A product of some two sums

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

A product of some two sums

« on: January 05, 2007, 11:54:03 PM »

If I have a sum of all element of certain class, and also a sum of all element of another class,

how do I prove, or justify to myself somehow, that their product consists of terms from complete classes?

(This is about Equation (3-167) in page 109 of Hamermesh's)


« Last Edit: January 06, 2007, 01:45:33 AM by เกียรติศักดิ์ »	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6227

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: A product of some two sums

« Reply #1 on: January 12, 2007, 07:26:38 PM »

ให้ $\mathcal C$ เป็น class sum ใด ๆ และ $x$ เป็นสมาชิกใด ๆ ของ Group เราจะได้ว่า $x^{-1}\mathcal C x = \mathcal C$ เพราะว่า 1. $x^{-1}\mathcal C x$ มีจำนวนพจน์เท่ากับจำนวนพจน์ใน $\mathcal C$ 2. ไม่มีพจน์ใดซ้ำกันเลย 3. พจน์แต่ละพจน์อยู่ใน class sum $\mathcal C$ โดยนิยาม

ในทางกลับกัน มีทฤษฎี (พิสูจน์ทีหลัง) ว่า เซต $C$ ของสมาชิก ที่มีสมบัติ $x^{-1} C x = C$ สำหรับทุก $x$ ของ group จะต้องประกอบด้วยสมาชิกครบ class

เนื่องจาก $\mathcal C_i \mathcal C_j = x^{-1} \mathcal C_ixx^{-1} \mathcal C_jx = x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_jx$
โดยทฤษฎีข้างต้น $\mathcal C_i \mathcal C_j$ จึงประกอบด้วย complete class


« Last Edit: January 13, 2007, 03:30:04 PM by เกียรติศักดิ์ »	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Re: A product of some two sums

« Reply #2 on: January 13, 2007, 01:56:11 PM »

ขอบคุณครับ smitten

สำหรับทฤษฎีบทที่อาจารย์กล่าวถึง ผมพิสูจน์ดังนี้ใช้ได้หรือไม่ครับ

ทฤษฎีบท
สมมุติมี $C \subset G$
$x^{-1} C x = C$ สำหรับทุก $x$ ใน $G$
ก็ต่อเมื่อ $C$ ประกอบไปด้วยสมาชิกครบ class

พิสูจน์ขากลับ
ให้ $C = C_1 + \dotsb + C_n$ โดยที่ $C_1, \dotsc, C_n$ คือ class ของ $G$
$\begin{array}{rcl} \because \quad x^{-1} C x &=& x^{-1} C_1 x + \dotsb + x^{-1} C_n x \\ &=& C_1 + \dotsb + C_n \\ &=& C \end{array}$
สำหรับทุก $x$ ใน $G$
ดังนั้น $x^{-1} C x = C$ สำหรับทุก $x$ ใน $G$ จริง

พิสูจน์ขาไป
ถ้า $C$ ประกอบด้วยสมาชิกไม่ครบ class กล่าวคือ
สำหรับ $c \in C$ ถ้ามี $x \in G$ ซึ่ง $x^{-1} c x = d$ โดยที่ $d \notin C$

แล้ว $x^{-1} C x \neq C$

ดังนั้น ถ้า $x^{-1} C x = C$ แล้ว $C$ ประกอบด้วยสมาชิกครบ class

QED

ไม่รู้ว่าผมใช้คำว่าขาไปกับขากลับถูกหรือเปล่าครับ แต่เป็นอันว่าผมพิสูจน์ทั้งสองขาละนะครับ

(แอบแก้ข้อความของอาจารย์นิดนึงครับ)


« Last Edit: January 13, 2007, 02:15:08 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6227

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: A product of some two sums

« Reply #3 on: January 13, 2007, 02:22:41 PM »

ใช้ได้แล้ว แต่พิสูจน์แค่ตอนที่สองก็น่าจะพอ เพราะอีกส่วนหนึ่งพิสูจน์ไปแล้วใน rep#1

