว่ามุมที่ใบพัดสองใบใดๆ ต่างกันมากสุดมีค่าเท่าไร)

โดยกำหนดให้ ความถี่เชิงมุมของ Normal Mode ที่ต่ำที่สุดคือ \Omega เพื่อใช้ในทั้งสองตอนของโจทย์

นี่คือโจทย์อังกฤษ เผื่ออ่านที่แปลแล้วไม่เข้าใจกัน  Grin

A simple model of a jet engine comprises three identical thin rigid discs mounted equidistant on a uniform light shaft. Describe the normal modes of oscillation of the system.

A small object entering the engine produces an abrupt change \Delta \Omega in the angular velocity \omega of the first disk. Obtain an expression for the maximum resultant angle of twist of the shaft between the discs, given that the angular frequency of the lowest vibrational normal mode is \Omega .


* jetengine.gif (8.64 KB, 360x233 - viewed 588 times.)
« Last Edit: September 12, 2005, 02:35:53 AM by gigadot » Logged
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #1 on: September 12, 2005, 06:00:49 PM »

ขอโทษครับ คณิตศาสตร์ที่ต้องใช้ นี่ มีอะไรบ้างครับ ลึกไหม แล้วลำพังกฏนิวตันแก้ข้อนี้ได้ไหม  Huh รบกวนด้วยครับ
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33



« Reply #2 on: September 12, 2005, 07:15:20 PM »

โจทย์ข้อนี้คือ Oscillation แบบที่คล้ายๆกับการสั่นของระบบที่มีมากกว่า 1 มวล เช่น การสั่นของโมเลกุล Carbon นะครับ

คณิตศาสตร์ที่ใช้ก็คือการแก้หา differential equation แบบง่ายๆ จริงๆไม่ต้องแก้ก้ได้ครับ เพราะถ้าเราสามารถเขียนอยู่ในรูปของสมการ SHM ได้แล้วเราก็รู้อยู่แล้วว่าสมการผลลัพธ์จะอยู่ในรูปไหน แต่ปัญหาคือจะหา Normal mode ไงให้ครบครับ คำแนะคำคือการแก้โดยใช้ Matrix ช่วย แต่ว่าขอยืนยันว่า ถึงไม่ใช้ก็ทำออกอยู่ดีครับ

ส่วนตอนที่สองอาจต้องใช้ความรูเรื่่อง eigenvector แต่ว่าไม่ใช้ก็ออก

ดังนั้นถ้าใครเคยทำการสั่นของ Carbon atom มาแล้วควรจะทำได้ครับ
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6226


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #3 on: September 12, 2005, 07:25:17 PM »

โจทย์ข้อนี้คือ Oscillation แบบที่คล้ายๆกับการสั่นของระบบที่มีมากกว่า 1 มวล เช่น การสั่นของโมเลกุล Carbon นะครับ

คณิตศาสตร์ที่ใช้ก็คือการแก้หา differential equation แบบง่ายๆ จริงๆไม่ต้องแก้ก้ได้ครับ เพราะถ้าเราสามารถเขียนอยู่ในรูปของสมการ SHM ได้แล้วเราก็รู้อยู่แล้วว่าสมการผลลัพธ์จะอยู่ในรูปไหน แต่ปัญหาคือจะหา Normal mode ไงให้ครบครับ คำแนะคำคือการแก้โดยใช้ Matrix ช่วย แต่ว่าขอยืนยันว่า ถึงไม่ใช้ก็ทำออกอยู่ดีครับ

ส่วนตอนที่สองอาจต้องใช้ความรูเรื่่อง eigenvector แต่ว่าไม่ใช้ก็ออก

ดังนั้นถ้าใครเคยทำการสั่นของ Carbon atom มาแล้วควรจะทำได้ครับ

เด็กที่ยังไม่ได้เข้าค่ายหลัง ๆ คงยังไม่มีความรู้เรื่อง normal mode ของการสั่น  ...
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33



« Reply #4 on: September 12, 2005, 07:41:11 PM »

นั่นสิครับอาจารย์ แต่เด็ก สอวน น่าจะพอรู้บ้างแล้วเปล่่าครับ

แหมอย่างงี้ก็น่าเสียดาย โจทย์ข้อนี้สวยดี โดยเฉพาะส่วนที่สอง
 Grin Grin
Logged
Peace
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 477


« Reply #5 on: September 12, 2005, 08:12:28 PM »

อ่า สอวน.ไม่ได้เรียนคับพี่ Cry
Logged

น้ำเงินขาว ดาวสวรรค์ ปัญญาชน เราทุกคนคือตราสถาบัน

P.S.P.2 สายวิทย์เฮฮา
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #6 on: September 13, 2005, 06:42:47 PM »

ขอโทษครับ ผมเข้ารอบ ยี่สิบห้าคน ก็ไม่ได้เรียนเรื่องนี้� Cry� รู้สึกจาลึกไปในรอบ สิบห้าคน
อยากให้ใคร ช่วยบอกผมหน่อยว่า normal mode� คืออะไร เป็นยังไง อ.ปิยพงษ์ ผมออกไปกระทู้ ข้างนอกดีไหมครับ
 icon adore
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33



« Reply #7 on: September 13, 2005, 07:24:24 PM »

Normal mode คือ การสั่นที่ทุกอนุภาคสั่นด้วยความถี่เดียวกันครับ นี่คือนิยามจาก Math World

สาเหตุเพราะว่าระบบระบบหนึ่งที่ประกอบด้วยสปริงและมวลหลายอันสามารถที่จะสั่นได้หลายความถี่ และกรณีพิเศษที่ระบบนั้นสั่นด้วยความถี่ใดความถี่หนึ่งเรียก Normal mode พูดง่ายๆ เราต้องการหาว่ามีความถี่ทั้งหมดที่ระบบระบบนี้สามารถสั่นได้กี่แบบครับ

เดี๋ยวจะหารูปมาประกอบ
Logged
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33



« Reply #8 on: September 14, 2005, 05:35:34 PM »

ในที่สุดผมก็คิดว่า ควรจะเอาเนื้อหามาสอนให้ด้วย ไม่งั้นก็คงจะยังสงสัยกัน

เรื่องที่เกี่ยวข้อคือ Coupled oscillation

จากรูปนะครับ เป็นระบบที่ประกอบด้วยมวลมากกว่า 1 อันและมีสปริงมากว่า 1 อันเช่นกัน
เราจะพยายามเขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวลแต่ละก้อน

ก่อนอื่นเราต้องมาทำความเข้าใจเรื่องการกำหนด Coordinate ก่อน ซึ่งจากรูปจำเห็นว่า
ผมใช้ Coordinate x_1, x_2, x_3 โดยผมกำหนดให้ตัวแปรเหล่านี้ใช้แทนการกระจัดของมวล
จากซ้ายไปขวา จากตำแหน่งสมดุลของมันเอง

การกำหนดตำแหน่งแบบนี้มีประโยชน์ตรงที่ว่าเราไม่ต้องมาสนใจพวก Constant ของระยะ
ระหว่างมวลอีก เพราะระยะเหล่านี้สุดท้ายก็ไม่ได้มีผลอะไรกับสมการ เหมือนกับการแขวน
มวลบนสปริงที่ห้อยและถูกดึงด้วยแรงโน้มถ่วง ระยะยืดเนื่องจากแรงโน้มถ่วงสุดท้ายจะเป็น
เพียงค่าคงตัวเท่านั้น

คราวนี้เราก็สามารถเขียนสมการ การเคลื่อนที่ได้ดังต่อไปนี้
m\ddot x_1  = k(x_2  - x_1 )----(1)
m\ddot x_2  = k(x_1  + x_3 - 2x_2 )----(2)
m\ddot x_3  = k(x_2  - x_3 )----(3)

คราวนี้เราก็จะมาแก้สมการกัน ซึ่งทำได้อย่างต่ำสองวิธีหลักๆ ผมจะเริ่มจากวิธีแก้สมการก่อน
แต่อย่างน้อยคุณต้องมีความรู้เรื่อง Ordinary Differential Equation นิดหน่อยก่อนนะครับ

กรณีที่ 1
เอา (1)+(3)-2*(2) ได้
m(\ddot x_1 + \ddot x_3 - 2\ddot x_2)  = -3k(x_1  + x_3 - 2x_2) ----(4)

ถ้าให้ x_1  + x_3 - 2x_2 เป็นอีก Coordinate เรียก X จะได้ว่า
m(\ddot X)  = -3kX

ซึ่งเป็นสมการ SHM มี \omega^2_1 คือ 3k/m

กรณีที่ 2
เอา (1)+(2)+(3) ได้
m(\ddot x_1 + \ddot x_2 + \ddot x_3)  = 0 ----(5)
ได้ว่า \omega^2_2 คือ 0

กรณีที่ 3
เอา (1)-(3) ได้
m(\ddot x_1 - \ddot x_3)  = -k(x_1 - x_3) ----(6)
ได้ว่า \omega^2_3 คือ k/m


To be continue...
(เหนื่อย แล้วกว่าจะพิมพ์ได้แค่นี้)  Roll Eyes

Continue นะครับ

เราเรียก X จากกรณีที่ 1 และ (x_1 - x_3) จากกรณีที่ 3 ว่า Normal Coordinate ครับ

ตอนนี้เราก็ได้ ค่าของความถี่สำหรับแต่ละ Normal Mode แล้ว คือ 0, k/m, 3k/m

ผมจะอธิบายทีละกรณีนะครับ
การแก้ Differential Equation จะแตกต่างจากการแก้สมการหลายตัวแปรอยู่หลายประการ
1. เราไม่จำเป็นต้องใช้ทุกสมการในการแก้ แต่เราจำเป็นต้องตีความดีๆว่าทำไมเราถึงไม่ใช้
2. เราสามารถแทนตัวแปร อย่าง x_1  + x_3 - 2x_2 แล้วแก้ในรูปของ X ก็ได้ โดยยังติดตัวแปรอื่นๆไว้

กรณีที่ 1 เราใช้ทั้งสมการ แก้ในรูปของ x_1  + x_3 - 2x_2
วิธีที่จะบอกต่อไปนี้อาจจะไม่ได้แสดงให้เห็นเป็นจริงทางคณิตศาสตร์ แต่ว่าก็นับว่าเหมาะกับการอธิบายใน
ระดับนี้ เพราะว่ามันช่วยเพิ่มไอเดียใหม่ๆ ในการสังเกตสมการด้วย

จากสมการที่ 4 เราได้ว่า
(x_1  + x_3 - 2x_2) = A sin(\omega_1 t + \phi) ----(7)

เรารู้ว่าสมการของเราต้องออกมาเป็นการเคลื่อนที่แบบ SHM คืออยู่ในรูป Sine Function แสดงว่าค่า
x_1, x_2, x_3 ต้องเป็นประมาณ A_i sin (\omega_1 t + \phi_i) โดยจำเป็นอย่างยิ่งที่ x_1, x_2, x_3
จะต้องเป็น function sine ของ \omega_1 ด้วยเพราะไม่งั้นมันจะไม่มีวันบวกลบกันได้ ผลลัพธ์ที่
มีคำตอบในรูปของสมการที่ (7) ที่เป็นแค่ความถี่เดียว

จึงสามารถสรุปได้ว่า คำตอบจะอยู่ในรูป
x_1 = A_1 sin (\omega_1 t + \phi_1)
x_2 = A_2 sin (\omega_1 t + \phi_2)
x_3 = A_3 sin (\omega_1 t + \phi_3)
โดยค่าของ A_1, A_2, A_3,\phi_1, \phi_2, \phi_3 หาจากเงื่อนไขเริ่มต้น

ถ้าพิจารณากรณีง่ายสุด การเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกับสมการนี้คือ มวลซ้ายสุดและขวาสุดเคลื่อนที่ไป
ทางเดียวกันอย่างละ 1 หน่วย และมวลตรงกลางเคลื่อนที่ไปในทางทิศตรงกันข้ามด้วยระยะ 2 หน่วย
ตลอดการเคลื่อนที่ เพื่อรักษาตำแหน่งของ CM ไม่ให้เคลื่อนที่

กรณีที่ 2 ถ้าเราแก้ในรูปของ x_1 + x_2 +x_3 เราจะได้สมการการเคลื่อนที่ในแนวตรง
ด้วยความเร็วคงที่ นี่คือกรณีที่ CM เคลื่อนที่โดยไม่มีแรงกระทำจากภายนอกครับ

กรณีที่ 3 เรายกเว้นการใช้สมการที่ (2) ในการแก้เพราะเราจงใจให้ x_2, \ddot x_2 = 0
จึงส่งผลให้เหลือเพียงอีกสอง Coordinate ที่เหลือเคลื่อนที่แบบ SHM ด้วยความถี่เท่ากับ k/m
ซึ่งก็คือกรณีที่มวลตรงกลางไม่เคลื่อนที่ไปไหนเลย โดยมีมวลสองข้างเคลื่อนที่ด้วยระยะเท่ากันในทิศตรงกันข้าม
เพื่อรักาาจุด CM ตามเคย

ทั้งสามกรณีนี้คือ Normal Mode ของระบบนี้ครับ

คราวนี้คงเริ่มเห็นกันแล้วว่า เราได้ค่า x_1 จากกรณีที่ 1, 2 และ 3 การจะหาผลลัพธ์สุดท้ายนั้นคือ
ต้องเอาจากทั้งสามกรณีมาบวกกันครับ
ถึงตอนนี้เริ่มจะลำบากแล้วที่จะบอกว่าอันไหนมาจากกรณีไหน ผมจึงให้ว่า
x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, x_3^{(1)} มาจากกรณีที่ 1
x_1^{(2)}, x_2^{(2)}, x_3^{(2)} มาจากกรณีที่ 2
x_1^{(3)}, x_2^{(3)}, x_3^{(3)} มาจากกรณีที่ 3
และให้
x_1, x_2, x_3 แทนคำตอบสุดท้าย
จะได้
x_1 = x_1^{(1)} + x_1^{(2)} + x_1^{(3)} ผลรวมของคำตอบของ x_1 จากทุกกรณี
x_2 = x_2^{(1)} + x_2^{(2)} + x_2^{(3)} ผลรวมของคำตอบของ x_2 จากทุกกรณี
x_3 = x_3^{(1)} + x_3^{(2)} + x_3^{(3)} ผลรวมของคำตอบของ x_3 จากทุกกรณี

