ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

...

เสรีภาพทางการศึกษาคือหัวใจของการศึกษาที่แท้จริง

คนแรกที่ควรได้รับการศึกษาคือผู้ให้การศึกษา

mPEC on Facebook

IPhO 2011 on Facebook

IPhO 2011

Further Academy
 
Advanced search

37974 Posts in 5626 Topics- by 4057 Members - Latest Member: elevatorthailand
mPEC Forumฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยคลังของเก่าปีสอง: Differential Equations (2549)[10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)  (Read 10267 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« on: January 26, 2007, 11:08:50 AM »
จากหนังสือหน้า 434 แบบฝึกหัด 11.1 ข้อ 12

จงแสดงว่า set ต่อไปนี้ เป็น Orthogonal set
เขาให้หา Norm ของแต่ละฟังก์ชันใน set นี้ด้วย

\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{m \pi}{p} x\},    n = 1, 2, 3,..., m = 1, 2, 3,...  บนช่วง [-p,p]
« Last Edit: February 01, 2007, 03:42:44 PM by f4 » Logged
This is F4 :-)
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53
« Reply #1 on: January 26, 2007, 05:10:32 PM »
จากไหนถึงไหนฮับ

\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{n \pi}{p} x\},
ตก x ไปตัวนึงด้วยฮับ
« Last Edit: January 26, 2007, 05:16:39 PM by paul » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #2 on: January 26, 2007, 11:25:53 PM »
Quote from: paul on January 26, 2007, 05:10:32 PM
จากไหนถึงไหนฮับ

\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{n \pi}{p} x\},
ตก x ไปตัวนึงด้วยฮับ

Thank you Paul!!  icon adore

ใช่เลย ต้องบอกช่วงของ set ด้วย  redfaced แก้ใหม่แล้วล่ะ ขอบคุณมาก
Logged
This is F4 :-)
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #3 on: January 29, 2007, 03:27:56 PM »
คุณบุ๊งเค้า แอบใช้เครื่องผมเข้า mpec แล้ว login ค้างไว้ ผมก้อ post โดยไม่ดูตาม้าตาเรือ เลยออกมาที่ user นีครับ
ข้อจิงอยู่ข้างล่าง
« Last Edit: January 29, 2007, 03:40:26 PM by BBC » Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53
« Reply #4 on: January 29, 2007, 03:34:26 PM »
\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{m \pi}{p} x\} m,n=1,2,3,...[-p,p]

พิสูจน์ว่าเป็น Orthogonal set หรือไม่ จับคู่

(1,\cos \frac{n \pi}{p} x),(1,\sin \frac{m \pi}{p} x),(\cos \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x )

\begin{array}{rcl}\int_{-p}^{p}(1)(\cos \frac{n \pi}{p} x)dx&=&\frac{p}{n\pi}(\sin(n\pi)-\sin(-n\pi))\\\\&=&0\\\\\int_{-p}^{p}(1)(\sin \frac{n \pi}{p} x)dx&=&-\frac{p}{n\pi}(\cos(n\pi)-\cos(-n\pi))\\\\&=&-\frac{p}{n\pi}(\cos(n\pi)-\cos(n\pi))\\\\&=&0\\\\\int_{-p}^{p}\cos \frac{n \pi}{p} x\sin \frac{m \pi}{p} x dx&=&\int_{-p}^{p}\frac{1}{2}\{\sin\frac{(m+n)\pi}{p}x+\sin\frac{(m-n)\pi}{p}x\}\text{; from }\sin(A)\cos(B)=\frac{1}{2}(\sin(A+B)+\sin(A-B))\\\\&=&\frac{1}{2}\{\frac{p}{(m+n)\pi}\cos(\frac{(m+n)\pi}{p}x|^{p}_{-p})+\frac{p}{(m-n)\pi}\cos(\frac{(m-n)\pi}{p}x|^{p}_{-p})\}\\\\&=&\frac{1}{2}\{\frac{p}{(m+n)\pi}\cos(m+n)p-\frac{p}{(m+n)\pi}\cos(-(m+n)p)+\frac{p}{(m-n)\pi}\cos(m-n)p-\frac{p}{(m-n)\pi}\cos(-(m-n)p)\}\\\\&=&0 \text{ from } \cos(-A)=\cos(A)\end{array}

หา Norm ให้คนอื่นช่วยละกัน แค่นี้เหนื่อยแล้ว... reading
ถ้ามีอะไรผิดก้อบอกด้วยละกัน ^^ knuppel2 2funny Grin
« Last Edit: February 10, 2007, 02:31:21 PM by f4 » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #5 on: January 30, 2007, 10:10:10 AM »
Quote from: paul on January 29, 2007, 03:34:26 PM
\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{m \pi}{p} x\} m,n=1,2,3,...[-p,p]

พิสูจน์ว่าเป็น Orthogonal set หรือไม่ จับคู่

(1,\cos \frac{n \pi}{p} x),(1,\sin \frac{m \pi}{p} x),(\cos \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x )

...


