มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41095 Posts in 6122 Topics- by 6885 Members - Latest Member: สุริยาพร
Pages: « 1 2 3   Go Down
Print
Author Topic: [6] Homogeneous D.E. with Constant Coefficients  (Read 29930 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Blackpanther
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #30 on: December 13, 2006, 11:35:04 PM »



\therefore y_1 = e^{-x} , y_2 = xe^{-x}, y_3 = x^{2}e^{-x}

สำหรับสองคำตอบแรกเป็นคำตอบที่คุ้นเคยกันดีอยู่แล้วสำหรับกรณีที่ได้ค่า m ซ้ำ สำหรับกรณีที่สามจะทดสอบด้วยการแทนค่าในโจทย์


by ปัณฑิตา ผลิตผลการพิมพ์ 4805128


     ทำไมต้องทดสอบกรณีที่สามด้วยครับ ในเมื่อรูปแบบคำตอบเป็นแบบนั้นอยู่แล้ว ไม่ได้ติติงนะครับ แต่อยากทราบเหตุผล Smiley

ถ้าไม่พิสูจน์เราจะรู้ได้อย่างไรละครับว่า คำตอบเป็นแบบนี้จริงๆ ซึ่งกรณีที่เราสมมติให้คำตอบเป็น e^{mx} มันอาจจะดูสวยที่เป็นการเอา x มาแปะไว้ข้างหน้า แล้วถ้าคำตอบเป็นรูปอื่นล่ะครับ ? เราจะรู้ได้อย่างไรว่าต้องเอาอะไรมาแปะ และถึงแม้เรารู้ว่า ซ้ำครั้งแรกเอา อะไรซักตัวมาแปะ แล้วถ้ามันซ้ำอีกอเรารู้ได้อย่างไรว่าเอาตัวเดิมมาแปะ ไม่ใช่ตัวใหม่

แอบแนะ คุณเจ้าของโพสต์นะครับ ผมใช้ variation of parameter พิสูจน์แล้วออกครับ
Logged
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #31 on: December 19, 2006, 09:34:36 PM »



\therefore y_1 = e^{-x} , y_2 = xe^{-x}, y_3 = x^{2}e^{-x}

สำหรับสองคำตอบแรกเป็นคำตอบที่คุ้นเคยกันดีอยู่แล้วสำหรับกรณีที่ได้ค่า m ซ้ำ สำหรับกรณีที่สามจะทดสอบด้วยการแทนค่าในโจทย์


by ปัณฑิตา ผลิตผลการพิมพ์ 4805128


     ทำไมต้องทดสอบกรณีที่สามด้วยครับ ในเมื่อรูปแบบคำตอบเป็นแบบนั้นอยู่แล้ว ไม่ได้ติติงนะครับ แต่อยากทราบเหตุผล Smiley

ถ้าไม่พิสูจน์เราจะรู้ได้อย่างไรละครับว่า คำตอบเป็นแบบนี้จริงๆ ซึ่งกรณีที่เราสมมติให้คำตอบเป็น e^{mx} มันอาจจะดูสวยที่เป็นการเอา x มาแปะไว้ข้างหน้า แล้วถ้าคำตอบเป็นรูปอื่นล่ะครับ ? เราจะรู้ได้อย่างไรว่าต้องเอาอะไรมาแปะ และถึงแม้เรารู้ว่า ซ้ำครั้งแรกเอา อะไรซักตัวมาแปะ แล้วถ้ามันซ้ำอีกอเรารู้ได้อย่างไรว่าเอาตัวเดิมมาแปะ ไม่ใช่ตัวใหม่

แอบแนะ คุณเจ้าของโพสต์นะครับ ผมใช้ variation of parameter พิสูจน์แล้วออกครับ

ผมจะขอพิสูจน์ว่าสมการที่คำตอบซ้ำกัน n ตัวมีรูปแบบคำตอบเป็น  y = e^{mx}(C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_nx^{n-1}) ไม่ใช่แค่การเอา x มาแปะให้ดูสวยครับ Cool

พิจารณาสมการอันดับสอง โดย m เป็นค่าคงที่

 y^{\prime\prime}-2my^{\prime}+m^2y = 0

 (D^2 - 2mD+m^2)y = 0

D = m,m

คำตอบย่อย คือ C_1e^{mx} และ C_2e^{mx} ซึ่งเมื่อใช้รอนสเกียนทดสอบแล้วจะพบว่าเป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน จึงไม่สามารถนำมารวมเป็นคำตอบได้

