มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41094 Posts in 6121 Topics- by 6808 Members - Latest Member: Surakait Sinpichai
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: หมุนไปกับสปริง  (Read 4972 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
h-man
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 13


« on: May 31, 2007, 12:47:59 AM »

สปริงเบามีค่าคงตัวสปริง k ยาว l อยู่ในสภาพปกติ ปลายข้างหนึ่งถูกตรึง ส่วนอีกข้างผูกติดอยู่กับมวล m มวล m อีกก้อนหนึ่งพุ่งเข้าชนมวล m ก้อนแรกแบบยืดหยุ่นด้วยความเร็ว v ในทิศตั้งฉากกับสปริง ดังรูป จงหารัศมีความโค้งที่น้อยที่สุดของมวล m ที่ติดอยู่กับสปริง
« Last Edit: June 02, 2007, 06:55:43 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 783


物理が 楽しいです  Physics is fun


WWW
« Reply #1 on: June 01, 2007, 08:10:52 PM »

รัศมีความโค้งที่หมายถึงระยะทั้งหมดของสปริงคือว่า curvatureจริงๆเลยครับ
Logged

สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
METEORIC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


« Reply #2 on: June 02, 2007, 06:15:52 PM »

ช่วยแนะข้อนี้ให้หน่อยสิครับ   Smiley Smiley
Logged
POKO
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #3 on: June 06, 2007, 06:47:15 AM »

ข้อนี้ผมทำยาวมากเลยครับ ไม่รู้จะถูกรึเปล่า  buck2

จินตนาการว่าหมุนรูปเจ้าของกระทู้ 90 องศา ทวนเข็มนาฬิกา  แล้วตั้งแกน x-y ตามปกติ  ข้อนี้จะใช้ polar coordinates คิดนะครับ
ตอนแรก ชนแบบยืดหยุ่น มวลก้อนก้อนที่วิ่งถ่ายเทโมเมนตัมทั้งหมด ให้มวลที่ติดสปริง
จากกฏการคงตัวของพลังงาน จะได้ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)+\frac{1}{2}k(r-l)^2
จากกฏการคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม m r^2 \dot{\theta} = m v l ถ้าเราต้องการ เราสามารถนำค่า \dot{\theta} ลงไปแทนในสมการพลังงานได้

พักไว้ก่อนนะครับ มาพิจารณาสมการการเคลื่อนที่ m\ddot{\vec{r}} = -k (r-l) \hat{r}  ถ้าดูที่ทิศ \hat{\theta} จะได้กฏการคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม  ถ้าดูทิศ \hat{r} และใช้กฏการคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม จะได้ \ddot{r}-\dfrac{v^2 l^2}{r^3} = -\dfrac{k}{m} (r-l)

พักไว้ก่อนครับ มาดูที่รัศมีความโค้ง  นิยาม \rho = \frac{ds}{d\phi} โดยที่ ds = \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2} dt และ \tan{\phi}=\frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}
จากนั้นจะได้ว่า \rho = \dfrac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{3/2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}
แปลงให้อยู่ในรูปของ polar โดยใช้ x = r\cos(\theta) , y = r\sin(\theta) ,กฏการคงตัวของพลังงาน และสมการการเคลื่อนที่ในทิศ \hat{r} จะได้
\rho = \dfrac{(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)^{3/2}}{\dfrac{v^3 l^3}{r^4}-\dfrac{v l \ddot{r}}{r}} = \dfrac{mr}{kvl} \dfrac{(v^2-\dfrac{k}{m}(r-l)^2)^{3/2}}{r-l}

พักไว้ก่อนนะครับ จากสมการพลังงาน และ โมเมนตัมเชิงมุม จะได้  \dot{r}^2 = v^2 -\dfrac{v^2 l^2}{r^2}-\dfrac{k}{m}(r-l)^2
พิจารณากราฟระหว่าง \dot{r}^2 กับ r  เมื่อ r=l จะได้  \dot{r}^2 = 0 เราก็พล็อตจุด (l,0) ลงในกราฟของเรา
เมื่อ r = l+v\sqrt{\dfrac{m}{k}} (ถ้า r มากกว่านี้ จะเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากจะทำให้ขนาดของเวกเตอร์ความเร็วเป็นลบ) จะได้ \dot{r}^2<0  เราก็พล็อตจุดนั้นลงไป
พิจารณาอนุพันธ์อันดับสอง จะได้ค่าเป็นลบสำหรับทุกค่าของ r (ลองทำดูนะครับ) นั่นแสดงว่ากราฟมีลักษณะโค้งลงเสมอ (ทำนองเดียวกับพาราโบลาคว่ำ)  ถ้าเราวาดเส้นโค้งลงนี้จากลบอินฟินิตี้ที่จุดศูนย์ ขึ้นมาจนถึง 0 ที่จุด l แล้วก็ลงไปที่จุดตรง l+v\sqrt{\dfrac{m}{k}} จะพบว่า เส้นโค้งนี้จะตัดศูนย์ที่อีกจุดหนึ่งซึ่งอยู่ระหว่าง l กับ l+v\sqrt{\dfrac{m}{k}}
เราจะพิจารณาเฉพาะค่าของ \dot{r}^2 กับ r ที่เป็นบวกเท่านั้น จะพบว่าวัตถุเคลื่อนที่อยู่ระหว่างจุดที่มีรัศมี l กับรัศมีอีกค่าหนึ่ง (คาดว่าการเคลื่อนที่นี้น่าจะเป็นรูปวงรี หรือคล้ายๆ ผมแก้สมการโดยตรงไม่ออกครับ)
พิจารณาอนุพันธ์อันดับแรกของรัศมีความโค้ง จะเป็นลบเสมอ สำหรับ r>l (ลองพิสูจน์ดูนะครับ)  จะได้ว่า รัศมีความโค้งลดลงเรื่อยจนมีค่าน้อยที่สุด อยู่ที่จุดตัดแกนของกราฟระหว่าง \dot{r}^2 กับ r

ขั้นต่อไปก็คือ เราจะต้องหาจุดตัดกราฟระหว่าง \dot{r}^2 กับ r โดยการแก้สมการ  0 = v^2 -\dfrac{v^2 l^2}{r^2}-\dfrac{k}{m}(r-l)^2 ซึ่งสามารถแก้โดยจัดให้เป็นรูปสมการกำลังสี่ แล้วกำจัดคำตอบที่ r = l ทิ้งไป เราจะเหลือสมการกำลังสาม ซึ่งเราต้องการค่าที่เป็นจำนวนจริงบวก
กำหนดให้  x = \frac{r}{l} และ  a = \frac{mv^2}{kl^2} จัดรูปนิดหน่อย จะได้สมการกำลังสามที่เราต้องแก้คือ  x^3 - x^2 - ax -a =0

ผมยกวิธีแก้สมการนี้จาก http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html
ขั้นแรก ให้ p=-a-\frac{1}{3} ซึ่งมีค่าเป็นลบเสมอ (ค่า a ของเราเป็นบวกเสมอนะครับ)
ต่อมา q=-\frac{4}{3}a-\frac{2}{27}
ต่อมา C=\frac{1}{2}q(\frac{3}{|p|})^{3/2}
คำตอบที่เป็นบวกคือ  x = 2\sqrt{\frac{|p|}{3}}(\cosh(\frac{1}{3}\cosh^{-1}C))+\frac{1}{3} เมื่อ C>1 (ถ้า C<1 เปลี่ยน \cosh ทั้งหมด เป็น \cos)

ซึ่งถ้านำคำตอบนี้มาคูณด้วย l แล้ว เราจะได้ระยะที่ไกลที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และเป็นระยะที่ให้ค่ารัศมีความโค้งน้อยที่สุดด้วย  นั่นคือ ถ้าเราแทนค่าที่ได้ลงในสมการของรัศมีความโค้ง เราจะได้รัศมีความโค้งที่ต้องการ  ผมขออนุญาตไม่แทนค่าให้ดูนะครับ มันยาวมากๆ

ขออภัยนะครับที่ไม่มีรูปประกอบ ถ้าว่างๆอาจจะมาใส่ให้  แต่ถ้าใครพบว่าวิธีที่ผมว่ามานี้ถูกต้อง และสนใจจะใส่รูปประกอบ หรืออธิบายเพิ่มเติมให้ง่ายขึ้น ขอเชิญครับ
Logged
NiG
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1221


no one knows everything, and you don’t have to.


WWW
« Reply #4 on: June 06, 2007, 04:09:31 PM »

มันยาวไปรึเปล่าครับพี่  Shocked
Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148
POKO
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #5 on: June 07, 2007, 12:44:04 AM »

ผมก็รู้สึกว่ามันยาวไปเหมือนกันนะครับ  แต่โจทย์ข้อนี้ไม่ทราบว่าโจทย์ระดับไหน หรือเป็นโจทย์แต่งขึ้นเอง  เพราะตอนแรกผมก็คิดว่ามันจะธรรมดาๆ คำตอบสวยๆ แต่แก้ไม่ออก แล้วก็ยังไม่เห็นมีใครมาทำให้ดู ก็เลยเริ่มไม่แน่ใจแล้วว่ามันง่ายจริงๆรึเปล่า

เท่าที่ผมทำมาไม่ทราบว่าทำผิดตรงไหนบ้างรึเปล่า  แต่เท่าที่ดูตอนนี้ก็ยังไม่เจอที่ผิด  ใครพบเจอที่ผิดก็ช่วยบอกด้วยนะครับ  หรือใครมีวิธีที่ดีกว่านี้ก็ช่วยทำให้ดูด้วยนะครับ

ขออธิบายอีกทีแบบคร่าวๆก็แล้วกันนะครับ
1. ใช้กฏการคงตัวของพลังงาน กับ กฏการคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม
2. พิจารณาสมการการเคลื่อนที่ในทิศของ \hat{r}
3. หารัศมีความโค้งในพิกัดเชิงขั้ว แล้วใช้สมการในข้อ 1 กับ ข้อ 2 ช่วย เพื่อให้ดูสวยงามขึ้น
4. เขียน \dot{r}^2 ในรูปของ r แล้วก็ลองพล็อตกราฟดู
5. เราจะทราบว่ารัศมีช่วงไหนที่มวลสามารถอยู่ได้
6. นำรัศมีความโค้งในข้อ 3 (ซึ่งตอนนี้เป็นฟังก์ชันของ r) มาพล็อต ซึ่งเราจะเห็นว่าค่ามันจะลดลงจากอินฟินิตี้ จนถึงศูนย์ที่จุด r = l + v \sqrt{\frac{m}{k}} ซึ่งระยะนี้เป็นระยะที่มากเกินกว่าที่มวลจะเคลื่อนที่มาได้ (พิจารณาจากข้อ 4) เราก็เลยไม่จำเป็นต้องพิจารณาต่อ (จริงๆ แล้วมันหาค่าไม่ได้ หลังจากระยะนี้)
7. เทียบกราฟของข้อ 4 กับ ข้อ 6 เราก็จะทราบว่ารัศมีความโค้งที่ตรงจุดไหนมีค่าน้อยที่สุด  ในที่นี้รัศมีความโค้งลดลงเรื่อยๆ ไปจนถึงจุดๆหนึ่งที่ \dot{r}^2=0 และวัตถุไม่สามารถเคลื่อนที่ในระยะที่มากกว่านี้ได้อีก นั่นคือ ณ จุดนี้ รัศมีความโค้งมีค่าน้อยที่สุด
8. เรารู้แล้วว่าต้องหาคำตอบของสมการ \dot{r}^2=0 เราสามารถแปลงเป็นสมการกำลังสี่ แล้วแยกตัวประกอบ r-l ออกมา แล้วแก้สมการกำลังสามที่เหลือ
9. อ้างอิงจากกราฟ เราก็เอาคำตอบที่มากกว่า l มาใช้ แล้วแทนลงในรัศมีความโค้ง ก็จะได้รัศมีความโค้งที่น้อยที่สุด

ทั้งนี้มีสมมุติฐานว่า ผิวสัมผัสไม่ฝืด  สปริงไม่โค้งงอตลอดการเคลื่อนที่ และขอเผื่อไว้ก่อนว่า เราหยิบเอามวลก้อนที่เข้าชนออกไป หลังจากที่มันชนแล้ว  จะได้ไม่ขวางการเคลื่อนที่

คราวนี้ใส่รูปมาให้ดูด้วยครับ
รูปแรก เป็นกราฟระหว่าง  \dot{r}^2 กับ r เฉพาะในบริเวณที่เราสนใจ  เราจะเห็นว่าค่า r ที่เป็นไปได้คือ ค่าที่ไม่ทำให้ \dot{r}^2 ติดลบ
รูปที่สอง เป็นกราฟระหว่าง \rho กับ r เฉพาะบริเวณที่เราสนใจเช่นกันครับ
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น