ขอบคุณมาก Paul   icon adore

ว่าแต่ว่าจับคู่ครบแล้วเหรอ

แล้ว (\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x ) กับ  (\sin \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x ) ล่ะ
จำเป็นต้องทำหรือเปล่า  Shocked
Logged
This is F4 :-)
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53
« Reply #6 on: January 31, 2007, 01:33:25 PM »
Quote from: f4 on January 30, 2007, 10:10:10 AM

ว่าแต่ว่าจับคู่ครบแล้วเหรอ

แล้ว (\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x ) กับ  (\sin \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x ) ล่ะ
จำเป็นต้องทำหรือเปล่า  Shocked

ลืมไปเลยอะฮับ T-T
Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53
« Reply #7 on: January 31, 2007, 01:40:15 PM »
งั้นก้อเหลืออีก 2 คู่ที่ลืมทำไปคราวก่อน.....จะทำแค่พิสูจน์ว่าเป็น orthogonal set นะฮับที่เหลือจาให้เพื่อน ๆ ช่วยละกัน(ตามความเป็นจริงคือขี้เกียจนั้นแหละ)

\{\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x\},\{\sin \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x\}

เริ่มจากที่อันแรกสุดคือ \{\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x\}

\begin{array}{rcl}\int_{-p}^{p}\cos \frac{n \pi}{p} x\cos \frac{m \pi}{p} x dx&=&\int_{-p}^{p}\frac{1}{2}\{\cos(\frac{n \pi}{p}+\frac{m \pi}{p})x+\cos(\frac{n \pi}{p}-\frac{m \pi}{p})x\}dx \text{ ;from } \cos A \cos B=\frac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n+m)\pi}\sin(\frac{(m+n)\pi}{p}x)|^{p}_{-p}+\frac{p}{(n-m)\pi}\sin(\frac{(n-m)\pi}{p}x)|^{p}_{-p})\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n+m)\pi}(\sin((m+n)\pi))-\sin(-(m+n)\pi))+\frac{p}{(n-m)\pi}(\sin((n-m)\pi))-\sin(-(n-m)\pi)))\\\\&=&0\end{array}

\begin{array}{rcl}\int_{-p}^{p}\sin \frac{n \pi}{p} x\sin \frac{m \pi}{p} x dx&=&\int_{-p}^{p}\frac{1}{2}\{\cos(\frac{n \pi}{p}-\frac{m \pi}{p})x-\cos(\frac{n \pi}{p}+\frac{m \pi}{p})x\}dx \text{ ;from } \sin A \sin B=\frac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n-m)\pi}\sin(\frac{(n-m)\pi}{p}x)|^{p}_{-p}-\frac{p}{(n+m)\pi}\sin(\frac{(m+n)\pi}{p}x)|^{p}_{-p})\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n-m)\pi}\sin((n-m)\pi)-\frac{p}{(n-m)\pi}\sin(-(n-m))\pi-\frac{p}{(n+m)\pi}\sin((n+m)\pi)+\frac{p}{(n+m)\pi}\sin(-(n+m)\pi)\\\\&=& 0\end{array}

เหนื่อย ๆ ทำไปดิ้นไป (ตอนทำก้อดู Music under spaceship อยู่ ^^)
มึน  ๆถ้าผิดใครเห็นก้อช่วยละกันนะฮับ smitten

ps. ทำลงเว็ปแล้วยังไม่ทำใส่กระดาษเลย --"
« Last Edit: February 10, 2007, 02:31:45 PM by f4 » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #8 on: February 01, 2007, 08:55:24 AM »
Quote from: paul on January 31, 2007, 01:40:15 PM

ps. ทำลงเว็ปแล้วยังไม่ทำใส่กระดาษเลย --"


ขอบคุณที่ช่วยเฉลยให้จนจบ  smitten

Paul ไม่ต้องเขียนลงกระดาษส่งแล้วล่ะ นี่ก็ถือว่าส่งการบ้านแล้วเรียบร้อย  great

อยากให้คนอื่นช่วยเฉลยวิธีการหา Norm ของสมาชิกแต่ละตัวใน set นี้ด้วย!!
Logged
This is F4 :-)
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #9 on: February 01, 2007, 03:40:35 PM »
ถึงเพื่อนๆ ปีสองที่ยังไม่ได้ส่งการบ้านเรื่องนี้

Mr.paul ได้ทำเฉลยไว้แล้วข้างบนนี้ แต่ตอนนี้ถูกซ่อนอยู่
ยังไม่แสดงให้ดูจนกว่าจะส่งการบ้านครบทุกคน
(หรือไม่เราก็ต้อง post ข้อความ 500 ครั้งขึ้นไปถึงจะเห็นของที่ซ่อนอยู่ได้ ฮ่า ฮ่า ส่งการบ้านดีกว่าเนอะ  Grin)
Logged
This is F4 :-)
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...
« Reply #10 on: February 05, 2007, 11:46:51 AM »
Quote from: f4 on February 01, 2007, 03:40:35 PM
ถึงเพื่อนๆ ปีสองที่ยังไม่ได้ส่งการบ้านเรื่องนี้

Mr.paul ได้ทำเฉลยไว้แล้วข้างบนนี้ แต่ตอนนี้ถูกซ่อนอยู่
ยังไม่แสดงให้ดูจนกว่าจะส่งการบ้านครบทุกคน
(หรือไม่เราก็ต้อง post ข้อความ 500 ครั้งขึ้นไปถึงจะเห็นของที่ซ่อนอยู่ได้ ฮ่า ฮ่า ส่งการบ้านดีกว่าเนอะ  Grin)

โหดแหะ... เล่นทีตั้ง 500 posts เลยแน่ะ...
Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #11 on: February 10, 2007, 02:30:14 PM »
หมดเวลาสำหรับส่งการบ้านเรื่อง "The Orthogonal Set" แล้ว
ฉะนั้นจะเปิดให้ทุกคนดูวิธีทำที่ paul แสดงให้ดูข้างบนได้แล้ว ไม่ซ่อนแล้วล่ะ   Grin

แต่ว่า paul ยังทำให้ไม่ครบทุกคู่ และก็ยังไม่ได้แสดงวิธีการหา Norm ของ
สมาชิกแต่ละอันในเซตด้วย เพื่อนๆ คนอื่นช่วยมาแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยสิ  icon adore
Logged
This is F4 :-)
xila_kwang
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #12 on: February 10, 2007, 09:18:03 PM »
paul ขาดไปคู่นึง คือ (\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p}) ที่ m = n
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \int_{-p}^{p} \cos \frac{n \pi x}{p} \sin\frac{n \pi x}{p} dx
จาก     \frac {d\sin nx}{dx} = n\cos nx
ดังนั้น    d\sin nx = n\cos nx dx
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \int_{-p}^{p} \frac{p}{n \pi}\sin\frac{n \pi x}{p} d \sin\frac{n \pi x}{p}
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} (-\sin\frac{n \pi x^2}{2p})_{-p}^{p}
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} (-\cos{n \pi p} - (-\cos{n \pi p})
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} (-\cos{n \pi p} + \cos{n \pi p}))
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} ( 0 ) = 0

ส่วนการหา norm
norm = ||\phi _n ||
จากนิยามได้ว่า
|| \phi _n ||^2 = \int_{a}^{b} \phi _n(x)\phi _n(x) dx
และข้อนี้มีสมาชิก 3 ตัว คือ { 1 , \cos\frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p} }
|| 1 ||^2 = \int_{-p}^{p} 1 dx
|| 1 ||^2 = p-(-p) = 2p
|| 1 || = \sqrt{2p}
ดังนั้น norm ของ 1 คือ \frac{1}{\sqrt{2p}}
|| \cos\frac{n \pi x}{p} ||^2 = \int_{-p}^{p} \cos^2\frac{n \pi x}{p} dx
/tex] คือ \frac{1}{\sqrt{p}}
|| \sin\frac{m \pi x}{p} ||^2 = \int_{-p}^{p} \sin^2\frac{m \pi x}{p} dx
/tex] คือ \frac{1}{\sqrt{p}}
ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยมา ณ. ที่นี้นะค่ะ
Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53
« Reply #13 on: February 12, 2007, 02:05:04 PM »
เข้าใจว่าที่ กรณีที่ n=m นั้นไม่จำเป็นเพราะกรณีที่เราพิสูจน ใช้เป็นกรณีทั้วไปอยู่แล้ว เข้าใจว่าอย่างนั้นนะครับ ^^ 
Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #14 on: February 13, 2007, 09:31:11 AM »
Quote from: xila_kwang on February 10, 2007, 09:18:03 PM
paul ขาดไปคู่นึง คือ (\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p}) ที่ m = n
...

ส่วนการหา norm
norm = ||\phi _n ||
จากนิยามได้ว่า
|| \phi _n ||^2 = \int_{a}^{b} \phi _n(x)\phi _n(x) dx
และข้อนี้มีสมาชิก 3 ตัว คือ { 1 , \cos\frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p} }
...
|| \sin\frac{m \pi x}{p} || = \sqrt{p}
ดังนั้น norm ของ \sin\frac{m \pi x}{p} คือ \frac{1}{\sqrt{p}}
ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยมา ณ. ที่นี้นะค่ะ


paul ยังไม่ได้ทำอีกสองคู่คือ (\cos \frac{n \pi x}{p} , \cos\frac{m \pi x}{p}) และ (\sin \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p})

ขอบคุณ xila_kwang ที่ช่วยหา norms ให้  แต่ว่าสรุปผิดหรือเปล่า

ในเมื่อ norm ของ \phi คือ ||\phi _n ||

และเราหาได้ว่า || \sin\frac{m \pi x}{p} || = \sqrt{p}
แต่ทำไมสรุปว่า  "ดังนั้น norm ของ \sin\frac{m \pi x}{p} คือ \frac{1}{\sqrt{p}}" ล่ะ ?!?  idiot2

norm ของ 1 และ \cos\frac{n \pi x}{p} ก็เหมือนกัน...
Logged
This is F4 :-)
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น