จากสมการ (D-m)(D-m)y = 0 กำหนด (D-m)y = z

(D-m)z = 0   ,    D-m = 0    ,    D=m      ,    \therefore  z = C_2e^{mx}

 (D-m)y = z = C_2e^{mx}

 \frac{dy}{dx} - my = C_2e^{mx}

 y = e^{-\int (-m)dx}[\int C_2e^{mx}\cdot e^{\int (-m)dx}dx + C_1]

        = e^{mx}(C_2\int dx + C_1)

        = e^{mx}(C_1 + C_2x)  เป็นคำตอบกรณีรากซ้ำกันสองราก

ถ้ามีรากซ้ำกัน n ราก จะได้คำตอบเป็น

  y = e^{mx}(C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_nx^{n-1})  smitten

ทั้งหมดนี้เป็นการพิสูจน์ของคำตอบซ้ำเพียงแค่สองราก มากกว่านี้ขี้เกียจคิดครับ Grin

และด้วยเหตุนี้ผมจึงคิดว่าไม่จำเป็นต้องทดสอบกรณีที่สามครับ

ถ้าท่านใดคิดว่าวิธีที่พิสูจน์นี้มันยังขาดอะไรไป ก็ขอคำชี้แนะด้วยครับ  icon adore

อยากฟังความคิดเห็นครับ Smiley
« Last Edit: December 19, 2006, 09:51:04 PM by u4805008 » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #32 on: December 20, 2006, 10:03:08 AM »

ถ้าไม่พิสูจน์เราจะรู้ได้อย่างไรละครับว่า คำตอบเป็นแบบนี้จริงๆ ซึ่งกรณีที่เราสมมติให้คำตอบเป็น e^{mx} มันอาจจะดูสวยที่เป็นการเอา x มาแปะไว้ข้างหน้า แล้วถ้าคำตอบเป็นรูปอื่นล่ะครับ ? เราจะรู้ได้อย่างไรว่าต้องเอาอะไรมาแปะ และถึงแม้เรารู้ว่า ซ้ำครั้งแรกเอา อะไรซักตัวมาแปะ แล้วถ้ามันซ้ำอีกอเรารู้ได้อย่างไรว่าเอาตัวเดิมมาแปะ ไม่ใช่ตัวใหม่

แอบแนะ คุณเจ้าของโพสต์นะครับ ผมใช้ variation of parameter พิสูจน์แล้วออกครับ

ผมจะขอพิสูจน์ว่าสมการที่คำตอบซ้ำกัน n ตัวมีรูปแบบคำตอบเป็น  y = e^{mx}(C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_nx^{n-1}) ไม่ใช่แค่การเอา x มาแปะให้ดูสวยครับ Cool


ขอบคุณมากทั้ง Blackpanther และ u4805008 ที่ช่วยกันคุยประเด็นเรื่องราก
ของสมการ auxiliary ซ้ำกัน แล้วทำไมผลเฉลยใหม่จึงแค่เอา x มา"แปะ" หรือมาคูณผลเฉลยเดิมได้เลย

ทั้งสองคนก็พิสูจน์ด้วยวิธีการเดียวกันนั่นแหละ (แม้ว่ายังไม่ได้เห็นของ Blackpanther ก็ตาม) วิธีการที่ u4805008 ทำ ก็คือ variation of parameter เหมือนกัน เพราะว่าวิธีการหา integrating factor ก็มาจากวิธีการ variation of parameter นั่นล่ะ (ดูหนังสือหน้า 58 ตรงหัวข้อ "The Procedure")

ถ้าเราไปดูสมการ auxiliary ที่ได้จาก Cauchy-Euler Equation ก็จะพบว่า การหาผลเฉลยตัวถัดไป สำหรับกรณีรากของสมการ auxiliary ซ้ำ ก็หาด้วยวิธี variation of parameter เช่นกัน ถ้าขยันพิสูจน์แบบ u4805008 ก็จะพบว่า ผลเฉลยถัดๆ ไป หาได้จากการคูณผลเฉลยเดิมด้วย \ln x ไปเรื่อยๆ (ดูหน้า 174 - 175)

ขอบคุณทั้งสองคนอีกครั้ง  icon adore  great
« Last Edit: December 20, 2006, 10:08:13 AM by f4 » Logged

This is F4 :-)
Pages: « 1 2 3   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น