Proof : การทำ linear mapping จาก

ไปยัง

จะเป็นแบบ bijection ก็ต่อเมื่อ

จำพิสูจน์ว่า ถ้า

แล้ว การ mapping จาก

ไปยัง

จะเป็นแบบ bijection
กำหนดให้

= {

} เป็น basis ของ W
และ ให้

={

} เป็น subset หนึ่งของ V
โดยที่

สำหรับ ทุกค่า i
จากทฤษฎี
"Let

be a linear mapping and let

= {

}

be linearly independent.
Assume that m vector are given in V so that they form a set

= {

}

with

for all i. Then

is linearly independent" (ชั่วโมงบรรยายวันที่ 25 มิ.ย. 2550)
/tex] ใหม่เป็น

จากนิยามของ basis (อ้างอิงชั่วโมงบรรยายวันที่ 11 มิ.ย. 2550)
ถ้าให้

เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน
เราเขียนได้ว่า

ทำ linear mapping ไปได้ว่า


เนื่องจาก

เป็น basis ของ

แสดงว่าทุกเวกเตอร์ใน

สามารถเขียนในรูป Linear Combination ของสมาชิกใน

ได้ (จากนิยามของ basis)
เนื่องจาก

เขียนได้ในรูป
ซึ่งก็คือ Linear Combination ของสมาชิกใน basis
ดังนั้น สรุปได้ว่า

นั้นแทน

ได้ทุกตัวใน

แสดงว่า การ mapping นี้ เป็นแบบ surjection ---(1)
ที่เหลือคือ พิสูจน์ว่า การ mapping นี้เป็นแบบ injection
ลองสมมุติว่า มีเวกเตอร์

และ

ใน

โดยที่

ซึ่งเขียน

และ

ได้ในรูปดังนี้


ทำ linear mapping จะได้ดังนี้



และ



แต่จากทฤษฎี
"สำหรับ

ใดๆ ใน

สามารถเขียนแทน

ด้วยการทำ Linear Combination ของสมาชิกของ basis ของ

ได้เพียงแบบเดียวเท่านั่น"(อ้างอิง ชั่วโมงบรรยาย วันที่ 11 มิ.ย. 2550)
ซึ่งจากที่

เขียนได้เป็นทั้ง

/tex] แล้ว

เป็นแบบ bijection

สรุปรวมกับที่พิสูจน์ในชั่วโมงบรรยายวันที่ 25 มิ.ย. 2550
ซึ่งกล่าวไว้ว่า"