ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

41042 Posts in 6096 Topics- by 6086 Members - Latest Member: gnuyheat
Pages: 1 2 3 »   Go Down
Print
Author Topic: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)  (Read 38611 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« on: February 01, 2007, 11:36:35 AM »

จากแบบฝึกหัดที่ 11.2 หน้า 439   เรื่อง "Fourier Series"

นิยาม Fourier series ของฟังก์ชัน  {\displaystyle f(x) } ที่นิยามบนช่วง  {\displaystyle [-p,p]} คือ
\displaystyle  f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos \frac{n \pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x]
โดยที่
 {\displaystyle a_0 = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) dx}
 {\displaystyle a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \cos \frac{n \pi}{p} x dx}
 {\displaystyle a_0 = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \sin \frac{n \pi}{p} x dx}


คำสั่ง ให้ Expand ฟังก์ชันประจำกลุ่มตนเอง ในรูปของ Fourier series โดยมีรายละเอียดดังนี้

1. เขียนโจทย์(ฟังก์ชัน) ประจำกลุ่มเราให้ดู
2. วาดกราฟของฟังก์ชัน
3. หาสัมประสิทธิ์ {\displaystyle a_0, a_n} และ  {\displaystyle b_n}
4. เขียนบรรยาย Fourier series ของฟังก์ชัน ในรูปของเครื่องหมายซิกมา
5. วาดกราฟแสดง Fourier series บนช่วงของฟังก์ชันในข้อ 1 โดยแสดงผลที่ได้จากการบวกอนุกรม 8 พจน์, 20 พจน์ และ 50 พจน์ (เรียกว่า  {\displaystyle S_8, S_{20}} และ {\displaystyle S_{50}} ตามลำดับ)
6. สุดท้ายลองวาดกราฟแสดง {\displaystyle S_{50}} บนช่วงที่กว้างขึ้น (คือ ขยายช่วงการพล็อตออกไปทั้งทางซ้ายและขวาประมาณ 2-3 เท่าของช่วงเดิม)

(แปลว่าต้องแสดงกราฟทั้งหมด 5 กราฟ)

หมายเหตุ   ใครอยากแสดง {\displaystyle S} อื่นๆ ก็ได้ถ้ามีความอดทนรอให้คอมพิวเตอร์คำนวณให้ได้ เช่น {\displaystyle S_{10^6}}  uglystupid2

Have fun!  Wink
« Last Edit: February 08, 2007, 06:14:27 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

This is F4 :-)
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #1 on: February 02, 2007, 11:09:12 AM »

ตัวอย่าง

นี่เป็นตัวอย่างการหา Fourier series ของฟังก์ชันที่สอนในห้องเรียน

ฟังก์ชันที่กำหนดให้คือ f(x) = \left\{\begin{array}{cc}0, &\mbox -\pi < x < 0 \\1, &\mbox 0 \leq x < \pi\end{array}\right

ซึ่งมีกราฟดังแสดงในรูปที่ 1 (ดูรูปด้านล่าง)

ฟังก์ชันดังกล่าวนิยามในช่วง [-\pi,\pi] ดังนั้นเมื่อเปรียบเทียบกับสูตรในโพสต์แรก จะได้ว่า  p = \pi

เราสามารถหาสัมประสิทธิ์ต่างๆ ในอนุกรมฟูเรียร์ได้ดังนี้

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_0 &=& \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) dx} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} 0 dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} dx =1 \end{array}

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_n &=& \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \cos{\frac{n \pi x }{p}}dx}\\\\ \displaystyle &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(n x) dx = \frac{1}{n \pi}[ \sin(n x) ]_{x=0}^{x=\pi} = 0\end{array}


\begin{array}{rcl} \displaystyle b_n &=& \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \sin{\frac{n \pi x }{p}}dx}\\\\ \displaystyle &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(n x) dx = -\frac{1}{n \pi}[ \cos(n x) ]_{x=0}^{x=\pi} = \frac{1 - (-1)^n}{n \pi}\end{array}

ดังนั้น Fourier series ของฟังก์ชัน f(x) ในข้อนี้คือ

\displaystyle  f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1 - (-1)^n}{n \pi}\sin(n x)

กราฟแสดงฟังก์ชันที่ได้จากการบวกอนุกรมนี้ด้วย 8, 20 และ 50 พจน์แรก (S_8, S_{20} และ S_{50}) อยู่ในรูปที่ 2, 3 และ 4 ตามลำดับ

ส่งนกราฟสุดท้ายในรูปที่ 5 แสดง S_{50} ให้ดูในช่วงที่กว้างกว่า [-p,p]  เพื่อให้เห็นว่า Fourier series ของฟังก์ชันใดๆ เป็น Periodic function ที่มีคาบเท่ากับ  2p


* Example_of_Fourier_series.JPG (24.51 KB, 476x619 - viewed 978 times.)
« Last Edit: February 02, 2007, 11:12:01 AM by f4 » Logged

This is F4 :-)
Praveena
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19


« Reply #2 on: February 07, 2007, 12:28:36 PM »

6. f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox -5 < x < 0 \\1+x, &\mbox 0 \leq x < 5\end{array}\right

ฟังก์ชันดังกล่าว นิยามในช่วง -5 ถึง 5 ดังนั้น p = 5

หาสัมประสิทธิ์ ใน Fourier Series ได้ดังนี้

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_0 &=& \dfrac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) dx}\\\\ \displaystyle &=& \dfrac{1}{5}\int_{-5}^0dx+\dfrac{1}{5}\int_0^5(1+x)dx\\\\ \displaystyle &=& 1+\dfrac{1}{5}\int_0^5dx+\dfrac{1}{5}\int_0^5xdx\\\\ \displaystyle &=& 1+1+\dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2}\end{array}

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_n &=& \dfrac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \cos{\frac{n \pi x}{p}}dx\\\\ \displaystyle &=& \dfrac{1}{5}[\int_{-5}^0cos{\frac{n \pi x}{5}}dx+\int_0^5(1+x)\cos{\frac{n \pi x}{5}}dx]\\\\ \displsystyle &=& \dfrac{1}{5}[\dfrac{5}{n \pi}\sin{\frac{n \pi x}{5}}|_{-5}^0 + \dfrac{5}{n \pi}\sin{\frac{n \pi x}{5}}|_0^5 + \int_0^5x\cos{\frac{n \pi x}{5}}dx]\end{array}

พจน์ที่ 1 และ 2 เป็น ศูนย์ พจน์ที่ 3 ทำการ integrate by part

u = x , du = dx\\\\ \displaystyle dv = \cos{\frac{n \pi x}{5}}dx , v = \dfrac{5}{n \pi}\sin{\frac{n \pi x}{5}}

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^5x\cos{\frac{n \pi x}{5}}dx &=& \frac{5x}{n\pi}\cancelto{0}{sin{\frac{\n\pi x}{5}}}|_0^5-\int_0^5\frac{5}{n\pi}sin{\frac{n\pi x}{5}}dx \\\\ \displaystyle &=&(\dfrac{5}{n\pi})^{2}cos{\frac{n\pi x}{5}}|_0^5\\\\ \displaystyle &=& (\frac{5}{n\pi})^{2}(cos n\pi - 1)\\\\ \displaystyle a_n &=& \frac{5}{(n\pi)^2}(cos n\pi - 1) \end{array}


\begin{array}{rcl} \displaystyle b_n &=& \frac{1}{p}[\int_{-p}^{p}f(x)sin{\frac{n\pi x}{p}}]\\\\ \displaystyle  &=& \frac{1}{5}[\int_{-5}^{0}sin{\frac{n\pi x}{5}}dx + \int_{0}^{5}(1+x)sin{\frac{n\pi x}{5}}dx\\\\ \display &=& \dfrac{1}{5}[-\dfrac{5}{n \pi}\cos{\frac{n \pi x}{5}|_{-5}^0}-\dfrac{5}{n \pi}\cos{\frac{n \pi x}{5}}|_0^5+\int_{0}^{5}x\sin{\frac{n \pi x}{5}}dx]\\\\ \display &=& \dfrac{1}{5}[-\dfrac{5}{n \pi}(1-\cos{n\pi})-\dfrac{5}{n \pi}(\cos{n\pi}-1)+\int_{0}^{5}x\sin{\frac{n \pi x}{5}}dx]\end{array}

พจน์ที่ 3 ทำการ integrate by part

u = x , du = dx\\\\dv = \sin{\frac{n \pi x}{5}}dx , v = - \dfrac{5}{n \pi}\cos{\frac{n \pi x}{5}}


\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{0}^{5}x\sin{\frac{n \pi x}{5}}dx &=& -\dfrac{5x}{n\pi}\cos{\frac{n\pix}{5}}|_0^5\\\\ \displaystyle &=& -\dfrac{25}{n \pi}\cos{n\pi}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{rcl}\displaystyle b_n &=& \dfrac{1}{5}[-\dfrac{5}{n \pi}(1-cos{n \pi})-\dfrac{5}{n\pi}(cos{n\pi}-1) - \dfrac{25}{n\pi}\cos{n\pi}]\\\\ \displaystyle &=& -\dfrac{5}{n\pi}\cos{n\pi}\end{array}

Fourier Series
\begin{array}{rcl}\displaystyle f(x) &=& \dfrac{9}{4}+\sum_{n=1}^\infty [\dfrac{5\cos{n\pi}-5}{(n\pi)^2}\cos{\frac{n\pix}{5}}-\dfrac{5}{n\pi}\cos{n\pi}sin{\frac{n\pix}{5}}] \end{array}





* s8.PNG (7.16 KB, 512x384 - viewed 916 times.)

* s20.PNG (7.1 KB, 512x384 - viewed 935 times.)

* s50.PNG (8.18 KB, 512x414 - viewed 950 times.)
Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53


« Reply #3 on: February 07, 2007, 12:37:42 PM »

7.

f(x) = \left\{\begin{array}{cc}x+\pi, &\mbox -\pi < x < \pi \\0, &\mbox{ otherwise} \end{array}

\begin{array}{rcl} a_0&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x+\pi)dx\\\\&=&\displaystyle  \frac{1}{\pi}(\displaystyle  \frac{x^2}{2}|^{\pi}_{-\pi}+\pi x|^{\pi}_{-\pi})\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}(0+2\pi^2)\\\\&=&2\pi\\\\a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x+\pi)\cos(nx)dx\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x\cos(nx)+\pi\cos(nx))dx\\\\ \text{from} \int x \cos x dx = x \sin x-\int \sin x dx\\\\ a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\left[  \displaystyle \frac{x}{n}\sin nx |^{\pi}_{-\pi}+\cancelto{0}{\displaystyle \frac{1}{n^2}\cos nx }|^{\pi}_{-\pi}+ \displaystyle \frac{x}{n}\sin nx |^{\pi}_{-\pi}\right]\\\\&=&0\\\\\end{array}

\begin{array}{rcl} b_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}(x+\pi)\sin nx dx \\\\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x\sin(nx)+\pi\sin(nx))dx\\\\ \text{from} \int x \sin x dx =\int \cos x dx- x \cos x\\\\b_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\left[ \displaystyle \frac{1}{\pi}(\cancelto{0}{( \displaystyle \frac{\sin nx}{n^2})|^{\pi}_{-\pi}}-\displaystyle  \frac{1}{n}x\cos nx|^{\pi}_{-\pi}-\displaystyle  \frac{1}{n}\pi\cos nx)|^{\pi}_{-\pi} \right]\\\\&=& \displaystyle \frac{-1}{\cancel {\pi}}\left( \displaystyle \frac{2\cancel {\pi}}{n}\cos n\pi \right) \text{  ;  }\cos n\pi=(-1)^n \\\\&=& -\displaystyle \frac {2}{n}(-1)^{n}\end{array}


จากที่นั่งทำมาตั้งนานจะได้ว่าสุดท้ายคือ

\begin{array}{rcl}f(x)&=&\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ a_n \cos(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x)+b_n \sin(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x) \right]\\\\&=&\displaystyle \frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{2}}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ 0-\displaystyle \frac {2}{n}(-1)^{n} \sin(\displaystyle \frac{n\pi}{\pi} x)\\\\&=&\pi-2\sum^{\infty }_{n=1}\displaystyle \frac {2}{n}(-1)^{n} \sin(nx) \end{array}

สายป่านแทบขาดใจ.....

ต่อไปเป็นรูป กราฟที่ plot ได้โดยใช้ program mathematica T-T
เรียงตามลำดับคือ s_8,s_{20},s_{50}กะแบบ s_{50}ที่มีหลาย cycle

ps กว่าจะพิมพ์เสร็จ ตั้งแต่ข้าวกลางวันจนถึงข้าวเย็น แนะ เหนื่อยมาก ๆ

คณะผู้จัดทำ 4805091 4805123 4805182  knuppel2 smitten tickedoff bang head reading

pss กุ้งเทมปุระอร่อยจริง  ๆ นะ ที่ร้านพรานทะเลใต้ตึกกลม


* FS8.JPG (12.95 KB, 578x358 - viewed 885 times.)

* FS20.JPG (12.23 KB, 578x358 - viewed 906 times.)

* FS50.JPG (13.05 KB, 578x358 - viewed 910 times.)

* FS50-5.JPG (20.05 KB, 578x358 - viewed 902 times.)
« Last Edit: February 07, 2007, 06:41:37 PM by paul » Logged
void
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 43

สรรพสิ่งล้วนว่างเปล่า ทุกคนอยู่ในโลกของการหลอกลวง


« Reply #4 on: February 07, 2007, 03:48:51 PM »

Problem 8.

f(x)=3-2x  ; -\pi<x<\pi

a_0 &=& \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (3-2x)dx

=\dfrac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi} 3dx - \int_{-\pi}^{\pi} 2xdx  )

=\dfrac{1}{\pi}( 3x|_{-\pi}^{\pi} - x^2) |_{-\pi}^{\pi}

=\dfrac{1}{\pi} 6\pi = 6


a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) dx
= \dfrac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi}3\cos(nx)    dx -\int_{-\pi}^{\pi}2x\cos(nx)    dx)
= \dfrac{1}{\pi} (\dfrac{3}{n}\sin(nx)|_{-\pi}^{\pi} - 2(\dfrac{\sin(nx)}{n}|_{-\pi}^{\pi} - \dfrac{1}{n^2} (-\cos(nx) )|_{-\pi}^{\pi} )     )


= -\dfrac{2}{n^2\pi} [\cos(nx)]_{-\pi}^{\pi} = 0

b_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx
= \dfrac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi}3\sin(nx)dx - \int_{-\pi}^{\pi} 2x\sin(nx) dx           )

= \dfrac{1}{\pi} (\dfrac{3}{n}[-cos(nx)]_{-\pi}^{\pi} - 2[-\dfrac{x}{n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi} -\int_{-\pi}^{\pi} -\dfrac{1}{n}\cos(nx) dx ]     )

=\dfrac{1}{\pi}[\dfrac{2x}{n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi}]

=\dfrac{4}{n}(-1)^n

We can write f(x) in Fourier series as following,

f(x) = 3 + \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{4}{n}(-1)^n\sin(nx)

By : 4805180, 4805208 



* FourierOriginal.jpg (7.54 KB, 296x192 - viewed 783 times.)

* FourierS8.jpg (7.88 KB, 288x186 - viewed 781 times.)

* FourierS20.jpg (7.77 KB, 289x183 - viewed 761 times.)

* FourierS50-1.jpg (7.92 KB, 293x187 - viewed 783 times.)
« Last Edit: February 07, 2007, 06:22:47 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Mann
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

ปวดหัวเรื่อง Haidinger's brush


« Reply #5 on: February 07, 2007, 03:58:07 PM »

exrcises 11.2

Find the Fourier series of f on the given interval.

 f(x) = e^x, -\pi < x < \pi

The orthogonal set is \{ 1,cos \frac{n\pi}{\pi}x, sin \frac{n\pi}{\pi}x \} , where  n=1,2,3,...
Function f(x)  defined on the interval  (-\pi,\pi) can be expanded to Fourier series.
\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} (a_n cos \frac{n\pi}{\pi}x + b_n sin \frac{n\pi}{\pi}x) }

We're about to find Fourier coefficients from equation (9), (10) and (11) on page 436, which read

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx
 b_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \sin n x  dx

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^x )|^\pi_{-\pi}
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^\pi - e^{-\pi})    Done.


 a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx = e^x \frac{1}{n} \sin nx |^\pi_{-\pi}  - \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx
and we're consider the last term,
 \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx = e^x \frac{1}{n^2} \sin nx |^\pi_{-\pi} - \int^\pi_{-\pi} \frac{e^x}{n^2} \cos n x  dx
so
 \therefore a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx  = \frac{e^x}{n^2+1} (n \sin nx + \cos nx )|^\pi_{-\pi} =  \frac{-1^n}{(n^2+1)} (e^\pi - e^{-\pi})

