next »

[POKO]

ข้อนี้ได้แนวคิดมาระหว่างกำลังเล่นเกม Dragon Quest 5 ครับ

ณ บ่อนคาสิโนแห่งหนึ่ง มีเกมหนึ่งชื่อ Slime Racing โดยที่มี สไลม์ 5 ตัว ลงแข่งในแต่ละรอบ  การเล่นมีกติกาดังนี้

1. ผู้เล่นจะต้องทายว่า สไลม์ สองตัวไหนจะเข้าเส้นชัยก่อน เช่น ทายว่า a-b หมายถึง สไลม์ a (หรือ b) เข้าเส้นชัยเป็นที่หนึ่ง ตามมาด้วย สไลม์ b (หรือ a) นั่นคือ มีทางเป็นไปได้ทั้งหมดคือ 5C2 = 10
2. ในแต่ละรอบ เจ้าของบ่อนจะเป็นคนกำหนดว่าสไลม์คู่ไหน มีค่าตัวสูงหรือต่ำ ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นในการชนะ ของสไลม์คู่นั้น
3. ผู้เล่นสามารถเดิมพันสไลม์คู่ไหนก็ได้ และสามารถเดิมพันได้มากกว่าหนึ่งคู่ หรืออาจจะเดิมพันทุกคู่ก็ได้ โดยที่ถ้าสไลม์คู่ที่ผู้เล่นทายถูก ชนะ ผู้เล่นจะได้เงินเท่ากับ ค่าตัวของสไลม์ คูณด้วยเงินเดิมพัน  เช่น 2-3 มีค่าตัว 5  ผู้เล่นเดิมพันไป 30 บาท  ปรากฏว่าผู้เล่นทายถูก ก็จะได้เงิน 5*30 = 150 บาท
4. เงินค่าตัวเป็นจำนวนเต็มบวก และเงินเดิมพันเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

นี่คือตัวอย่างนะครับ

1-2   20 *12            2-4   17*3
1-3   13 * 7            2-5   12*5
1-4   131*2            3-4   67*2
1-5   4  *10            3-5   19*4
2-3   2  * 9            4-5   3*5

ตัวเลขสองตัวที่คั่นด้วยขีดคือ หมายเลขของสไลม์คู่ที่เราจะทายว่าเข้าเส้นชัยก่อน  ส่วนตัวเลขหน้าเครื่องหมายคูณ เป็นตัวเลขค่าตัวของสไลม์ กำหนดโดยเจ้าของบ่อน ก่อนการแข่งขันแต่ละรอบ  ส่วนตัวเลขหลังเครื่องหมายคูณ เป็นจำนวนเงินที่ผู้เล่นลงเดิมพันไป (สามารถเป็นศูนย์ในคู่ใดคู่หนึ่ง หรือทั้งหมดได้)

เมื่อเข้าใจกติกากันแล้ว ก็ถึงส่วนของคำถามครับ

นักคณิตศาสตร์ในตำนานผู้หนึ่ง ชอบเสี่ยงโชคกับเกมแข่งสไลม์นี้มาก แต่โชคไม่เคยเข้าข้างเขาเลย  คือ ไม่ว่าจะเล่นอย่างไร ก็มีแต่เสียเงิน  เย็นวันหนึ่ง ระหว่างทางกลับบ้าน เขาเริ่มคิดหาวิธีที่จะได้เงินจากการแข่งขันนี้โดยไม่จำเป็นต้องพึ่งดวง  เขาจึงคิดว่า น่าจะมีทางที่ลงเดิมพันทุกคู่ โดยที่ แม้ว่าคู่ที่ชนะ จะเป็นคู่ที่ทำเงินให้เขาน้อยที่สุดก็ตาม  แต่เขาก็ยังได้กำไร  (ตัวอย่างเช่น เสียเงินไป 499 บาท ในการเดิมพันทุกคู่ แต่มีอยู่คู่หนึ่งที่มีค่าตัว  20 บาท แล้วเขาลงเดิมพันไป 25 บาท  ถ้าคู่นี้ชนะ เขาจะได้เงิน 500 บาท แต่ถ้าคู่อื่นชนะ เขาก็จะได้เงินมากกว่า 500 บาท เช่น 580 บาท หรือ 729 บาท ขึ้นอยู่กับเงินค่าตัว และเงินเดิมพัน  ซึ่งแสดงว่า ไม่ว่าคู่ไหนจะชนะ เขาก็จะได้กำไร)  เมื่อเขากลับไปถึงบ้าน ก็คิดหาวิธีทั้งคืน จนคิดออกในที่สุด

วันรุ่งขึ้น เขาจึงเข้าไปเล่นเกมนี้อีก เขาพบว่าเขาโชคดีมาก (หลังจากโชคร้ายมานาน) ที่พบจุดอ่อนของเจ้าของบ่อนที่บางรอบตั้งค่าตัวเป็นไปตามสูตรของเขา  เขาจึงทุ่มหมดตัว ในทุกรอบที่ว่ามา  ซึ่งเขาก็ได้กำไรทุกรอบที่เขาเล่น

อยากทราบว่า นักคณิตศาสตร์ในตำนานคนนี้มีวิธีคิดอย่างไร (เงื่อนไขใดของค่าตัว ที่ทำให้เขาได้กำไรโดยไม่ต้องพึ่งดวง  และถ้าค่าตัวตรงตามเงื่อนไขที่ว่ามา เขาสามารถลงเงินเดิมพันอย่างไร)

