มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41094 Posts in 6121 Topics- by 6828 Members - Latest Member: Dat7k
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: [9] The Laplace Transforms  (Read 26382 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« on: January 18, 2007, 11:26:22 AM »

The Laplace Transforms
ให้นักศึกษาส่งการบ้านเรื่องนี้ (แบบฝึกหัดที่ 7.3.2) ที่นี่
โดย

ลำดับที่ 1. ให้ Praveena เขียนนิยามของ  Laplace Transforms
ลำดับที่ 2. ให้ sammy เขียน Laplace Transforms ของฟังก์ชันที่สำคัญๆ
ลำดับที่ 3. ให้ Saranpat เขียน Laplace Transforms ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จากนั้นเพื่อนๆ ก็โพสต์การบ้านได้

ใครมีปัญหา ทำข้อไหนไม่ได้ มาถามได้ที่ห้อง หรือโพสต์ถามเพื่อนๆ ก็ได้

Have fun!  smitten
« Last Edit: February 01, 2007, 03:46:29 PM by f4 » Logged

This is F4 :-)
Praveena
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19


« Reply #1 on: January 19, 2007, 11:54:59 PM »

Laplace Transform
Let f be a function defined for t\geq0. Then the integral

\mathcal{L}{f(t)} = \int _{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt

is said to be the Laplace transform of f, provided that the integral converges.
« Last Edit: January 21, 2007, 03:29:47 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
sammy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5


« Reply #2 on: January 20, 2007, 08:14:51 AM »

Transforms of some Basic Functions

\mathcal{L}(1) = \dfrac{1}{s}

\mathcal{L}(t^n) = \dfrac{n!\fact}{s^{n+1}}

\mathcal{L}(e^{at}) = \dfrac{1}{s-a}

\mathcal{L}(\sin kt) = \dfrac{k}{s^2+k^2}

\mathcal{L}(\cos kt) = \dfrac{s}{s^2+k^2}

\mathcal\{L}(\sinh kt) = \dfrac{k}{s^2-k^2}

\mathcal{L}(\cosh kt) = \dfrac{s}{s^2-k^2}


« Last Edit: January 22, 2007, 02:09:59 AM by sammy » Logged
Saranpat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15


« Reply #3 on: January 21, 2007, 02:47:07 PM »

Transforms of derivatives

1. \mathcal{L}\{f}^\prime(t)\}=SF(s)-f(0)
2. \mathcal{L}\{f}^\prime^\prime(t)\}=S^2F(s)-Sf(0)-f^\prime(0)
3. \mathcal{L}\{f}^\prime^\prime^\prime(t)\}=S^3F(s)-S^2f(0)-Sf^\prime(0)-f^\prime^\prime(0)

THEOREM 7.5  Transform of a Derivative

\mathcal{L}\{{f}^{n}(t)\}=S^nF(s)-S^{n-1}f(0)S^{n-2}f^\prime(0)...-f^{n-1}(0)
WhereF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}

by Saranpat
Logged
visutida
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 16

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #4 on: January 22, 2007, 05:59:28 PM »


By รักพงษ์ กิตตินราดร  4805180   
    วิสุทธิดา วิจิตรวงศ์    4805208


ข้อ 70.)   y\prime\prime + 4y \prime + 3y = 1 - U(t-2) - U(t-4) - U(t-6)
             
              y(0) = 0   ;  y\prime(0) = 0     Shocked

ทำ Laplace Transform จะได้

 s^2Y - sy(0) - y\prime(0) + 4sY - 4y(0) + 3Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

แต่เนื่องจาก    y(0) = 0   ;  y\prime(0) = 0

ดังนั้น  s^2Y + 4sY + 3Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

 (s^2 + 4s + 3 )Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

 (s + 3)(s + 1)Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

 Y = \dfrac{1}{s(s+1)(s+3)} - \dfrac{e^{-2s}}{s(s+1)(s+3)} - \dfrac{e^{-4s}}{s(s+1)(s+3)} - \dfrac{e^{-6s}}{s(s+1)(s+3)}...............*

/tex].......................3

    \dfrac{e^{-6s}}{s(s+1)(s+3)} = \dfrac{e^{-6s}}{3s} - \dfrac{e^{-6s}}{2(s+1)} + \dfrac{e^{-6s}}{6(s+3)}.......................4

ทำ inverse Laplace Transform กับสมการ ที่ 1-4 แล้วแทนลงในสมการ..........* Cry
จะได้ว่า

y = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}e^{-t} + \dfrac{1}{6}e^{-3t} + \dfrac{1}{3}U(t-2) - \dfrac{1}{2}e^{-(t-2)}U(t-2) + \dfrac{1}{6}e^{-3(t-2)}U(t-2)
         + \dfrac{1}{3}U(t-4) - \dfrac{1}{2}e^{-(t-4)}U(t-4) + \dfrac{1}{6}e^{-3(t-4)}U(t-4) + \dfrac{1}{3}U(t-6)
         - \dfrac{1}{2}e^{-(t-6)}U(t-6) + \dfrac{1}{6}e^{-3(t-6)}U(t-6)

y = \dfrac{1}{3}[1 + U(t-2) + U(t-4) + U(t-6)]
         - \dfrac{1}{2}[e^{-t} + e^{-(t-2)}U(t-2) + e^{-(t-4)}U(t-4) + e^{-(t-6)}U(t-6)]
         + \dfrac{1}{6}[e^{-3t} + e^{-3(t-2)}U(t-2) + e^{-3(t-4)}U(t-4) + e^{-3(t-6)}U(t-6)]
 buck2

กว่าจะเสร็จ  พิมพ์จนเหนื่อยเลยค่ะอาจารย์  Grin

Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #5 on: January 24, 2007, 12:23:49 PM »



ข้อ 70.)   y\prime\prime + 4y \prime + 3y = 1 - U(t-2) - U(t-4) - U(t-6)     Angry
             
... ...
กว่าจะเสร็จ  พิมพ์จนเหนื่อยเลยค่ะอาจารย์  Grin


ลอกโจทย์มาผิดน่ะ เหอ เหอ  พจน์สุดท้ายต้องเป็น + U(t-6)    ไม่ใช่เครื่องหมายลบ
แต่ก็เอาเถอะนะ สมมติว่าเป็นเครื่องหมายบวกก็ได้ เราก็ทำมาถูกต้องแล้ว 
ถ้าให้แก้โจทย์ทำใหม่ ก็ไม่ต่างกันมากนัก แค่เครื่องหมายตัวสุดท้ายเปลี่ยนไปก็เท่านั้นเอง angel
Logged

This is F4 :-)
visutida
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 16

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #6 on: January 24, 2007, 12:56:05 PM »



ข้อ 70.)   y\prime\prime + 4y \prime + 3y = 1 - U(t-2) - U(t-4) - U(t-6)     Angry
             
... ...
กว่าจะเสร็จ  พิมพ์จนเหนื่อยเลยค่ะอาจารย์  Grin


ลอกโจทย์มาผิดน่ะ เหอ เหอ  พจน์สุดท้ายต้องเป็น + U(t-6)    ไม่ใช่เครื่องหมายลบ
แต่ก็เอาเถอะนะ สมมติว่าเป็นเครื่องหมายบวกก็ได้ เราก็ทำมาถูกต้องแล้ว 
ถ้าให้แก้โจทย์ทำใหม่ ก็ไม่ต่างกันมากนัก แค่เครื่องหมายตัวสุดท้ายเปลี่ยนไปก็เท่านั้นเอง angel

แหะๆ   ขอโทษค่ะอาจารย์  ที่พิมพ์ผิด icon adore
Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53


« Reply #7 on: January 24, 2007, 02:53:36 PM »

ข้อ 68y^{\prime\prime}-5y^\prime+6y=\mathcal{U}(t-1),y(0)=0,y^\prime(0)=1

From......Saranpat has written ,we can rewrite equation  be..

\begin{array}{rcl} s^2Y(s)-sy(0)-y^\prime(0)-5sY(s)+5y(0)+6Y(s)&=&\frac{1}{s}e^{-s}\\\\(s^2-5s+6)Y(s)-1&=&\frac{1}{s}e^{-s}\text{ substitution } y(0)=0,y^\prime(0)=1  \\\\(s-3)(s-2)Y(s)-1&=&\frac{1}{s}e^{-s}\\\\Y(s)&=&(\frac{1}{s}e^{-s}+1)\frac{1}{(s-3)(s-2)}\\\\&=&e^{-s}(\frac{1}{s(s-3)(s-2)})+\frac{1}{(s-3)(s-2)}\\\\&=&(\frac{1}{6}+\frac{1}{3(s-3)}-\frac{1}{2(s-2)})e^{-s}+(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s-2})\\\\y(t)&=&(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{3(t-1)}-\frac{1}{2}e^{2(t-1)})\mathcal{U}(t-1)+e^{3t}+e^{2t}\end{array}

