เฉลยการบ้าน 2 ข้อ ในบทที่ 2 จากหนังสือ
"Differential Equations: with Boundary-Value Problems", 6th edition, 2005.
ของ D. G. Zill และ M. R. Cullen
Exercise 2.3 (Linear Equations) หน้า 66 ข้อ 46Radioactive Decay Series: The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:

--- (1)

--- (2)
where

and

are constants. Discuss how to solve this system subject to

. Carry out your idea.
วิธีทำ(แบบหนึ่ง) [แบบอื่นๆ พวกเราลองหาทางทำ (ให้ถูก) ดู]
สมการ (1) ผลเฉลยคือ

(พวกเราควรหาผลเฉลยนี้ได้อย่างง่ายดายแล้ว

)
สมการ (2) มีตัวแปรมากเกินไป เราจะกำจัด

ทิ้ง โดยใช้กฎของลูกโซ่ ดังนี้

จากสมการ (1)

เราจึงได้ว่า

แทนความสัมพันธ์ที่ได้นี้ลงในสมการ (2) และจัดรูปดีๆ จะได้

---(3)
สมการอยู่ในรูป 1st-order lindear DE แล้ว
ต่อไปก็หา integrating factor ดังนี้

คูณสมการ (3) ด้วย integrating factor

นี้ แล้วจัดรูปใหม่ จะได้
![\frac{d}{dx} [x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}} y] = -x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}} \frac{d}{dx} [x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}} y] = -x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}](/forums/Sources/latex/pictures/8891e334c01ffdca76c992109d8a725f.png)
แก้สมการนี้ต่อด้วยการ integrate จะได้ผลเฉลยเป็น

คำตอบติด arbitrary constant

อยู่ แต่โจทย์มีเงื่อนไขเริ่มต้นคือ

เมื่อแทนเงื่อนไขนี้ลงไปในผลเฉลยข้างต้น สุดท้ายก็จะได้ว่า
![y = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} x_0 [e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}] + y_0 e^{-\lambda_2 t} y = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} x_0 [e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}] + y_0 e^{-\lambda_2 t}](/forums/Sources/latex/pictures/84aa500b2faa325a71394990f0c924d7.png)