หมายเหตุ
1. ใครไม่เข้าใจโจทย์ ถามได้นะครับ
2. นักคณิตศาสตร์ในตำนาน ใช้เวลาคิดหนึ่งคืน  แต่ผมใช้เวลาคิดสองวันครับ
3. คำตอบอาจมีหลายแบบ แต่ผมคิดได้เพียงแบบเดียว ซึ่งไม่แน่ใจว่าจะตรงกับที่นักคณิตศาสตร์ในตำนานคิดได้รึเปล่านะครับ  ดังนั้น ขอเชิญทุกท่านลองคิดดู ไม่แน่ว่าคำตอบของคุณ อาจจะตรงกับของนักคณิตศาสตร์ในตำนาน
4. ขอบคุณผู้สร้างเกม Dragon Quest 5 สำหรับ Slime Racing นะครับ

[POKO]

ขอบอกวิธีคิดของผมก่อนนะครับ ก่อนที่จะลืม (จริงๆก็เกือบลืมไปแล้วครับ )

ให้เงินค่าตัวเป็น
และให้เงินเดิมพันเป็น ในลำดับเดียวกับเงินค่าตัว

เงินที่เราจะได้ในแต่ละรอบคือ  เมื่อ   ไม่ว่าเราจะลงเดิมพันไปเท่าไหร่ (สมมุติว่าคู่ที่เราไม่ได้ทายเกิดเข้าเส้นชัย เราก็ไม่ได้อะไรเลย)
เราต้องการให้ แม้เงินที่เราได้รับจะน้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ก็ยังมากกว่าเงินที่เราลงทุน  นั่นคือ



สำหรับ ใดๆ ที่   (ทำไม?)


จะได้ว่า



ซึ่งในที่นี้เรารู้ว่า (เจ้าของบ่อนคงไม่ใจร้าย ถึงกับไม่ตั้งค่าตัวให้สไลม์คู่ใดคู่หนึ่ง)  และ (เราต้องการจะได้เงินโดยที่ไม่ต้องการเสี่ยง)


หาผลรวมตั้งแต่ จนถึง จะได้

(ทำไม?)

ซึ่งจะเห็นได้ว่า เราสามารถทำในกรณีที่มีจำนวนคู่ที่ต้องทายเท่าใดก็ได้

ข้อสังเกต : นานๆที ผมถึงจะเห็นค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก ถ้าย้อนกลับไปอสมการสุดท้าย แล้วแก้นิดหน่อย ก็จะได้ว่า ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของเงินค่าตัวมากกว่าหนึ่ง (ทำให้เราสามารถชนะได้โดยไม่ต้องเสี่ยง)  ก็น่าคิดนะครับว่าทำไมเรื่องนี้ถึงมีค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกเข้ามาเกี่ยวข้องด้วย

ผมยังตอบไม่หมดนะครับ ยังเหลือคำถามอีกส่วนหนึ่งก็คือ ถ้าเจ้าของบ่อนตั้งค่าตัวของสไลม์ให้ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกมากกว่าหนึ่ง แล้วเราจะลงเงินเดิมพันอย่างไร  ผมคิดว่าคงมีคำตอบได้หลายแบบ ใครคิดได้แบบไหนก็ช่วยบอกด้วยนะครับ  หรือใครมีวิธีคิดทำนองว่า ลงเงินเดิมพันอย่างไรให้มีประสิทธิภาพมากที่สุด ก็ขอเชิญครับ

[วสิศ]

ต้องดูก่อนว่าโอกาสที่สไลม์แต่ละตัววิ่งถึงเส้นชัยตัวแรกมีโอกาสเท่ากันรึเปล่่า
ถ้าเท่าก็เลือกเล่นคู่ที่ตอบแทนสูงสุดไม่ต้องคิดมาก

แต่โดยปกติแล้วเกมแบบนี้จะให้ค่าตอบแทนน้อยเมื่อคู่นั้นมีโอกาสเข้าเส้นชัยก่อน ดังนั้นเราต้องรู้โอการของแต่ละคู่ก่อน

อีกอย่างอสมการแรกผิดรึเปล่่าคับเครื่องหมายsumation ตกไปหรือเปล่่าคับต้องเป็น



ใช่ไหมครับ

[POKO]

ขอโทษทีครับ ทิ้งกระทู้ไว้ข้ามปี ไม่รู้ว่ามีคนมาตอบ

ตอบคุณวลิศนะครับ
โอกาสการเข้าเส้นชัยแต่ละคู่นั้น เท่าที่สังเกตมา มันไม่แน่ไม่นอน  แต่มันก็มักจะแปรผกผันกับเงินเดิมพันในแต่ละรอบ

ส่วนอสมการแรกนั้น ผมคาดว่าคงจะไม่ผิดอะไร เนื่องจากเงินที่เราควรจะได้ในแต่ละรอบนั้นเป็น สำหรับ บางตัว นั่นคือ ถ้าคู่ที่ ชนะ เราก็จะได้เงิน   คราวนี้สมมุติว่าคู่ที่ชนะนั้น ให้เงินเราได้น้อยที่สุด เงื่อนไขที่แสดงว่าเราได้กำไรก็คือ เงินน้อยที่สุดที่เราได้ () ยังมากกว่าเงินที่จ่ายไปทั้งหมด ()  ซึ่งถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริงสำหรับเงินที่เราได้น้อยที่สุดแล้ว ก็แสดงว่า เป็นจริงสำหรับค่า ใดๆ

ผมไม่รู้ว่าคนสร้างเกมจะรู้สูตร(ถ้าถูก) นี้รึเปล่า  แต่ถ้าเขาไม่รู้ ก็อาจมีความเป็นไปได้ว่า แม้จะสุ่มๆ ตัวเลขขึ้นมา ก็มีโอกาสยากเหลือเกินที่ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกมีค่ามากกว่าหนึ่ง  ผมยังไม่ได้คิดตรงส่วนนี้ดู  แต่เท่าที่สังเกต ไม่มีเลยสักครั้งที่ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกจะมากกว่าหนึ่ง