ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41486 Posts in 6257 Topics- by 9135 Members - Latest Member: Armm
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: problem7.41  (Read 6125 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
mamarrlade
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« on: December 19, 2006, 09:03:23 PM »

Consider a bead of mass m sliding without friction on a wire that is bent in a shape of a parabola and is being spun with constant angular velocity \omega about its vertical axis. Use the cylindrical coordinate and let the equation of the parabola z=k\rho^2.Write down the Lagrangian in term of \rho as the generalized coordinate. Find the equation of motion of bead and determine whether there are positions of equilibrium, that is, value of \rho at which the bead can remain fixed, without sliding up or down the spinning wire. Discuss the stability of any equilibrium positionary you find
ans
T=\frac{1}{2}m\dot{\rho}^2+\frac{1}{2}m\dot{z}^2=\frac{1}{2}m\omega^2\rho^2+\frac{1}{2}\centerdot2mk\dot{\rho}
U=mgz
\mathcal{L}=T-U
\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{\rho}^2+\frac{1}{2}m\dot{z}^2+mgz=\frac{1}{2}m\omega^2\rho^2+mk\dot{\rho}+mgk\rho^2
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho} = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\rho}}
m\omega^2 \rho+2mgk\rho=mk\ddot{\rho}
\ddot{\rho}=(\frac{\omega^2}{2k}+g)\rho^2
Logged
nonsense
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 13

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #1 on: December 21, 2006, 03:39:37 PM »

 idiot2 ตุ้รู้สึกว่าเขียนพจน์ T หายไปตัวหนึ่งนะ
T=\frac{1}{2}m\dot{\rho}^2+\frac{1}{2}m\dot{z}^2+\frac{1}{2}m\omega^2\rho^2

Logged
mamarrlade
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #2 on: December 22, 2006, 01:49:55 PM »

โทษทีนะ แก้ให้ใหม่จ้า
T=\frac{1}{2}m\dot{\rho}^2+\frac{1}{2}m\dot{z}^2+\frac{1}{2}m\omega^2\rho^2
T=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+4k^2\rho^2\dot{\rho}^2+\omega^2\rho^2)
U=mgz=mgk\rho^2
\mathcal{L}=T-U
\mathcal{L}=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+4k^2\rho^2\dot{\rho}^2+\omega^2\rho^2)-mgk\rho^2
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho} = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\rho}}
4mk^2\rho^2\dot{\rho}^2-2mgk\rho+m\omega^2\rho=m\ddot{\rho}+4mk^2\rho^2\ddot{\rho}
(1+4k^2\rho^2)\ddot{\rho}=(m\omega^2-2gk)\rho-4k^2\dot{\rho}^2\rho
at \rho=0 is the equilibrium which is stable if \omega^2<2gk but unstable if \omega^2>2gk
and if \omega^2=2gk the bead is in equilibrium at any \rho but be unstable
Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: