ขอลองทำมั่งครับ

ผิดถูกชี้แนะข้าน้อยทีครับนะครับ

แนวคิดของผมคือ ข้อนี้ไม่น่าจะอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมหรือเชิงเส้นได้เลย
เนื่องด้วยแรงที่ทำต่อมันที่จุดต่ำสุดสุทธิมีแต่แรงเสียดทานสถิตย์ก็จริง แต่โจทย์บอกว่าแรงเสียดทานนี้มากพอที่จะทำให้มันไม่ไถลได้ตลอด
และด้วยการที่ไม่ไถลตลอดนี่เองที่เป็นปัญหา เพราะการที่จะเป็นแบบนั้นได้แรงเสียดทานนี้จะมีขนาดได้มากมายๆจริงๆ
พิจารณาขณะทรงกลมกลิ้งมาถึงจุดต่ำสุด สมมติว่าก่อนที่ของเหลวจะแข็ง
ทรงกลมมีความเร็วเชิงเส้น

และเปลือกทรงกลมมีความเร็วเชิงมุมรอบC

ภายหลังที่ของเหลวนั้นแข็งติดไปกับทรงกลมแล้ว
ทรงกลม(ซึ่งของเหลวแข็ง)มีความเร็วเชิงเส้น

และความเร็วเชิงมุมรอบC

เขียนสมการของการเคลื่อนที่ของ
ทรงกลมที่จุดต่ำสุด (สมมติแรงเสียดทานทิศตรงข้ามกับความเร็ว)
จากนั้นทำการอินทริเกรตเทียบ

ในช่วง

โดย

คือเวลาที่ใช้ในการเปลี่ยนจากเหลวเป็นแข็งแล้วติดกับเปลือกไป

---(0)
จากนั้นพิจารณาสมการการเคลื่อนที่เชิงมุมของเปลือก โดยสมมติว่าทอร์กที่ของเหลวที่กำลังแข็งทำต่อเปลือกขณะใดๆเป็น

ทิศเดียวกับ


---(1)

ทำเช่นเดียวกันกับของเหลวที่แข็ง ได้ว่า

---(2)
(จากกฏข้อที่3ของนิวตันแรงคู่ปฏิกิริยาขนาดเท่ากันทิศตรงข้าม ผนวกกับการที่แรงนี้เป็นแรงสัมผัส จึงทำที่ระยะห่างจากจุดหมุนเท่ากัน ทำให้ทอร์กที่ทำต่อกันขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้ามกัน)
(1)+(2)

นำสมการ(0)มาแทนค่า และใช้เงื่อนไขการไม่ไถล



เขียนสมการพลังงานโดยอ้างอิงให้ศักย์โน้มถ่วงเป็น0ที่ต่ำแหน่งต่ำสุด

ที่ต่ำสุด
สมมติพลังงานตอนก่อนจะแข็งเป็น

แข็งแล้วเป็น

เนื่องจากมันอยู่ต่ำสุด
ดังนั้น



เห็นได้ว่าเมื่อมันผ่านจุดต่ำสุดครั้งหนึ่ง พลังงานก็จะเปลี่ยนไปเป็น

ของพลังงานเดิม
ในการที่มันจะขึ้นไปถึง

มันจะผ่านแบบนี้ 2n ครั้ง พลังงานจึงลดลงเหลือ

ของพลังงานเดิม
ซึ่งมีค่าเท่ากับ

เพราะช่วงขาลงหรือขึ้นที่ไม่ใช่ขณะที่มันผ่านจุดต่ำสุดไม่มีการสูญเสียพลังงาน
ดังนั้น

และเนื่องจากที่จุดสูงสุดความเร็วเชิงมุมเป็น0 จากมสการพลังงานข้างต้น ได้ว่า

ดังนั้น
แทนค่า

ได้ว่า
ตอบ