เส็ดสักที..... แอบดูวิธีทำของVisutida มาอ่า เหอ เหอ  coolsmiley Wink  bang head reading tickedoff Angry embarassed idiot2 Sad knuppel2
จัดทำโดย
น.ส.ธนพร ประสพโชค 4805091 coolsmiley
นายประวีณ สิริธนศักดิ์ 4805123  2funny
น.ส.รัฐพร  ทองตัน 4805182  smiley6600
« Last Edit: January 26, 2007, 05:09:14 PM by paul » Logged
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...


« Reply #8 on: January 24, 2007, 04:12:17 PM »

Problem 67
y^{\prime \prime} + 4y = \sin t \mathcal{U}(t-2\pi)


s^2Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0) + 4Y(s) = \mathcal{L}[\sin(t - 2\pi) \mathcal{U}(t - 2\pi)]
Y(s) = \dfrac{s}{s^2 + 4} + \dfrac{e^{-2\pi s}}{(s^2+1)(s^2+4)}
Y(s) = \dfrac{s}{s^2 + 4} + e^{-2\pi s}[\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{s^2+1} - \dfrac{1}{6}\dfrac{2}{s^2+4}]
\therefore y(t) = \cos 2t + \dfrac{1}{3}\sin (t - 2\pi)\mathcal{U}(t-2\pi) - \dfrac{1}{6}\sin 2(t - 2\pi)\mathcal{U}(t-2\pi)

โดย
  ชาคริต สมานรักษ์ 4805046
  ณฤพล วีระวงศ์พรหม 4805057
  ธีรพจน์ ศรีอรุโณทัย 4805099
Logged
Praveena
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19


« Reply #9 on: January 24, 2007, 11:13:42 PM »

69.y\prime\prime + y = f(t),y(0)= 0,y\prime(0) = 1 \text{,where}

   
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}0,& 0\leg t < \pi \\1, &\pi\leg t < 2\pi \\0,&t \geq 2\pi\end{array}\right}

s^{2}Y(s)- sy(0)- y\prime(0) + Y(s) = \mathcal{L}{f(t)}
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = \int _{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = \int _{0}^{\pi}e^{-st}f(t)dt + \int _{\pi}^{2\pi}e^{-st}f(t)dt + \int _{2\pi}^{\infty}e^{-st}f(t)dt
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = 0 + \int _{\pi}^{2\pi}e^{-st}f(t)dt + 0
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = -\frac{1}{s}\int _{\pi}^{2\pi}e^{-st}f(t)d(-st)
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = -\frac{1}{s}[e^{-2\pis}-e^{-\pis}]
Y(s) = \displaystyle{\frac{-\frac{1}{s}[e^{-2s\pi}-e^{-s\pi}] + 1}{(s^{2}+1)}}
Y(s) = \displaystyle{\frac{e^{-s\pi}}{s(s^{2}+1)}- \frac{e^{-2s\pi}}{s(s^{2}+1)}+\frac{1}{(s^{2}+1)}}

Inverse Laplace Transform of Y(s)
y(t) = \mathcal{L}^{-1}[{Y(s)}]
y(t) = \displaystyle{\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-s\pi}}{s(s^{2}+1)}]-\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-2s\pi}}{s(s^{2}+1)}]+\mathcal{L}^{-1}[ \frac{1}{(s^{2}+1)}]}
y(t) = \displaystyle{\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-s\pi}}{s}-\frac{se^{- s\pi}}{(s^{2}+1)}]-\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-2s\pi}}{s}-\frac{se^{-2s\pi}}{(s^{2}+1)}]+\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s^{2}+1}]}
y(t) = \mathcal{U}(t-\pi)- \cos(t-\pi)\mathcal{U}(t-\pi)-[\mathcal{U}(t-2\pi)- \cos(t-2\pi)\mathcal{U}(t-2\pi)]+\sin t
y(t) = (1- \sin(t-\pi))\mathcal{U}(t-\pi) - (1- \sin(t - 2\pi))\mathcal{U}(t - 2\pi)+\sin t

โดย
น.ส.ปวีณา  ตัณฑยรรยง  4805127
น.ส.ปัณฑิตา ผลิตผลการพิมพ์  4805128
น.ส.วรฎี  คงทอง  4805190
« Last Edit: January 30, 2007, 07:27:52 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Armageddon
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


Ich bin ein physiker.


« Reply #10 on: January 24, 2007, 11:17:51 PM »

ข้อ 66. 

y^{\prime\prime}+4y=f(t),  y(0)=0,  y^\prime(0)=-1 \text{ ,where}

f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right

เขียน f(t) ในรูปของ unit step function ได้เป็น  f(t) = 1-\mathcal{U}(t-1)


\begin{array}{rcl} s^2Y(s)-sy(0)-y^\prime(0)+4Y(s)&=&\displaystyle \mathcal{L}{f(t)}\\\\(s^{2}+4)Y(s) + 1&=&\displaystyle \int _{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\\\&=&\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-st}f(t)dt +  \int _{1}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\\\ &=& \displaystyle \int _{0}^{1}e^{-st}f(t)dt + 0 \\\\&=& \displaystyle -\frac{1}{s}\int _{0}^{1}e^{-st}f(t)d(-st)\\\\&=&\displaystyle -\frac{1}{s}[e^{-s}-1]\\\\Y(s)&=& \displaystyle{\frac{-\frac{1}{s}[e^{-s}-1]-1}{(s^{2}+4)}\\\\&=& \displaystyle {\frac{1}{(s^{2}+4)}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s}e^{-s}-1)\\\\ &=& \displaystyle {(\frac{1}{s(s^{2}+4)})-(\frac{e^{-s}}{s(s^{2}+4)})-(\frac{1}{(s^{2}+4)})\\\\ &=& \displaystyle {\frac{1}{4s}-\frac{s}{4(s^{2}+4)}-\frac{e^{-s}}{4s}+\frac{e^{-s}s}{4(s^{2}+4)}-\frac{1}{(s^{2}+4)}\end{array}

\therefore y(t) = \displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{4}cos2t-\frac{1}{4}\mathcal{U}(t-1)+\frac{1}{4}cos2(t-1)\cdot \mathcal{U}(t-1)-\frac{1}{2}sin2t


by  4805045 4805090 4805126

เนื่องจากเมื่อวานเนทที่บ้านตัด  จึงต้องมาทำที่ห้องคอมภาคตอนเข้าครับ  Grin

« Last Edit: January 31, 2007, 09:05:19 AM by Armageddon » Logged

จงมอบความรัก  ด้วยใจภักดี
มอบชีวีให้เธอคุ้มครอง
ความหวังดีจงมาปกป้อง   ทั้งตื่นและฝัน....^^
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #11 on: January 24, 2007, 11:58:51 PM »

ข้อ69ทำไมไม่แก้Y(s)ล่ะครับ วานบอก Huh
Logged
fairy003
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 17

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #12 on: January 25, 2007, 12:41:21 PM »

ข้อ 64.  y^\prime + y = f(t)  ,  y(0) = 0 
           
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right
               
\mathcal L{y^\prime} +\mathcal L{y} =  \mathcal L{f(t)}

3Y(s) - y(0) + Y(s) =   \mathcal L{1} - \mathcal L{2\mathcal U(t - 3)}}

3Y(s) + Y(s) = \displaystyle\frac{1}{s} - [\int _{0}^{1}e^{-st}(1)dt - \int _{1}^{\infty}e^{-st}(-1)dt]

Y(s+1) = \displaystyle\frac{1}{s} - \displaystyle\frac{2e^{-s}}{s}

Y(s) = \displaystyle\frac{1 - 2e^{-s}}{s(s + 1)}

y(t) = \mathcal L^{-1}{{\displaystyle\frac{1 - 2e^{-s}}{s}} - \displaystyle\frac{2e^{-s} - 1}{s + 1}

y(t) = 1 - 2\mathcal U(t-1) - [2e^{1-2t}\mathcal U(t-1)]                      Ans



จัดทำโดย
u4805003
u4805008
u4805228
Logged
xila_kwang
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #13 on: January 25, 2007, 04:28:16 PM »

65.y\prime+2y=f(t) , y(0)=0,
where
f(t)=t,0\leq t<1
and
f(t)=0,t\req

ซึ่งสามารถเขียนเป็นกราฟได้ดังรูปข้างล่าง

วิธีทำ
จากโจทย์เขียน f(t) ได้เป็น t-t\mathcal U (t-1)

ดังนั้นได้เป็น

y\prime+2y=t-t\mathcal U (t-1)

\mathcal L (y\prime+2y)=\mathcal L (t-t\mathcal U (t-1))

sY(s)-y(0)+2y=\mathcal L (t-(t-1+1)\mathcal U (t-1))

sY(s)+2y=\mathcal L (t-(t-1)\mathcal U (t-1)-\mathcal U (t-1))

(s+2)Y(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{e^{-s}}{s}

Y(s)=\frac{1}{(s^2)(s+2)}-\frac{e^{-s}}{(s^2)(s+2)}-\frac{e^{-s}}{(s)(s+2)}

Y(s)=\frac{1}{(s)(s+2)}(\frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s}-e^{-s})

 y(t) คือ  Inverse Transform ของ  Y(s)

 y(t)= \mathcal L^{-1}[\frac{1}{s^2 (s+2)}-\frac{-e^{-s}}{s^2 (s+2)}-\frac{e^{-s}}{s(s+2)}]

จาก   \frac{1}{s^2 (s+2)} = \frac{As+B}{s^2}+\frac{C}{s+2}

 1 = (As+B)(s+2) + Cs^2

       ถ้า  s = -2 ; 1 = C(-2)^2 ; C = \frac{1}{4}

       ถ้า  s = 0 ; 2B = 1 ; B = \frac{1}{2}

       เมื่อ  (A+C)s^2 + (2A+B)s   จะได้  (A+C)s^2 = 0 ; A = \frac{-1}{4}

และ  \frac{1}{s(s+2)} = \frac{D}{s}+\frac{E}{s+2}

 1 = D(s+2) + Es

       ถ้า  s = -2 ; E(-2) = 1 ; E = \frac{-1}{2}

       ถ้า  s = 0 ; 2D = 1 ; D = \frac{1}{2}

 y(t) = \mathcal L^{-1}[\frac{-s+2}{4s^2}+\frac{1}{4(s+2)}-e^{-s} (\frac{-s+2}{4s^2})-\frac{e^{-s}}{4(s+2)}-\frac{e^{-s}}{2s}+\frac{e^{-s}}{2(s+2)}]


 y(t) = \mathcal L^{-1}[\frac{-1}{4s}+\frac{1}{2s^2} + \frac{1}{4(s+2)}+\frac{e^{-s}}{4s}-\frac{e^{-s}}{2s^2}-\frac{e^{-s}}{4(s+2}-\frac{e^{-s}}{2s}+\frac{e^{-s}}{2(s+2}]

 y(t) = \frac{-1}{4}+\frac{t}{2} + \frac{e^{-2t}}{4}-\frac{1}{4}\mathcal U(t - 1)-\frac{1}{2}(t-1)\mathcal U(t - 1)+\frac{1}{4}(t-1)e^{-2(t-1)}\mathcal U(t - 1)


กลุ่ม 2
u4805006
u4805020
u4805166
« Last Edit: January 30, 2007, 07:29:53 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #14 on: January 25, 2007, 06:22:03 PM »

ข้อ 74

วิธีทำ

        q\prime + q = 0.1E(t)

  จากโจทย์           E(t) = \left\{\begin{array}{cc}30e^t, &\mbox 0 \leq t < 1.5 \\0, &\mbox t \geq 1.5\end{array}\right

        \mathcal L (q\prime + q) = \mathcal L {(30e^t(1-\mathcal U(t-1.5)))}

        sQ_{(s)} - q_{0} +Q_{(s)} = \frac{-3e^{1.5-1.5s}}{1-s} + \frac{3}{s-1}

        Q_{(s)}(s+1)  = \frac{-3e^{1.5-1.5s}}{1-s} + \frac{3}{s-1} + q_0

        Q_{(s)} =  \frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{(s+1)(s-1)} + \frac{q_0}{(s+1)}

        Q_{(s)} = -\frac{3}{2}\frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{2}\frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{2(s-1)} - \frac{3}{2(s+1)} + \frac{q_0}{s+1}

        Q_{(s)} = -\frac{3}{2}e^{1.5}e^{t-1.5}\mathcal U(t-1.5) +\frac{3}{2}e^{1.5}e^{-t+1.5}\mathcal U(t-1.5) + \frac{3}{2}e^t  \frac{3}{2}e^{-t} +q_0e^t


ิัby
4805233
4805252
4805275
Logged
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น