แต่ว่าไปแก้อะไรไปล่ะ แน่ใจนะว่าเข้าใจตรงกัน class ที่เราพูดถึงนี่ที่จริงคือ class sum นะ ซึ่งเป็นผลบวกของสมาชิกใน class นั้น ๆ Cool


	Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Re: A product of some two sums

« Reply #4 on: January 13, 2007, 03:23:31 PM »

ตรงไหนที่อาจารย์พูดว่า class ผมเลยไปเปลี่ยนเป็น $C$ ธรรมดาครับ ถ้างั้นเดี๋ยวผมเปลี่ยนกลับเป็นอย่างเดิม (ยกเว้นตรง เซต C) แล้วเติมคำว่า sum บางที่นะครับ แล้วก็ใช้คำว่า "พจน์" แทน "สมาชิก"


« Last Edit: January 13, 2007, 03:29:35 PM by เกียรติศักดิ์ »	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

เกียรติศักดิ์

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 296

Re: A product of some two sums

« Reply #5 on: January 16, 2007, 04:26:28 AM »

จากคำแนะนำของอาจารย์วันนี้ เริ่มต้นผมมองอย่างนี้ก่อนเลยได้ไหมครับ

จาก $x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x = \mathcal C_i \mathcal C_j$

นำแต่ละพจน์ใน $\mathcal C_i \mathcal C_j$ มาสร้างเซต $S \subset G$
จะได้ว่า $x^{-1} S x = S$

โดยใช้ทฤษฎีบทที่กล่าวถึง ผมก็จะได้ว่า $S = C_1 + \dotsb + C_n$ โดยที่ $n \leq \kappa$ เมื่อ $\kappa$ คือจำนวน class
ทำให้ผมสรุปได้ว่า $\mathcal C_i \mathcal C_j$ ประกอบด้วยพจน์จาก complete classes

นั่นคือ เราพิสูจน์ได้ว่ามันประกอบด้วยพจน์จาก complete classes ก่อน แล้วค่อยพบภายหลังว่า $\displaystyle \mathcal C_i \mathcal C_j = \sum_{k = 1}^\kappa c_{ijk} \mathcal C_k$ ครับ ซึ่งทำดังนี้

$\large \begin{array}{rcl} x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x &=& \mathcal C_i \mathcal C_j \\ x^{-1} \left( g^{(i)}_1 + \dotsb + g^{(i)}_{n_i} \right) \left( g^{(j)}_1 + \dotsb + g^{(j)}_{n_j} \right) x &=& \left( g^{(i)}_1 + \dotsb + g^{(i)}_{n_i} \right) \left( g^{(j)}_1 + \dotsb + g^{(j)}_{n_j} \right) \end{array}$

ณ ทั้งสองฝั่ง สองวงเล็บคูณกันจะได้เป็นการบวกของสมาชิกของ $G$ มากมายไปหมด โดยอาจมีบางตัวซ้ำกัน ผมจึงขอเขียนใหม่ดังนี้

$x^{-1} \left( c_{ij1} g_1 + \dotsb + c_{ij|G|} g_{|G|} \right) x = c_{ij1} g_1 + \dotsb + c_{ij|G|} g_{|G|}$

(ผมห้อย $i$ กับ $j$ ไว้กับ $c$ ด้วย เพื่อบอกว่าถ้าเปลี่ยน class sum จำนวนของการซ้ำกันก็เปลี่ยนไปครับ) ทีนี้ถ้าผมจัดกลุ่มการบวกด้านบนนี้ตาม class จะได้ว่า

$\large \begin{array}{rcl} A &\equiv& \left( c^{(1)}_{ij1} g^{(1)}_1 + \dotsb + c^{(1)}_{ijn_1} g^{(1)}_{n_1} \right) + \dotsb + \left( c^{(\kappa)}_{ij1} g^{(\kappa)}_1 + \dotsb + c^{(\kappa)}_{ijn_\kappa} g^{(\kappa)}_{n_\kappa} \right) \\ x^{-1} A x &=& A \end{array}$

พิจารณาวงเล็บของ class ที่ $k$ ของทางซ้ายมือและทางขวามือ

$\large \begin{array}{rcl} x^{-1} \left( c^{(k)}_{ij1} g^{(k)}_1 + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} g^{(k)}_{n_k} \right) x &=& c^{(k)}_{ij1} g^{(k)}_1 + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} g^{(k)}_{n_k} \\ c^{(k)}_{ij1} \left( x^{-1} g^{(k)}_1 x \right) + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} \left( x^{-1} g^{(k)}_{n_k} x \right) &=& c^{(k)}_{ij1} g^{(k)}_1 + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} g^{(k)}_{n_k} \end{array}$

พูดอย่างเข้าใจง่ายคือ $x \in G$ rearrange สมาชิกทั้งหลายใน class อย่างเดียว แต่ไม่ได้เอา $c$ ตามไปด้วย เพราะฉะนั้น โดยการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของแต่ละสมาชิกที่ทั้งสองข้าง สมการด้านบนจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $c$ ทั้งหลายมีค่าเท่ากัน

label $c$ ที่เป็นของแต่ละ class ด้วยตัว $k$ ไปเลย จะได้ว่า

$\large \begin{array}{rcl} \mathcal C_i \mathcal C_j &=& \displaystyle \sum_{k = 1}^\kappa c_{ijk} \sum_{m = 1}^{n_k} g^{(k)}_n \\ &=& \displaystyle \sum_{k = 1}^\kappa c_{ijk} \mathcal C_k \end{array}$

QED

กว่าจะได้! ขอบคุณครับ smitten

ดรรชนียั้วเยี้ยไปหมดเลยจริงๆ ด้วยครับ เป็นที่เข้าใจโดยบริบทใช่ปะครับว่าแต่ละตัวหมายถึงอะไร


« Last Edit: January 16, 2007, 04:41:05 AM by เกียรติศักดิ์ »	Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.

ปิยพงษ์ - Head Admin

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 6227

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

Re: A product of some two sums

« Reply #6 on: January 16, 2007, 11:28:23 AM »

พิจารณา
$\displaystyle \mathcal C_i \mathcal C_j = \dotsb + a_1^{(k)} g_1^{(k)} + a_2^{(k)} g_2^{(k)} + \dotsb$
โดยที่เลือกดู $g_1^{(k)}$ และ $g_2^{(k)}$ ที่สมมุติว่าอยู่ใน class เดียวกัน ดังนั้นมี $x \in G$ ที่ทำให้ $x^{-1} g_2^{(k)} x = g_1^{(k)}$
ใช้ $x$ ตัวเดียวกันนี้หาค่าของ
$\begin{array}{rcl} x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x &=& x^{-1} \left( \dotsb + a_1^{(k)} g_1^{(k)} + a_2^{(k)} g_2^{(k)} + \dotsb \right) x \\ &=& \dotsb + a_1^{(k)} x^{-1} g_1^{(k)} x + a_2^{(k)} g_1^{(k)} + \dotsb \end{array}$
แต่ถ้า $x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x = \mathcal C_i \mathcal C_j$ เราจะได้ว่า
$\dotsb + a_1^{(k)} x^{-1} g_1^{(k)} x + a_2^{(k)} g_1^{(k)} + \dotsb = \dotsb + a_1^{(k)} g_1^{(k)} + a_2^{(k)} g_2^{(k)} + \dotsb$
เทียบสัมประสิทธิ์ของ $g_1^{(k)}$ จะได้ว่า $a_2^{(k)} = a_1^{(k)}$
นั่นคือสมาชิกสองตัวใดๆ ที่อยู่ใน class เดียวกันจะปรากฏในผลคูณของ $\mathcal C_i \mathcal C_j$ จำนวนครั้งเท่ากัน