ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41241 Posts in 6175 Topics- by 8099 Members - Latest Member: mathephobia
mPEC Forumฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยปีสาม: พีชคณิตเชิงเส้นเงื่อนไขเกี่ยวกับ dimension สำหรับ การ map จาก V ไป W ที่จะเป็นแบบ bijection
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: เงื่อนไขเกี่ยวกับ dimension สำหรับ การ map จาก V ไป W ที่จะเป็นแบบ bijection  (Read 78735 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Blackpanther
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« on: July 01, 2007, 03:33:01 PM »
Proof : การทำ linear mapping จาก V ไปยัง W จะเป็นแบบ bijection ก็ต่อเมื่อ \dim (V)=\dim (W)

จำพิสูจน์ว่า ถ้า \dim (V)=\dim (W) แล้ว การ mapping จาก V ไปยัง W จะเป็นแบบ bijection

กำหนดให้ B_w= {\overset{\rightharpoonup}{w}_1,\overset{\rightharpoonup }{w}_2,\overset{\rightharpoonup}{w}_3,...,\overset{\rightharpoonup }{w}_n} เป็น basis ของ W
และ ให้ A={\overset{\rightharpoonup }{v}_1,\overset{\rightharpoonup}{v}_2,\overset{\rightharpoonup }{v}_3,...,\overset{\rightharpoonup }{v}_n} เป็น subset หนึ่งของ V
โดยที่
f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)={\overset{\rightharpoonup }{w}_i สำหรับ ทุกค่า i

จากทฤษฎี
"Let f : V \to W be a linear mapping and let A= {\overset{\rightharpoonup }{w}_1,\overset{\rightharpoonup }{w}_2,\overset{\rightharpoonup }{w}_3,...,\overset{\rightharpoonup }{w}_m} \subset W be linearly independent.
Assume that m vector are given in V so that they form a set B= {\overset{\rightharpoonup}{v}_1,\overset{\rightharpoonup }{v}_2,\overset{\rightharpoonup }{v}_3 ,..., \overset{\rightharpoonup}{v}_m} \subset V  with f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i) = \overset{\rightharpoonup }{w}_i for all i. Then B is linearly independent" (ชั่วโมงบรรยายวันที่ 25 มิ.ย. 2550)

/tex]  ใหม่เป็น B_v

จากนิยามของ basis (อ้างอิงชั่วโมงบรรยายวันที่ 11 มิ.ย. 2550)

ถ้าให้ \overset{\rightharpoonup }{v} เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน  V
เราเขียนได้ว่า \overset{\rightharpoonup }{v}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_i\overset{\rightharpoonup }{v}_i}
ทำ linear mapping ไปได้ว่า
f(\overset{\rightharpoonup }{v})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i} f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)}

f(\overset{\rightharpoonup }{v})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i} \overset{\rightharpoonup }{w}_i}

เนื่องจาก B_w เป็น basis  ของ W
แสดงว่าทุกเวกเตอร์ใน W สามารถเขียนในรูป Linear Combination ของสมาชิกใน B_w  ได้ (จากนิยามของ basis)

เนื่องจาก  f(v) เขียนได้ในรูป

\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}\overset{\rightharpoonup }{w}_i 

ซึ่งก็คือ Linear Combination ของสมาชิกใน basis
ดังนั้น สรุปได้ว่า f(\overset{\rightharpoonup }{v}) นั้นแทน \overset{\rightharpoonup}{w} ได้ทุกตัวใน W

แสดงว่า การ mapping นี้ เป็นแบบ surjection ---(1)

ที่เหลือคือ พิสูจน์ว่า การ mapping นี้เป็นแบบ injection

ลองสมมุติว่า มีเวกเตอร์ \overset{\rightharpoonup}{v}_a และ \overset{\rightharpoonup }{v}_{b } ใน V โดยที่ f(\overset{\rightharpoonup }{v}_a)=f( \overset{\rightharpoonup }{v}_{b })=\overset{\rightharpoonup }{w}_0}

ซึ่งเขียน \overset{\rightharpoonup}{v}_a  และ \overset{\rightharpoonup }{v}_{b } ได้ในรูปดังนี้

\overset{\rightharpoonup }{v}_a=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
{\overset{\rightharpoonup }{v}_b=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
ทำ linear mapping จะได้ดังนี้
\overset{\rightharpoonup }{v}_a=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
f(\overset{\rightharpoonup }{v}_a)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)
\overset{\rightharpoonup }{w}_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_i{}\overset{\rightharpoonup }{w}_i
และ
\overset{\rightharpoonup }{v}_b=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
f(\overset{\rightharpoonup }{v}_b)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_{i}f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)
\overset{\rightharpoonup }{w}_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_i\overset{\rightharpoonup }{w}_i

แต่จากทฤษฎี
"สำหรับ \overset{\rightharpoonup }{v}ใดๆ ใน V  สามารถเขียนแทน \overset{\rightharpoonup }{v} ด้วยการทำ Linear Combination ของสมาชิกของ basis ของ V ได้เพียงแบบเดียวเท่านั่น"(อ้างอิง ชั่วโมงบรรยาย วันที่ 11 มิ.ย. 2550)

ซึ่งจากที่ \overset{\rightharpoonup }{w}_0  เขียนได้เป็นทั้ง \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_i\overset{\rightharpoonup }{w}_i/tex] แล้ว f :V\to W  เป็นแบบ bijection

\therefore  สรุปรวมกับที่พิสูจน์ในชั่วโมงบรรยายวันที่ 25 มิ.ย. 2550
ซึ่งกล่าวไว้ว่า"
« Last Edit: July 01, 2007, 04:01:56 PM by Blackpanther » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6277


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: July 01, 2007, 03:38:35 PM »
ช่วยเขียนโจทย์ให้ชัดเจนก่อนลงมือทำได้ไหม
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Blackpanther
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #2 on: July 01, 2007, 04:03:34 PM »
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on July 01, 2007, 03:38:35 PM
ช่วยเขียนโจทย์ให้ชัดเจนก่อนลงมือทำได้ไหม

เพิ่มให้แล้วครับ ขออภัยครับ ลืมใส่ไปด้วย
Logged
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #3 on: July 07, 2007, 03:21:20 PM »
สำหรับส่วนนี้

Quote
กำหนดให้ B_w = \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \vec{w}_3, \dotsc, \vec{w}_n \} เป็น basis ของ W
และ ให้ A = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \dotsc, \vec{v}_n \} เป็น subset หนึ่งของ V
โดยที่
f(\vec{v}_i)= \vec{w}_i สำหรับ ทุกค่า i

ถ้าเราจะแสดงขากลับอย่างเดียว ซึ่งคือ

ถ้า \dim (V)=\dim (W) แล้ว f :V\to W  เป็นแบบ bijection

(เพราะขาไปทำไปแล้วในห้องเรียน)
เรามีความจริงที่ว่า

\dim (V) = \dim (W)

อยู่กับตัวอยู่แล้วครับ เราเลือก A \subset V ซึ่ง

A = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dotsc, \vec{v}_n \}

ที่เป็น basis มาได้เลยครับ ไม่เป็นต้องไปเริ่มเลือกที่ subset ใดๆ ที่อาจไม่ใช่ basis ก่อน
นอกจากนั้นแล้ว การไปเลือก subset ใดๆ ที่อาจไม่ใช่ basis แล้วกำหนดเงื่อนไขนี้

Quote
f(\vec{v}_i)= \vec{w}_i

มันเป็นการเลือก subset ที่เป็น basis อยู่ดี อย่างที่น้องมงคลได้แสดง
แต่ปัญหาคือ น้องมงคลเผลอไปทำมากกว่าแค่เลือก subset ที่เป็น basis ครับ
การมีเงื่อนไขนี้เป็นการกำหนดก่อนเลยว่า mapping ที่จะพิสูจน์ อย่างน้อยก็เป็น bijective mapping ระหว่าง basis แล้ว
ตรงนี้เหมือนนำสิ่งที่จะพิสูจน์ มาใส่ไว้ในการพิสูจน์เสียอย่างนั้นครับ!

การพิสูจน์ถึงความเป็น bijective ของ mapping ที่ตามมาที่น้องมงคลแสดงไว้ พึ่งพิงเงื่อนไขนี้
ดังนั้น ถ้าจะให้การพิสูจน์นี้ยอมรับได้
น้องมงคลต้องพิสูจน์ว่า

f(\vec{v}_i)= \vec{w}_i โดยที่ \vec{v}_i \in basis ของ V และ \vec{w}_i \in basis ของ W

ก่อนครับ Smiley
« Last Edit: July 07, 2007, 03:49:48 PM by เกียรติศักดิ์ » Logged
Scientia gaza inaestimabilis est.
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: