ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41237 Posts in 6173 Topics- by 8088 Members - Latest Member: Bean
Pages: « 1 2 3 »   Go Down
Print
Author Topic: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)  (Read 44487 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #15 on: February 08, 2007, 02:52:55 PM »

3.f(x) = 1 เมื่อ -1 < x < 0 และ f(x) = x เมื่อ 0 \leq x < 1
...
ดังนั้น a_0=\frac{3}{4}

แล้ว {\displaystyle a_n} กับ \displaystyle b_n} ล่ะคะ   Shocked

แล้วสุดท้าย Fourier series สำหรับฟังก์ชันของเรา มีหน้าตาเป็นอย่างไรล่ะคะ  Shocked
« Last Edit: February 08, 2007, 02:58:52 PM by f4 » Logged

This is F4 :-)
Pramote -~James~-
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 18


เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


WWW
« Reply #16 on: February 08, 2007, 05:31:35 PM »

ข้อ 4

           f(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, &\mbox -1 < x < 0  \\x, &\mbox 0 < x < 1 \end{array}

\begin{array}{rcl} a_0&=&\displaystyle \int^{1}_{0}(x)dx\\\\&=&\displaystyle \frac{x^2}{2}|^{1}_{0}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\\\\a_n&=&\displaystyle\int^{1}_{0}(x)\cos(n\pi x)dx\\\\&=&\displaystyle\frac{x}{n\pi}\sin(n\pi x)|_{0}^{1}-\displaystyle\frac{1}{n\pi}\int^{1}_{0}\sin(n\pi x)dx\\\\ &=&\cancelto{0}{\displaystyle\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi)}-\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\int^{1}_{0}\sin(n\pi x)d(n\pi x)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x)dx|_0^1\\\\&=&\displaystyle\frac{\cos(n\pi)-1}{n^2\pi^2}\\\\&=&\displaystyle\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}\\\\b_n&=&\displaystyle\int^{1}_{0}(x)\sin nx dx \\\\&=&-\displaystyle\frac{x}{n\pi}\cos(n\pi x)|^1_0+\displaystyle\frac{1}{n\pi }\int^{1}_{0}\cos(n\pi x)dx\\\\&=&\displaystyle\frac{-1}{n\pi}+\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\int^{1}_{0}\cos(n\pi x)d(n\pi x)\\\\&=&\displaystyle\frac{-1}{n\pi}+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\sin(n\pi x)dx|_0^1}\\\\&=&\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\\\\\end{array}

จะได้ว่าสุดท้ายคือ

\begin{array}{rcl}f(x)&=&\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ a_n \cos(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x)+b_n \sin(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x) \right]\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{4}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ \displaystyle\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2} \cos(n\pi x)+\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin(n\pi x) \right]\\\\\end{array}

ต่อไปเป็นรูป กราฟที่ plot ได้โดยใช้ program Mathematica
เรียงตามลำดับคือ s_8,s_{20},s_{50}กะแบบ s_{50}ที่มีหลาย cycle
« Last Edit: February 08, 2007, 10:00:04 PM by Pramote -~James~- » Logged
Pramote -~James~-
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 18


เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


WWW
« Reply #17 on: February 08, 2007, 05:33:53 PM »

เพิ่มเติม ข้อ 4  (แข่งกับรักพงษ์ครับ)

code ของโปรแกรม Mathematica ที่ใช้คิอ
Plot[(1/4)+Sum[(((-1+(-1)^n)/(n*n*Pi*Pi))*Cos[n*Pi*x])+(((-1)^(n + 1)/(n*Pi))*Sin[n*Pi*x]),
{n, 1, 50000}], {x, -5, 5}, PlotRange -> All]

รูปด้านล่างนี้เป็นรูปที่ใช้ s_{50000} โดยแสดงทั้งแบบที่มี 1 คาบ และหลายคาบ

จะเห็นได้ว่ากราฟของ Fourier Series นี้มีรูปเหมือนกับ ฟังก์ชันที่โจทย์กำหนดมาก

แต่การใช้ผลรวมของอนุกรมไปถึงค
« Last Edit: February 08, 2007, 10:07:38 PM by Pramote -~James~- » Logged
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...


« Reply #18 on: February 09, 2007, 03:04:14 PM »

picture for ex 11.2

ของแถม จากความสนุกสนานกับการลองเล่นกะ mathematica รัน 1,000,000 รอบ กับการรันบน CPU P4M 1.7 GHz กับเวลาที่เสียไปครึ่งชั่วโมง... 555+~
« Last Edit: February 10, 2007, 12:47:03 AM by Theeraphot » Logged
fairy003
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 17

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #19 on: February 09, 2007, 04:48:25 PM »

2. f(x) =  -1  เมื่อ   -\pi < x < 0    และ  f(x) = 2    เมื่อ  0 < x < \pi

a_0 = \displaystyle\frac{1}{p}\int_{-p}^{p} f(x)dx

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}-1dx + \int_{0}^{\pi}2dx]
 
      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[ -\pi + 2\pi]

a_0 = 1 




a_n = \displaystyle\frac{1}{p}\int_{-p}^{p} f(x)\cos\displaystyle\frac{n\pi x}{p}dx

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}-1\cos nxdx + \int_{0}^{\pi}2\cos nxdx]

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[0 + 0]

a_n = 0



b_n = \displaystyle\frac{1}{p}\int_{-p}^{p} f(x)\sin\displaystyle\frac{n\pi x}{p}dx

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}-1\sin nxdx + \int_{0}^{\pi}2\sin nxdx]

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\displaystyle\frac{1}{n}((-1)^n - 1) + \displaystyle\frac{2}{n}(-(-1)^n + 1)]

b_n = \displaystyle\frac{1}{n\pi}(1 - (-1)^n)



f(x) = \displaystyle\frac{1}{2} + \underset{n = 1}{\overset{\infty}{\sum}}\displaystyle\frac{1}{n\pi}(1 - (-1)^n)\sin nx            Ans


จัดทำโดย

u4805003  tickedoff
u4805008    smitten
u4805228    idiot2
Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #20 on: February 09, 2007, 06:37:36 PM »

2. f(x) =  -1  เมื่อ   -\pi < x < 0    และ  f(x) = 2    เมื่อ  0 < x < \pi

b_n = \displaystyle\frac{1}{n\pi}(1 - (-1)^n)

...

รู้สึกว่า b_n จะผิดนะ  Shocked

กลุ่มของ chakrit น่ะ กราฟที่พล็อตได้ใหม่ถูกต้องแล้ว แต่สัมประสิทธิ์ต่างๆ ที่โพสต์ไว้นั้นพวกเรายังไม่ได้แก้ให้ถูกต้องเลย  Azn

ขอบคุณทุกๆ กลุ่มที่พยายามช่วยกันคิด ช่วยกันทำ ช่วยกันเรียนรู้  icon adore

เยี่ยมมาก!   great   smitten
Logged

This is F4 :-)
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #21 on: February 09, 2007, 11:44:36 PM »

รูปข้อ 2 ครับ
จัดทำโดย

u4805003  tickedoff
u4805008    smitten
u4805228    idiot2
« Last Edit: February 11, 2007, 05:47:10 PM by u4805008 » Logged
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...


« Reply #22 on: February 10, 2007, 12:57:00 AM »

exrcises 11.2

Find the Fourier series of f on the given interval.

 f(x) = e^x, -\pi < x < \pi

The orthogonal set is \{ 1,cos \frac{n\pi}{\pi}x, sin \frac{n\pi}{\pi}x \} , where  n=1,2,3,...
Function f(x)  defined on the interval  (-\pi,\pi) can be expanded to Fourier series.
\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} (a_n cos \frac{n\pi}{\pi}x + b_n sin \frac{n\pi}{\pi}x) }

We're about to find Fourier coefficients from equation (9), (10) and (11) on page 436, which read

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx
 b_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \sin n x  dx

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^x )|^\pi_{-\pi}
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^\pi - e^{-\pi})    Done.


 a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx = e^x \frac{1}{n} \sin nx |^\pi_{-\pi}  - \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx
and we're consider the last term,
 \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx = e^x \frac{1}{n^2} \sin nx |^\pi_{-\pi} - \int^\pi_{-\pi} \frac{e^x}{n^2} \cos n x  dx
so
 \therefore a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx  = \frac{e^x}{n^2+1} (n \sin nx + \cos nx )|^\pi_{-\pi} =  \frac{-1^n}{(n^2+1)} (e^\pi - e^{-\pi})

\therefore b_n = \int^\pi_{-\pi}e^x\sin n x dx = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)}(e^\pi - e^{-\pi})
   
then
 a_n = \frac{-1^n}{(n^2+1)\pi} (e^\pi - e^{-\pi})


 b_n  = \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}(e^\pi - e^{-\pi})


 \therefore f(x) = (e^\pi - e^{-\pi})\left(\frac{1}{2\pi}+\sum^\infty_{n=1}(\frac{-1^n}{n^2+1})\cos nx  +  \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}\sin nx\right)


หลังจากงงๆ พิมพ์แก้มาสองรอบ ก็เลยแก้ไม่ครบเสียทีล่ะครับ...

exrcises 11.2

Find the Fourier series of f on the given interval.

 f(x) = e^x, -\pi < x < \pi

The orthogonal set is \{ 1,cos \frac{n\pi}{\pi}x, sin \frac{n\pi}{\pi}x \} , where  n=1,2,3,...
Function f(x)  defined on the interval  (-\pi,\pi) can be expanded to Fourier series.
\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} (a_n cos \frac{n\pi}{\pi}x + b_n sin \frac{n\pi}{\pi}x) }

We're about to find Fourier coefficients from equation (9), (10) and (11) on page 436, which read

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx
 b_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \sin n x  dx

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^x )|^\pi_{-\pi}
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^\pi - e^{-\pi})    Done.


 a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx = e^x \frac{1}{n} \sin nx |^\pi_{-\pi}  - \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx
and we're consider the last term,
 \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx = e^x \frac{1}{n^2} \sin nx |^\pi_{-\pi} - \int^\pi_{-\pi} \frac{e^x}{n^2} \cos n x  dx
so
 \therefore a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx  = \frac{e^x}{n^2+1} (n \sin nx + \cos nx )|^\pi_{-\pi} =  \frac{-1^n}{(n^2+1)} (e^\pi - e^{-\pi})

\therefore b_n = \int^\pi_{-\pi}e^x\sin n x dx = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)}(e^\pi - e^{-\pi})
   
then
 a_n = \frac{-1^n}{(n^2+1)\pi} (e^\pi - e^{-\pi})


 b_n  = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)\pi}(e^\pi - e^{-\pi})


 \therefore f(x) = (e^\pi - e^{-\pi})\left(\frac{1}{2\pi}+\sum^\infty_{n=1}(\frac{-1^n}{n^2+1})\cos nx  +  \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)\pi}\sin nx\right)

แล้วชาคริตก็ลืมใส่รหัสให้ผมด้วย...

created by 4805046 4805057 4805099
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6275


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #23 on: February 10, 2007, 08:07:35 AM »

[...
ตามมาแก้ครับ
...

 Shame on you ควรไปแก้ที่โพสต์ไว้เดิม อย่าโพสต์เพิ่ม  แต่ว่ามันผิดตั้งแต่เครื่องหมายลบที่หายไปตอนที่อินทิเกรตไม่ใช่หรือ  coolsmiley
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6275


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #24 on: February 10, 2007, 08:15:11 AM »

...
หลังจากงงๆ พิมพ์แก้มาสองรอบ ก็เลยแก้ไม่ครบเสียทีล่ะครับ...
...