ทีนี้เราก็ได้คำตอบสำหรับทุก Coordinate เห็นได้ว่าคำตอบสุดท้ายคือผลบวกของสมการจาก Normal Mode
พูดง่ายๆ เราสร้างระบบการสั่นที่ยุ่งยากขึ้น จากระบบการสั่นง่ายๆ ที่เรียกว่า Normal mode ครับ

เอาไว้ต่อเรื่องการหา Normal Mode ให้ครบโดยไม่ต้องมานั่งจัดสมการเอง

นอกจากนี้ยังมีวิธีการหาความถี่ได้อีกวิธีหนึ่งคือการใช้ Matrix

เนื่องจากเราทราบว่าถ้าระบบกำลังสั่นด้วย Normal Mode ความถี่ของอนุภาคทุกตัวจะมีค่าเท่ากัน และคำตอบ
ของ Differential Equation จะต้องสอดคล้องกับสมการ SHM ด้วย เราจึงได้ว่า
\ddot x_1 = - \omega^2 x_1
\ddot x_2 = - \omega^2 x_2
\ddot x_3 = - \omega^2 x_3

แทนสมการเหล่านี้ลงในสมการการเคลื่อนที่ (1), (2), (3) ได้
- m\omega^2 x_1  = k(x_2  - x_1 )----(8 )
- m\omega^2 x_2  = k(x_1  + x_3 - 2x_2 )----(9)
- m\omega^2 x_3  = k(x_2  - x_3 )----(10)

จัดรูปใหม่เป็น
(m\omega^2 - k) x_1 + kx_2 = 0----(11)
kx_1 + (m\omega^2-2kx_2) x_2 + kx_3 = 0----(12)
kx_2  + (m\omega^2- k)x_3 = 0----(13)

หรือเขียนในรูป Matrix ได้เป็น
\left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\omega ^2  - k} & k & 0  \\   k & {m\omega ^2  - 2k} & k  \\   0 & k & {m\omega ^2  -k}  \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}   {x_1 }  \\   {x_2 }  \\   {x_3 }  \\\end{array}} \right) = \left( \begin{array}{*{20}c}   0  \\   0  \\   0  \\\end{array}} \right)

เราทราบว่าคำตอบของ x_1, x_2, x_3 ไม่ใช่ 0 และมีมากกว่า 1 คำตอบ ดังนั้น
\det \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\omega ^2  - k} & k & 0  \\   k & {m\omega ^2  - 2k} & k  \\   0 & k & {m\omega ^2  - k}  \\\end{array}} \right) = 0

ได้
m\omega^2(m\omega^2-k)(m\omega^2-3k)=0
หรือ
\omega^2 = 0, k/m, 3k/m



* image002.jpg (3.05 KB, 316x70 - viewed 495 times.)
« Last Edit: September 15, 2005, 04:55:19 PM by gigadot » Logged
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #9 on: September 14, 2005, 05:45:41 PM »

ขอบคุนมากครับ ต่อเรยๆ Grin Grin
Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
Peace
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 477


« Reply #10 on: September 14, 2005, 06:00:01 PM »

ขอบคุณคร๊าบ จะรออ่านต่อนะครับ
« Last Edit: September 15, 2005, 06:56:07 PM by Peace » Logged

น้ำเงินขาว ดาวสวรรค์ ปัญญาชน เราทุกคนคือตราสถาบัน

P.S.P.2 สายวิทย์เฮฮา
gigadot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33



« Reply #11 on: September 15, 2005, 07:23:41 AM »

มีใครสงสัยอะไร อยากให้เพิ่มเติมมั้ยครับ  Roll Eyes
Logged
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140


« Reply #12 on: September 15, 2005, 04:53:25 PM »

ตอนนี้งงมากมายครับ ผมไม่ค่อยเก่งคณิตศาสตร์ เดี๋ยวเสาร์อาทิตย์จะ ค่อยๆ แกะ  Cheesy ขอบคุณครับ
Logged

Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #13 on: September 21, 2005, 11:22:52 PM »

การแก้ปัญหาแนวนี้ก่อนหน้ามีเขียนไว้เหมือนกันครับ
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,110.0.html

กลางๆหน้าครับ โดย คุณ Wathan
« Last Edit: September 21, 2005, 11:25:25 PM by Foggy_Ritchy » Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #14 on: September 22, 2005, 08:46:51 PM »

เย้มีลิงค์ไปให้ดูเพิ่มด้วย
แต่ข้อนี้ไม่มีใครคิดจะทำจริงๆหรอ  Tongue
Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น