ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41497 Posts in 6261 Topics- by 9233 Members - Latest Member: Pantip_bim1
mPEC Forumถามโจทย์ปัญหาถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ลูกตุ้มอย่างง่ายในรถที่เคลื่อนที่แนวตรงด้วยความเร่ง
« previous next »
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: ลูกตุ้มอย่างง่ายในรถที่เคลื่อนที่แนวตรงด้วยความเร่ง  (Read 29212 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6311


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« on: August 18, 2005, 07:37:50 AM »
ลูกตุ้มอย่างง่ายมวล m ผูกไว้กับเชือกมวลน้อยมากที่ยาว L ปลายอีกข้างหนึ่งของเชือกยึดไว้กับเพดานรถซึ่งกำลังเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร่งขนาด A ในสภาวะคงตัวในมุมมองของคนในรถ เชือกทำมุมเท่าใดกับแนวดิ่ง  ถ้ารบกวนลูกตุ้มนิดหน่อยจากสภาวะนี้ ลูกตุ้มจะแกว่งรอบแนว"สมดุล"เดิมด้วยคาบเท่าใด (ระบบอยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลกซึ่งมีทิศลงและมีขนาด g)
« Last Edit: May 30, 2010, 06:33:35 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #1 on: August 18, 2005, 09:32:14 AM »
\tan\theta = \frac {A}{g} และ Time = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{A^2+g^2}}}
« Last Edit: May 30, 2010, 06:34:04 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6311


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: August 18, 2005, 10:00:12 AM »
Quote from: ampan on August 18, 2005, 09:32:14 AM
\tan\theta = \frac {A}{g} T= 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{A^2+g^2}}}

คำตอบถูกแล้ว แต่ขอวิธีทำที่"ถูก"ด้วย  เอาแบบไม่ใช้แรงเทียม  Grin
« Last Edit: May 30, 2010, 06:34:38 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #3 on: August 18, 2005, 10:41:49 AM »
เราบอกว่า เราอยู่ในรถที่วิ่งด้วยความเร่ง A เราพิจารณาลูกตุ้ม มีแรงใดกระทำบ้าง พบว่า มีแรงตึงเชือก และแรงที่โลกดึงดูดลูกตุ้ม ซึ่งผลรวมแรงนี้ เป็นไปตามกฎข้อที่สอง ของ นิวตัน \vec{T}+m\vec{g} =m\vec{A} ซึ่งเราจะหาแรงตึงเชือกได้ T=m\sqrt{A^2+g^2}
 ทำไมคนบนรถจึงเห็นเชือกเอียงทำมุม คงที่นั้น เป็นเพราะว่า เชือกทั้งเส้นต่างก็มีความเร่ง A เท่ากับคนบนรถ คนบนรถจึงเห็นนิ่งเทียบกัน สาเหตุที่มันเอียงทำมุม เป็นเพราะว่า ถ้าไม่เอียง มันคงโดนผีหลอกเข้าเต็มๆเพราะไม่มีแรงไหนทำให้เชือกมีความเร่ง A ได้ เมื่อเราพิจารณา ที่สมดุลแบบหลอกๆ ของคนบนรถ หากคนในรถขยับลูกตุ้มเล็กน้อยด้วยมุมเล็กๆเช่น \alpha (จำลองมาจากทำบนพื้นปกติ) เราจะแตกแรงได้สองแนวดังนี้ T\sin\alpha , T\cos\alpha ซึ่งแรงที่ทำให้เกิดทอร์ครอบจุดที่เชือกผูกติดกับเพดานรถ คือแรง T\sin\alpha เราจะเขียนสมการได้ดังนี้ I\ddot\alpha = -T\sin\alpha L \approx -T\alpha L ซึ่งผลเฉลยของสมการ \omega^2 = \frac{LT}{I} เมื่อ I = mL^2
« Last Edit: May 30, 2010, 06:35:23 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6311


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #4 on: August 18, 2005, 12:39:09 PM »
ampan

ผมแก้ให้คำตอบของเรากลับขึ้นมาได้แล้ว แต่เห็นว่ายังมีที่ผิดอีกบางแห่ง (ผมแก้ให้ไปบางส่วนแล้ว) ควรแก้ให้เรียบร้อย มีสะกดผิดก็หลายแห่ง และสมการก็ยังผิดอยู่