ที่ทำนี่แก้ที่เขาทำผิดหรือว่าอะไร?  แก้ตรงไหน  Huh  บอกด้วย
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #25 on: February 11, 2007, 05:54:57 PM »

รูปเพิ่มเติมครับ run ที่ s50000000 ใช้เวลาในการคำนวณประมาณ14ชั่วโมง กับเครื่องintel dual core 1.6GHz กราฟโจทย์ผมใส่โค้ดไม่เป็นครับ ไว้ทำได้แล้วจะมาเพิ่มทีหลังนะครับ buck2
Logged
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...


« Reply #26 on: February 17, 2007, 05:06:59 PM »

...
หลังจากงงๆ พิมพ์แก้มาสองรอบ ก็เลยแก้ไม่ครบเสียทีล่ะครับ...
...

ที่ทำนี่แก้ที่เขาทำผิดหรือว่าอะไร?  แก้ตรงไหน  Huh  บอกด้วย

ก็คือกลุ่มเดียวกันครับอาจารย์ คือมันผิดตรงสัมประสิทธิ์นิดหน่อยน่ะครับ
Logged
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...


« Reply #27 on: February 17, 2007, 05:11:07 PM »

รูปเพิ่มเติมครับ run ที่ s50000000 ใช้เวลาในการคำนวณประมาณ14ชั่วโมง กับเครื่องintel dual core 1.6GHz กราฟโจทย์ผมใส่โค้ดไม่เป็นครับ ไว้ทำได้แล้วจะมาเพิ่มทีหลังนะครับ buck2

เหมือนจะกลายเป็นการแข่งกันล่ะ เจมส์ไม่น่าเริ่มเลย  buck2 เอาเถอะเราคงไม่บ้าเล่นต่อหรอก แค่ 1M รอบก็พอละ
Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53


« Reply #28 on: February 19, 2007, 05:53:26 PM »

เพิ่มเติม ข้อ 4  (แข่งกับรักพงษ์ครับ)

code ของโปรแกรม Mathematica ที่ใช้คิอ
Plot[(1/4)+Sum[(((-1+(-1)^n)/(n*n*Pi*Pi))*Cos[n*Pi*x])+(((-1)^(n + 1)/(n*Pi))*Sin[n*Pi*x]),
{n, 1, 50000}], {x, -5, 5}, PlotRange -> All]

รูปด้านล่างนี้เป็นรูปที่ใช้ s_{50000} โดยแสดงทั้งแบบที่มี 1 คาบ และหลายคาบ

จะเห็นได้ว่ากราฟของ Fourier Series นี้มีรูปเหมือนกับ ฟังก์ชันที่โจทย์กำหนดมาก

แต่การใช้ผลรวมของอนุกรมไปถึงค่จึงควรเลือกใช้ค่
[/size]

น่าจะเห็นกันแล้วนะ... ^^
ที่จิงเราก้อทำของเราสำหรับ s=5M แต่หาวิธีsave รูปไม่ได้ เรยขี้เกียจทำ ^^
Logged
psaipetc
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 653


kostuff.blogspot.com


WWW
« Reply #29 on: February 19, 2007, 11:44:51 PM »

นักศึกษาทุกท่านทราบไหมครับว่า ค่าความผิดพลาดเวลาเราเก็บจำนวนเทอมไว้ N เทอม เท่ากับเ่ท่าไร
เช่นถ้าเราต้องการให้ Fourier Series ผิดพลาดจากค่าฟังค์ชันจริงไม่เกิน 1% ต้องใช้กี่เทอม   Smiley
Logged

Life Lessons (related to science anyway):
http://www.guardian.co.uk/print/0,3858,5164417-111414,00.html
Pages: « 1 2 3 »   Go Up
Print
Jump to: