มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41056 Posts in 6102 Topics- by 6183 Members - Latest Member: Xyelnight
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: A product of some two sums  (Read 10305 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« on: January 05, 2007, 11:54:03 PM »

If I have a sum of all element of certain class, and also a sum of all element of another class,

how do I prove, or justify to myself somehow, that their product consists of terms from complete classes?

(This is about Equation (3-167) in page 109 of Hamermesh's)
« Last Edit: January 06, 2007, 01:45:33 AM by เกียรติศักดิ์ » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6227


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: January 12, 2007, 07:26:38 PM »

ให้ \mathcal C เป็น class sum ใด ๆ และ x เป็นสมาชิกใด ๆ ของ Group  เราจะได้ว่า x^{-1}\mathcal C x = \mathcal C เพราะว่า 1.  x^{-1}\mathcal C x มีจำนวนพจน์เท่ากับจำนวนพจน์ใน \mathcal C   2. ไม่มีพจน์ใดซ้ำกันเลย  3. พจน์แต่ละพจน์อยู่ใน class sum \mathcal C โดยนิยาม

ในทางกลับกัน มีทฤษฎี (พิสูจน์ทีหลัง) ว่า เซต  Cของสมาชิก  ที่มีสมบัติ x^{-1} C x = C สำหรับทุก xของ group จะต้องประกอบด้วยสมาชิกครบ class

เนื่องจาก \mathcal C_i \mathcal C_j = x^{-1} \mathcal C_ixx^{-1} \mathcal C_jx = x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_jx
โดยทฤษฎีข้างต้น  \mathcal C_i \mathcal C_j จึงประกอบด้วย complete class
« Last Edit: January 13, 2007, 03:30:04 PM by เกียรติศักดิ์ » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #2 on: January 13, 2007, 01:56:11 PM »

ขอบคุณครับ smitten

สำหรับทฤษฎีบทที่อาจารย์กล่าวถึง ผมพิสูจน์ดังนี้ใช้ได้หรือไม่ครับ

ทฤษฎีบท
สมมุติมี  C \subset G
 x^{-1} C x = C สำหรับทุก  x ใน  G
ก็ต่อเมื่อ  C ประกอบไปด้วยสมาชิกครบ class

พิสูจน์ขากลับ
ให้  C = C_1 + \dotsb + C_n โดยที่  C_1, \dotsc, C_n คือ class ของ  G
 \begin{array}{rcl} \because \quad x^{-1} C x &=& x^{-1} C_1 x + \dotsb + x^{-1} C_n x \\ &=& C_1 + \dotsb + C_n \\ &=& C \end{array}
สำหรับทุก  x ใน  G
ดังนั้น  x^{-1} C x = C สำหรับทุก  x ใน  G จริง

พิสูจน์ขาไป
ถ้า  C ประกอบด้วยสมาชิกไม่ครบ class กล่าวคือ
สำหรับ  c \in C ถ้ามี  x \in G ซึ่ง  x^{-1} c x = d โดยที่  d \notin C

แล้ว  x^{-1} C x \neq C

ดังนั้น ถ้า  x^{-1} C x = C แล้ว  C ประกอบด้วยสมาชิกครบ class

QED

ไม่รู้ว่าผมใช้คำว่าขาไปกับขากลับถูกหรือเปล่าครับ แต่เป็นอันว่าผมพิสูจน์ทั้งสองขาละนะครับ Smiley

(แอบแก้ข้อความของอาจารย์นิดนึงครับ)
« Last Edit: January 13, 2007, 02:15:08 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6227


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #3 on: January 13, 2007, 02:22:41 PM »

 great  ใช้ได้แล้ว  แต่พิสูจน์แค่ตอนที่สองก็น่าจะพอ เพราะอีกส่วนหนึ่งพิสูจน์ไปแล้วใน rep#1

แต่ว่าไปแก้อะไรไปล่ะ แน่ใจนะว่าเข้าใจตรงกัน class ที่เราพูดถึงนี่ที่จริงคือ class sum นะ ซึ่งเป็นผลบวกของสมาชิกใน class นั้น ๆ  Cool
Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #4 on: January 13, 2007, 03:23:31 PM »

ตรงไหนที่อาจารย์พูดว่า class ผมเลยไปเปลี่ยนเป็น  C ธรรมดาครับ ถ้างั้นเดี๋ยวผมเปลี่ยนกลับเป็นอย่างเดิม (ยกเว้นตรง เซต C) แล้วเติมคำว่า sum บางที่นะครับ แล้วก็ใช้คำว่า "พจน์" แทน "สมาชิก"
« Last Edit: January 13, 2007, 03:29:35 PM by เกียรติศักดิ์ » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #5 on: January 16, 2007, 04:26:28 AM »

จากคำแนะนำของอาจารย์วันนี้ เริ่มต้นผมมองอย่างนี้ก่อนเลยได้ไหมครับ

จาก  x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x = \mathcal C_i \mathcal C_j

นำแต่ละพจน์ใน  \mathcal C_i \mathcal C_j มาสร้างเซต  S \subset G
จะได้ว่า  x^{-1} S x = S

โดยใช้ทฤษฎีบทที่กล่าวถึง ผมก็จะได้ว่า  S = C_1 + \dotsb + C_n โดยที่  n \leq \kappa เมื่อ  \kappa คือจำนวน class
ทำให้ผมสรุปได้ว่า  \mathcal C_i \mathcal C_j ประกอบด้วยพจน์จาก complete classes

นั่นคือ เราพิสูจน์ได้ว่ามันประกอบด้วยพจน์จาก complete classes ก่อน แล้วค่อยพบภายหลังว่า  \displaystyle \mathcal C_i \mathcal C_j = \sum_{k = 1}^\kappa c_{ijk} \mathcal C_k ครับ ซึ่งทำดังนี้

 \large \begin{array}{rcl} x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x &=& \mathcal C_i \mathcal C_j \\ x^{-1} \left( g^{(i)}_1 + \dotsb + g^{(i)}_{n_i} \right) \left( g^{(j)}_1 + \dotsb + g^{(j)}_{n_j} \right) x &=& \left( g^{(i)}_1 + \dotsb + g^{(i)}_{n_i} \right) \left( g^{(j)}_1 + \dotsb + g^{(j)}_{n_j} \right) \end{array}

ณ ทั้งสองฝั่ง สองวงเล็บคูณกันจะได้เป็นการบวกของสมาชิกของ  G มากมายไปหมด โดยอาจมีบางตัวซ้ำกัน ผมจึงขอเขียนใหม่ดังนี้

 x^{-1} \left( c_{ij1} g_1 + \dotsb + c_{ij|G|} g_{|G|} \right) x = c_{ij1} g_1 + \dotsb + c_{ij|G|} g_{|G|}

(ผมห้อย  i กับ  j ไว้กับ  c ด้วย เพื่อบอกว่าถ้าเปลี่ยน class sum จำนวนของการซ้ำกันก็เปลี่ยนไปครับ) ทีนี้ถ้าผมจัดกลุ่มการบวกด้านบนนี้ตาม class จะได้ว่า

 \large \begin{array}{rcl} A &\equiv& \left( c^{(1)}_{ij1} g^{(1)}_1 + \dotsb + c^{(1)}_{ijn_1} g^{(1)}_{n_1} \right) + \dotsb + \left( c^{(\kappa)}_{ij1} g^{(\kappa)}_1 + \dotsb + c^{(\kappa)}_{ijn_\kappa} g^{(\kappa)}_{n_\kappa} \right) \\ x^{-1} A x &=& A \end{array}

พิจารณาวงเล็บของ class ที่  k ของทางซ้ายมือและทางขวามือ

 \large \begin{array}{rcl} x^{-1} \left( c^{(k)}_{ij1} g^{(k)}_1 + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} g^{(k)}_{n_k} \right) x &=& c^{(k)}_{ij1} g^{(k)}_1 + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} g^{(k)}_{n_k} \\ c^{(k)}_{ij1} \left( x^{-1} g^{(k)}_1 x \right) + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} \left( x^{-1} g^{(k)}_{n_k} x \right) &=& c^{(k)}_{ij1} g^{(k)}_1 + \dotsb + c^{(k)}_{ijn_k} g^{(k)}_{n_k} \end{array}

พูดอย่างเข้าใจง่ายคือ  x \in G rearrange สมาชิกทั้งหลายใน class อย่างเดียว แต่ไม่ได้เอา  c ตามไปด้วย เพราะฉะนั้น โดยการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของแต่ละสมาชิกที่ทั้งสองข้าง สมการด้านบนจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ  c ทั้งหลายมีค่าเท่ากัน

label  c ที่เป็นของแต่ละ class ด้วยตัว  k ไปเลย จะได้ว่า

 \large \begin{array}{rcl} \mathcal C_i \mathcal C_j &=& \displaystyle \sum_{k = 1}^\kappa c_{ijk} \sum_{m = 1}^{n_k} g^{(k)}_n \\ &=& \displaystyle \sum_{k = 1}^\kappa c_{ijk} \mathcal C_k \end{array}

QED

กว่าจะได้! ขอบคุณครับ smitten

ดรรชนียั้วเยี้ยไปหมดเลยจริงๆ ด้วยครับ เป็นที่เข้าใจโดยบริบทใช่ปะครับว่าแต่ละตัวหมายถึงอะไร Smiley
« Last Edit: January 16, 2007, 04:41:05 AM by เกียรติศักดิ์ » Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6227


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #6 on: January 16, 2007, 11:28:23 AM »

พิจารณา
 \displaystyle \mathcal C_i \mathcal C_j =  \dotsb + a_1^{(k)} g_1^{(k)} + a_2^{(k)} g_2^{(k)} + \dotsb
โดยที่เลือกดู  g_1^{(k)} และ  g_2^{(k)} ที่สมมุติว่าอยู่ใน class เดียวกัน ดังนั้นมี  x \in G ที่ทำให้  x^{-1} g_2^{(k)} x = g_1^{(k)}
ใช้  x ตัวเดียวกันนี้หาค่าของ
 \begin{array}{rcl} x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x &=& x^{-1} \left( \dotsb + a_1^{(k)} g_1^{(k)} + a_2^{(k)} g_2^{(k)} + \dotsb \right) x \\ &=& \dotsb + a_1^{(k)} x^{-1} g_1^{(k)} x + a_2^{(k)} g_1^{(k)} + \dotsb \end{array}
แต่ถ้า  x^{-1} \mathcal C_i \mathcal C_j x = \mathcal C_i \mathcal C_j เราจะได้ว่า
 \dotsb + a_1^{(k)} x^{-1} g_1^{(k)} x + a_2^{(k)} g_1^{(k)} + \dotsb = \dotsb + a_1^{(k)} g_1^{(k)} + a_2^{(k)} g_2^{(k)} + \dotsb
เทียบสัมประสิทธิ์ของ  g_1^{(k)} จะได้ว่า  a_2^{(k)} = a_1^{(k)}
นั่นคือสมาชิกสองตัวใดๆ ที่อยู่ใน class เดียวกันจะปรากฏในผลคูณของ  \mathcal C_i \mathcal C_j จำนวนครั้งเท่ากัน
« Last Edit: January 17, 2007, 07:11:51 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #7 on: January 17, 2007, 01:13:40 PM »

ขอบคุณครับ smitten กระชับกว่าเห็นๆ great
Logged

Scientia gaza inaestimabilis est.
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น