ก่อนส่งข้อความ ควร preview ก่อน ถ้ามีปัญหาเรายังแก้ได้ทันโดยการยกเลิกการส่งข้อความนั้นหรือปิดหน้านั้นไปเลย ควรหัดตรวจทานทุกครั้ง นี่เป็นจุดด้อยของเรา บางทีแนวความคิดถูก แต่ตกม้าตายเพราะเรื่องง่าย ๆ

คำอธิบายในเรื่องการหาคาบนั้นฟังดูดี แต่อยากให้แสดงออกมาเป็นสมการชัด ๆ เลย โดยไม่ต้องเปรียบเทียบกับของเก่าบนพื้นปรกติ
« Last Edit: May 30, 2010, 06:36:57 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #5 on: August 18, 2005, 01:12:49 PM »
ผมจะร้องไห้ พิมแก้ตั้งนาน ปรากฎว่าโพสต์ไม่ติด  Cry  หรือว่าผมเข้าบอร์ดมากไป บอร์ดไม่ชอบหน้า เอาเป็นว่าผมจะพยายามมาแก้ให้มันถูกครับ

ผมแก้แล้วครับ ไม่ทราบว่าถูกต้องหมดหรือยัง ถ้ามีตรงไหนผิด บอกด้วยนะครับ icon adore ขอบคุณมากๆครับ
« Last Edit: May 30, 2010, 06:37:14 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6311


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #6 on: August 18, 2005, 02:06:36 PM »
Quote from: ampan on August 18, 2005, 10:41:49 AM
... เราจะเขียนสมการได้ดังนี้ I\ddot\alpha = -T\sin\alpha L \approx -T\alpha L ซึ่งผลเฉลยของสมการ \omega^2 = \frac{LT}{I} เมื่อ I = mL^2

สมการทอร์กในรูปนี้ใช้ได้เมื่อจุดหมุนที่ใช้ในการคำนวณเป็นจุดอ้างอิงเฉื่อยหรือเป็นจุดศูนย์กลางมวลของระบบเท่านั้น ในกรณีนี้จุดแขวนเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง สมการนี้จึงผิด!!!

ในการหาทอร์กเนื่องจากแรงต่าง ๆ ที่ทำต่อลูกตุ้ม ทำไมถึงได้ที่เขียนมานะ? ทอร์กรอบจุดแขวนเนื่องจากแรงตึงเชือกเป็นศูนย์เพราะแรงตึงเชือกผ่านจุดแขวน มีแต่ทอร์กเนื่องจากน้ำหนักเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ และขนาดของแรงตึงเชือกในกรณีที่รบกวนลูกตุ้มนี้ก็ไม่เท่ากับ T=m\sqrt{A^2+g^2} ตอนที่มันแขวนอยู่ที่มุมคงตัวด้วย!!!
« Last Edit: May 30, 2010, 06:37:43 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ampan
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 1140
« Reply #7 on: August 18, 2005, 02:34:03 PM »
ขอเวลาพักใหญ่ๆ ให้คนชอบมั่วอย่างผมไปนั่งคิดก่อนนะครับ  icon adore ขอโทษครับที่มั่วไปได้ถึงขนาดนั้น
Logged
Samuraisentai Shinkenger 侍戦隊シンケンジャー
pattyphys
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 110


I know it is your life, but my life is you.
« Reply #8 on: August 19, 2005, 03:22:47 PM »
ถ้าเหมาะกว่านี้ ไม่ควรใช้ T ซ้ำกันระหว่าง ขนาดแรงตึงเชือก และคาบ
เสนอแนะว่า ขนาดของแรงตึงเชือกน่าจะแทนด้วย F_T จะเหมาะกว่า
ถึงแม้การใช้ T ทั้งสองจะพิจารณาจากบริบทประกอบทำให้พอเข้าใจได้ แต่น่าจะเปลี่ยนเพื่อลดความกำกวม
Logged
I don't wanna live another day without you by my side.
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น
« Reply #9 on: August 19, 2005, 06:46:49 PM »
 Grin service pack 1 Grin

จากที่ได้เรียนในห้องเรียนผมเข้าใจแบบนี้ครับ และจากเว็บบอร์ดแก้ได้ขนาดนี้แล้วครับ

จากรูปแรกคือ เมื่อมีจุดกำเนิด อยู่ที่จุด o และให้จุด Q เป็นจุดที่ pendulum แกว่งเทียบกับรถตู้เพราะฉะนั้นจึงเคลื่อนที่ไปกับรถ(หรือจุดหมุน) โดยมี \vec{R_{cm}} เป็นเวคเตอร์บอกตำแหน่งของมวลเทียบกับรถตู้ ครับ
  รูปที่สองคือ เลื่อนจุดกำเนิดมาอยู่ที่จุด Q เพื่อให้ง่ายในการคำนวณแต่ ทั้งภาพที่หนึ่งและสอง (ยังไม่มีไม่เปลี่ยนตำแหน่งนะครับ)
  รูปที่สามคือ เมื่อเหตุการณผ่านไปช่วงเวลาหนึ่งลูกตู้มจากที่อยู่ในสมดุล เรารบกวนสมดุลนิดหนึ่ง โดยการเขี่ยไปทางซ้าย จากภาพเราจะทราบทันทีว่า \displaystyle{ \frac{d^2 \vec{r_0}}{dt^2} = \vec A }

เมื่อระบบเข้าสู่สมดุลแล้วสังเกตโดยผู้สังเกตบนโลกที่หยุดนิ่ง หรือวัดมุมด้วยผู้สังเกตบนรถก็ต้องได้ค่าเท่ากัน
\begin{array}{rl} \sum \vec{F} &= M\vec{A} \\ \vec{T}_x + \vec{T}_y + m \vec{g} &= M \vec{A} \\ T\sin\theta_p \hat{i} + T\cos\theta_p \hat{j} + mg (-\hat{j}) &= MA \hat{i} \\ \therefore \theta_p &= \arctan \displaystyle{ (\frac{A}{g}) } \end{array}

จากการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมรูปทั่วไป โดยอาศัยการตั้งกรอบอ้างอิงให้ \vec{r_0} เคลื่อนที่ไปด้วยความเร่งพร้อมกรอบอ้างอิง และชี้จากจุด Q ไปยังจุด Q ได้เป็น \vec{0} zero vector
และ จาก M\vec{R}_{cm} = \displaystyle{\sum_i} m_i \vec{r_i}
ทำให้เมื่อทำการแก้ออกมาได้เป็นสมการสุดท้ายโดยเป็นการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด Q เทียบกับกรอบอ้างอิงนี้
\begin{array}{rl} \displaystyle{ \frac{d \vec L } {dt} }& = \displaystyle{\frac{d}{dt}} \sum_i ( \vec{r^\prime} \times m_{i} \vec{v^\prime_i} ) \\\displaystyle{\frac{d \vec L_q}{dt}} &= \displaystyle{\sum_i}(\vec{r_i}-\vec{r_0}) \times \vec{F_i}^{ext} + M(\vec{R_{cm}} - \vec{r_0} )(-\displaystyle{ \frac{d^{2} \vec{r_0} }{dt^2}})\\\displaystyle{\frac{d \vec L_q}{dt}} & = M \vec{R}_{cm} \times (\vec g - \vec A)\\I \ddot{\vec{\theta}} & = M \vec{R}_{cm} \times (\vec g - \vec A)\\ \end{array}

พิจารณาเป็นมวลจุด จึงมีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับ Ml^2
ให้ \xi เป็นมุมที่ถูกรบกวนจากสมดุลเดิมที่อยู่เอียงๆ
เพราะฉะนั้น ฟังก์ชั่นของมุมใดๆ คือ
\begin{array}{rl} \theta (t)&= \theta_p + \xi \\ \dot{\vec{\theta }}(t) &= \dot{\vec{\xi}} \\\ddot{\vec{\theta }}(t) &= \ddot{\vec{\xi}} \end{array}

เวคเตอร์บอกตำแหน่งของศูนย์กลางมวล \vec{R} = l\hat{r} ; \hat{r} เป็นเวตเตอร์หนึ่งหน่วยชี้จากจุด Q ไปยังศูนย์กลางมวล