\therefore b_n = \int^\pi_{-\pi}e^x\sin n x dx = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)}(e^\pi - e^{-\pi})
   
then
 a_n = \frac{-1^n}{(n^2+1)\pi} (e^\pi - e^{-\pi})


 b_n  = \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}(e^\pi - e^{-\pi})


 \therefore f(x) = (e^\pi - e^{-\pi})\left(\frac{1}{2\pi}+\sum^\infty_{n=1}(\frac{-1^n}{n^2+1})\cos nx  +  \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}\sin nx\right)


* s_8.GIF (2 KB, 288x177 - viewed 700 times.)

* s_20.GIF (2.01 KB, 288x177 - viewed 687 times.)

* s_50.GIF (1.98 KB, 288x177 - viewed 722 times.)
« Last Edit: February 09, 2007, 04:06:06 PM by chakrit Smarnrak » Logged
void
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 43

สรรพสิ่งล้วนว่างเปล่า ทุกคนอยู่ในโลกของการหลอกลวง


« Reply #6 on: February 07, 2007, 04:04:07 PM »

Additional Picture and my Mathematica code

Plot[3 + Sum[((4*Pi*(-1)^n)*Sin[n*x])/n, {n, 1, 10000}], {x, -Pi, Pi}, PlotRange -> All]
 Wink





* FourierS50-2.jpg (11.88 KB, 302x187 - viewed 832 times.)

* FourierS10000.jpg (7.66 KB, 296x187 - viewed 768 times.)
« Last Edit: February 07, 2007, 04:08:59 PM by void » Logged
Mann
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

ปวดหัวเรื่อง Haidinger's brush


« Reply #7 on: February 07, 2007, 04:45:11 PM »

ทำไมมันจำกัดการใส่รูปด้วยอ่า...


* Copy of original.gif (0.96 KB, 306x190 - viewed 919 times.)

* s_50_widerange.GIF (2.99 KB, 288x177 - viewed 677 times.)
« Last Edit: February 09, 2007, 04:07:34 PM by chakrit Smarnrak » Logged
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #8 on: February 07, 2007, 04:52:01 PM »

14.  f(x) = \left\{\begin{array}{cc}2+x, &\mbox -2 < x < 0 \\2 , &\mbox 0\leq x <2\end{array}

หา Fourier series ของ ฟังก์ชั่น f(x) ที่นิยามบนช่วง [-p,p] คือ

 f(x) = \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum^{\infty }_{n=1}\left (a_{n}cos\frac{n\pi}{p}x + b_{n}sin\frac{n\pi}{p}x \right)

โดย หา  a_{0} จาก a_{0} = \frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)dx

      หา a_{n}   จาก a_{n} = \frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)cos\frac{n\pi}{p}xdx

      หา b_{n}   จาก b_{n} = \frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)sin\frac{n\pi}{p}xdx

หา  a_{0}

\begin{array}{ccc} a_{0} &=& \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x)dx \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left(\int_{-2}^{0}(2+x)dx +\int_{0}^{2}2dx \right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left( (2x + \frac{x^2}{2})|_{-2}^{0} +(2x)|_{0}^{2} \right) \\\ \cr &=& 2 - 1+ 2 \\\ \cr &=& 3 \end{array}

หา  a_{n}

\begin{array}{ccc} a_{n} &=& \frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)cos\frac{n\pi}{2}xdx \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}(2+x)cos\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2cos\frac{n\pi}{2}xdx\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}2cos\frac{n\pi}{2}xdx +\int_{-2}^{0}xcos\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2cos\frac{n\pi}{2}xdx\right) \end{array}

ใช้ By Part คิด \int_{-2}^{0}xcos\frac{n\pi}{2}xdx = \frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} \frac{2}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}dx

                                                              = \frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0}


รวมทั้งหมด

     \begin{array}{ccc} a_{n} &=& \frac{1}{2}\left(\frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{0}^{2}\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left(\frac{8sin(n\pi)}{n\pi} + (-4)\frac{1-cos(n\pi)+n\pi sin(n\pi)}{n^2\pi^2}\right) \\\ \cr &=& \displaystyle\frac{2(-1)^n -2}{n^2 \pi^2}\end{array}



หา b_{n}
\begin{array}{ccc} b_{n} &=& \frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)sin\frac{n\pi}{2}xdx \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}(2+x)sin\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2sin\frac{n\pi}{2}xdx\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}2sin\frac{n\pi}{2}xdx +\int_{-2}^{0}xsin\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2sin\frac{n\pi}{2}xdx\right) \end{array}

ใช้ By Part คิด \int_{-2}^{0}xsin\frac{n\pi}{2}xdx = \frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} \frac{2}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}dx
                                                                  = -\frac{2x}{n\pi}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0}

รวมทั้งหมด

\begin{array}{ccc} b_{n} &=& \frac{1}{2}\left(-\frac{2x}{n\pi}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}(-1+cos\frac{n\pi x}{2})|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}(1-cos\frac{n\pi x}{2})|_{0}^{2}\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left(\frac{-8n\picos(n\pi)+8sin(n\pi)}{n^2\pi^2}\right) \\\ \cr &=& \displaystyle\frac{2(-1)^{n+1}}{n \pi}\end{array}


sin(n\pi) = 0 , cos(n\pi) =>(-1)^n

ดังนั้น จะได้ สมการ Fourier Series คือ

 f(x) = \frac{3}{2} + \displaystyle \sum^{\infty }_{n=1}\left(\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}sin(\frac{n\pi x}{2}) - \frac{2(-1)^n -2}{n^2 \pi^2}cos(\frac{n\pi x}{2}))\right)



----------=============>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ถ้าผิดพลาดไปก็ขออภัยด้วยครับ มีโค้ดผิดอยู่ หนึ่งที่ครับ หาไม่เจอ ขอความช่วยเหลือหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ (233 252 275)  icon adore icon adore icon adore  reading reading reading reading reading reading reading laugh laugh laugh laugh


* FFS8.JPG (12.24 KB, 594x373 - viewed 732 times.)

* FFS20.JPG (12.83 KB, 594x373 - viewed 720 times.)

* FFS50.JPG (12.6 KB, 594x373 - viewed 725 times.)

* FFS50-10.JPG (19.32 KB, 594x373 - viewed 718 times.)
« Last Edit: February 08, 2007, 10:59:19 AM by BBC » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6217


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #9 on: February 07, 2007, 05:28:51 PM »

^^^ BBC ข้างบนมีที่พิมพ์ผิด  แก้บางส่วนให้แล้ว  คิดว่ามันพิมพ์ซ้ำกันนะ แล้วก็มีที่หายไปตรงอินทริกรัลของ a_0 แต่ข้างล่างสุดที่ยังผิดนี่ไม่รู้ว่าต้องการพิมพ์อะไร เลยแก้ไม่ถูก   buck2
« Last Edit: February 07, 2007, 06:44:22 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #10 on: February 07, 2007, 11:13:06 PM »

ขออภัยเป็นอย่างยิ่งครับคือ ปัญหามันเกิดจาก โลภมากจะเปิด [tex]กับปิ
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6217


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #11 on: February 08, 2007, 08:20:58 AM »

...
----------=============>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ถ้าผิดพลาดไปก็ขออภัยด้วยครับ มีโค้ดผิดอยู่ หนึ่งที่ครับ หาไม่เจอ ขอความช่วยเหลือหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ (233 252 275)  icon adore icon adore icon adore  reading reading reading reading reading reading reading laugh laugh laugh laugh

ไม่รู้ว่าโค้ดผิดที่ไหน หาไม่เจอเหมือนกัน  แต่ว่าช่วยพิมพ์ \sin  แทนที่จะเป็น sin หน่อยได้ไหม  แค่ใส่ \ หน้า sin เท่านั้นเอง  พวก cos, tan และฟังก์ชันอื่นด้วยเหมือนกัน  ในแวดวงของ \TeX \text{ists} การพิมพ์ฟังก์ชันโดยใช้ตัวเอนเหมือนกับตัวแปรถือว่าเป็นบาปมหันต์  Shocked
« Last Edit: February 08, 2007, 08:24:46 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #12 on: February 08, 2007, 09:54:34 AM »

ขอบคุณครับ คราวหลังจะไม่ลืมอีกแล้วครับ  icon adore icon adore icon adore icon adore icon adore icon adore icon adore bang head bang head bang head bang head bang head bang head
Logged
xila_kwang
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #13 on: February 08, 2007, 12:38:22 PM »

3. f(x) = 1 เมื่อ -1 < x < 0 และ f(x) = x เมื่อ 0 \leq x < 1

ต้องการเขียน f(x)ในรูปของ Fourier Series ในช่วง (-1, 1)

ได้ว่า f(x)=a_0+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}(a_n \cos[n \pi x]+b_n\sin[n \pi x])

คูณตลอดด้วย1 ซึ่งเป็นOrthogonal function /tex]

Integrate ตลอดทั้งสมการ เทียบ x ตั้งแต่ - 1 ถึง 1 ได้เป็น

\int _{-1}^1f(x)dx=\int _{-1}^1(a_0+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}(a_n \text{Cos}[n \pi x]+b_n\sin[n \pi x]))dx


ซึ่งสองเทอมหลังสุดเห็นได้ว่าเป็นการอินทิเกรต orthogonal function
ดังนั้นจะได้ค่าเป็น 0 ทั้งคู่ ดังนั้นสมการเหลือเพียง

\int _{-1}^1f(x)dx=\int _{-1}^1a_0dx

tex]a_n=\frac{1}{n \pi}(\text{Sin}[n \pi x])_{-1}^{0}+___[/tex]..........(1)

พจน์ที่ 2 ทำการ integrate by part ; u = x    dv = \text{Cos}[n \pi x]dx     du = dx    v =\frac{1}{n \pi}\text{Sin}[n \pi x]

\int udv = uv - \int vdu

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = (\frac{x}{n \pi}\text{Sin}[n \pi x])_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{n \pi}\text{Sin}[n \pi x]dx

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = 0 - (\frac{1}{n^2 \pi^2}(\text{-Cos}[n \pi x])_{0}^{1})

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = (-\frac{1}{n^2 \pi^2})(-(-1)^{n}+1)

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = \frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2}

นำมาแทนในสมการที่ (1)

a_n = \frac{1}{n \pi}((\text{Sin}[n \pi x])_{-1}^{0}+(-\frac{1}{n^2 \pi^2})(-(-1)^{n}+1)

a_n = 0 + \frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2}

ดังนั้น a_n = \frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2}

b_n =\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)sin\frac{n \pi x}{p}dx

b_n =\frac{1}{1}\int_{0}^{1}x sin\frac{n \pi x}{1}dx

ใช้ integrate by part ให้ u=x  dv=sin (n \pi x)dx จะได้

\int udv=uv - \int vdu  เมื่อ   du=dx และ v=\frac{-1}{n \pi}cos (n \pi x)

b_n = [\frac{-x}{n \pi}cos(n \pi x)]|_{0}^{1} -  \int_{0}^{1} (\frac{-1}{n \pi}cos (n \pi x))dx

b_n = [\frac{-1}{n \pi}cos(n \pi) - \frac{0}{n \pi}cos(0)] + \frac{1}{(n \pi)^2}[sin (n \pi) + sin (n \pi)]

b_n = [\frac{-1}{n \pi}(1) - 0] + (0 + 0)]

 b_n = \frac{-1}{n \pi }

จะได้สมการ Fourier Series คือ

f(x) = \frac{3}{4} + \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}(\frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2} \cos[n \pi x]-\frac{1}{n \pi}\sin[n \pi x])

u4805006
u4805020
u4805166


* 8.GIF (2.22 KB, 436x249 - viewed 625 times.)

* 20.GIF (2.23 KB, 436x249 - viewed 620 times.)

* 50.GIF (2.2 KB, 436x249 - viewed 618 times.)

* 100.GIF (2.11 KB, 436x249 - viewed 607 times.)
« Last Edit: February 10, 2007, 06:00:28 PM by xila_kwang » Logged
xila_kwang
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #14 on: February 08, 2007, 12:48:08 PM »

ภาพของจริง


* real.GIF (2.05 KB, 436x249 - viewed 613 times.)
Logged
Pages: 1 2 3 »   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น