เมื่อแทนลงในสมการ
\begin{array}{rl} I \ddot{\vec{\theta}} & = M \vec{R}_{cm} \times (\vec g - \vec A) \\ Ml^2 \vec{\ddot{\theta}} &= Ml \hat{r}_ \times (\vec g - \vec A) \\ l \ddot{\vec{\theta}} &= (g\sin\theta - A \cos \theta) \hat k \end{array}
จากสมการนี้พบว่าถ้าการใส่มุม \xi
เข้าไปแล้วทำให้เกิดทอร์คในทิศ \hat k (ทิศออกจากกระดาษในที่นี้คือหน้าจอ)เหมือนเขี่ยแรงเกินไประบบจะไม่เป็น SHM
แต่หาก มุม \xi ท่ีใส่เข้าไปนั้นมีค่าให้เกิดทอร์คในทิศ - \hat k เมื่อแก้สมการออกมาจะได้รูปสมการ SHM
\begin{array}{rl} l \ddot{\vec{\xi}} &= (g\sin(\theta_p +\xi) - A \cos (\theta_p + \xi)) \hat k \\ l \ddot{\xi}(-\hat k) &= (g\sin(\theta_p +\xi) - A \cos (\theta_p + \xi)) \hat k \\ -l\ddot\xi &= g(\sin\theta_p \cos \xi + \cos \theta_p \sin \xi) -A(cos\theta_p \cos \xi - \sin\theta_p \sin \xi) \\ \\\therefore-l \ddot{\xi}&=g(\displaystyle{ \frac{A}{\sqrt{A^2+g^2}} + \frac{g \xi}{\sqrt{A^2+g^2}} )}-A \displaystyle{(\frac{g}{\sqrt{A^2+g^2}}-\frac{A \xi}{\sqrt{A^2+g^2}})} \end{array}
\begin{arrya}{rl} \because \theta_p &= \arctan\displaystyle{\frac{A}{g}}\\ \therefore \sin \theta_p &= \displaystyle{\frac{A}{\sqrt{A^2 +g^2}}} , \cos \theta_p = \displaystyle{\frac{g}{\sqrt{A^2 +g^2}}}\\ \because \sin \xi \approx \xi \\ \because \cos \xi \approx 1 \end{array}


และจัดสมการให้ได้ในรูป simple harmonic motion (SHM) ว่าแรงแปรผันตรงกับการกระจัดในทิศทางตรงข้าม ถอดขนาดออกมาได้สมการ
  \ddot x =- \omega^2 x สังเกตได้ว่าในกรณีมวลติดสปริง \omega^2 = \displaystyle{\frac{k}{m}}

\begin{array}{ r l } \ddot{\xi} &= -\displaystyle{\frac{\sqrt{A^2 + g^2}}{l}}\xi \\ \because \omega^2 & = \displaystyle{\frac{\sqrt{A^2 + g^2}}{l}} \\ \therefore T &= 2\pi \displaystyle{ \sqrt{\frac{l}{\sqrt{A^2+g^2}} } } \end{array}
จากประสบการณ์อ่านกระทู้ย้อนหลัง
คาบการสั่นของลูกตุ้มในระบบซึ่งมีความเร่งคิดได้จาก
T= 2\pi \displaystyle{\sqrt{\frac{l}{|\vec{a}_{eff}|}}}

โดย \vec{a_{eff}} คือ ขนาดของผลรวมเวคเตอร์ที่มีต่อลูกตุ้ม

ผิดถูกอย่างไรชี้แนะด้วยนะครับ ขอบคุณมากครับ
จะแก้ไปจนกว่าเป็นที่ยอมรับ Grin
จะว่าผมโง่ ไม่ได้เรื่องพิมพ์เยิ่นเย้อก็ไม่เป็นไรเพราะผมพิมพ์ให้คนอย่างผมตอนแรกที่ไม่ประสีประสามาอ่านทีเดียวรู้เรื่อง
คนฉลาดจริงๆไม่ตั้งหน้าตั้งตาว่าคนอื่นว่าโง่
ผมเชื่อว่าคนโง่ไม่มีในโลกมีแต่คนที่ไม่รู้แล้วไม่ทำให้ตัวเองรู้
« Last Edit: May 30, 2010, 06:38:33 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6311


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #10 on: August 19, 2005, 07:58:41 PM »
Quote from: Foggy_Ritchy on August 19, 2005, 06:46:49 PM
จากที่ได้เรียนในห้องเรียนผมเข้าใจแบบนี้ครับ

...จากที่ได้ศึกษามาแรงตึงเชือก คือ
\vec{F}_T = (-1)(M-M_l)(\vec{g} - \vec{A})
เมื่อ M,M_l,\vec A คือ มวลของวัตถุที่ถูกนำมาติดกับเชือก, มวลของของไหลในระบบที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ, และ ความเร่งของกรอบอ้างอิง
สมการนี้สามารถบรรยายการวางตัวของกรณีลูกโป่ง กับลูกเหล็กได้ในรถตู้ที่วิ่งด้วยความเร่งคงที่ ,วิ่งโค้ง  (และถึงแม้รถตู้สุญญากาศก็ตาม) ,ตกลงจากหน้าผาแบบ projectile ก็ได้เช่นกัน
จากสมการนี้ทำให้เราทราบว่าลูกเหล็กจะเฉียงไปด้านซ้ายเมื่อรถวิ่งด้วยความเร่ง \vec A ไปทางขวา จากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นให้ระบบเข้าสู่สมดุล



สงสัยคนอื่นเขาจะไม่รู้เรื่องด้วย  ไม่ควรไปอ้างถึงว่าเราไปรู้อะไรมาจากห้องเรียนเพราะคนอื่นไม่อยู่ในห้องเรียนด้วย  ถ้าจะพูดถึงก็ควรเริ่มต้นตั้งแต่พื้นฐานเลย

แต่ที่จริงแล้ว โจทย์ข้อนี้ไม่ต้องคำนึงถึงแรงลอยตัวเนื่องจากอากาศ

ส่วนที่ทำมาที่เหลือนั้นท่าทางจะมั่วมาก ๆ  จับแพะชนแกะจนยุ่งไปหมด ... Embarrassed
« Last Edit: August 19, 2005, 09:21:16 PM by ปิยพงษ์ » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
psaipetc
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 653


kostuff.blogspot.com


WWW
« Reply #11 on: August 20, 2005, 10:56:43 AM »
ผมเคยวัดความเร่งของ Boeing 747 เวลากำลังเร่งเครื่องเพื่อบินขึ้นด้วยวิธีนี้ (tan(theta) = A/g) ได้คำตอบประมาณ 0.4-0.6 g
เมื่อประมาณ 18 ปีที่แล้ว

ไม่ทราบว่ามีใครมีผลการทดลองคล้ายๆกันมาบอกไหมครับ
Logged
Life Lessons (related to science anyway):
http://www.guardian.co.uk/print/0,3858,5164417-111414,00.html
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น
« Reply #12 on: August 20, 2005, 05:38:33 PM »
2nd Edition แล้วครับอาจารย์
ถ้าในสมการนี้ไม่คำนึงถึงผลของแรงลอยตัวก็ให้ M_l = 0 ครับ
แล้วถ้าอยากพิสูจน์สมการของแรงตึงเชือกก็ได้จากกฏของนิวตันกับ พิจารณาจากมวลของไหลในนั้นก็จะได้คำตอบ

ส่วนสมการทอร์กรอบจุดหมุนเคลื่อนที่ด่วยความเร่งเทียบกรอบเฉื่อยจะตามมาในกระทู้ใหม่ครับ

 icon adore
Logged
อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6311


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #13 on: August 20, 2005, 05:48:21 PM »
Quote from: Foggy_Ritchy on August 20, 2005, 05:38:33 PM
2nd Edition แล้วครับอาจารย์
ถ้าในสมการนี้ไม่คำหนึ่งถึงผลของแรงลอยตัวก็ให้ M_l = 0 ครับ
แล้วถ้าอยากพิสูจน์สมการของแรงตึงเชือกก็ได้จากกฏของนิวตันกับ พิจารณาจากมวลของไหลในนั้นก็จะได้คำตอบ

ส่วนสมการทอร์กรอบจุดหมุนเคลื่อนที่ด่วยความเร่งเทียบกรอบเฉื่อยจะตามมาในกระทู้ใหม่ครับ

 icon adore

ยังเละอยู่ดี Sad

ข้อนี้ทั้งหมดทำได้โดยใช้สมการทอร์กรอบจุดหมุนซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัวเทียบกรอบเฉื่อย Grin
« Last Edit: May 30, 2010, 06:40:36 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 898


มีอะไร ใช้อย่างนั้น
« Reply #14 on: August 20, 2005, 06:15:01 PM »
ข้ามสาม ไปเลยครับ 4th แล้วผมไม่น่าเลอะเทอะเลย
ไปหาทำไมไม่ได้ถามซะหน่อยได้มุมที่ว่านี่ ถามแค่คาบนี่
Logged
อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: